Система счисления способ сложения

СЛОЖЕНИЕ ДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЛЮБОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ОНЛАЙН

Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.

Вам необходимо определиться сколько чисел вам необходимо посчитать и выбрать это количество в графе количество чисел.

Далее Вам необходимо ввести каждое число и выбрать его систему счисления. Если в указанном списке Вы не нашли нужной СС, то выберите пункт другая и введите числом основание вашей системы счисления.

После ввода всех чисел и выбора арифметических операций нажмите кнопку рассчитать.

• Калькулятор
• Инструкция
• Теория
• История
• Сообщить о проблеме

Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.

Пример решения: 5436 7 — 1101 2
Пример состоит из двух чисел 5436 7 и 1101 2 где в первом 7 и втором 2 — это основания системы счисления.

Введем сначала 5436 7 в поле «число 1» без основания СС (то есть без 7) и укажем его систему в соответствующем поле — выбираем пункт другая и вводим 7. Результат на скришоте:

Теперь также введем число 11011 в двоичной системе счисления:

Далее выбираем в поле «операция» вычитание и указываем что расчет должен быть выполнен в десятичной СС. Если мы хотим чтобы результат расчета был в двоичной СС, то указываем это как на скриншоте:

Теперь нажимаем копку «Рассчитать» и смотрим результат:

Если хотите посмотреть ход решения, то нажмите ссылку «Показать как оно получилось»

Если Вам необходимо рассчитать более двух чисел то выберите нужное количество в пункте «Количество чисел» Максимум 7 чисел.
При расчете сначала выполняются операции деления и умножения затем сложения и вычитания.

Вы можете выполнять операции расчета деления столбиком.

Источник

Арифметические операции в традиционных системах счисления. Правила преобразования чисел между системами счисления.

Из доказанной в предыдущей лекции теоремы существуют несколько интересных следствий. В частности, о правилах арифметических операций в P-ичных системах счисления, и о преобразовании чисел между системами счисления.

Арифметические операции в традиционных системах счисления

Рассмотрим два числа, \[ X_1 = \sum_^n a_i P^i, \] \[ X_2 = \sum_^m b_i P^i \]

Правила сложения

Правила сложения выводятся очевидным образом:

\[ Y = X_1 + X_2, \] \[ Y = \sum_^<\mathrm(m,n)> (a_i+b_i) P^i = \sum_^

c_i P^i \]

Теперь, по условиям теоремы, \(0\leq c_i . Поскольку так же \(0\leq a_i , \(0\leq b_i , то \(0\leq a_i+b_i \leq P+P-2\) . Таким образом, имеем два варианта для каждого разряда:

1. \(a_i + b_i . Тогда \(c_i = a_i + b_i\) удовлетворяет условиям теоремы.
2. \(P\leq a_i+b_i . Тогда \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + (a_i+b_i) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + (a_i+b_i-P+P) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + P^+ (a_i+b_i-P) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_+1) P^ + (a_i+b_i-P) P^i + \ldots,\] и тогда \(c_i = a_i+b_i-P удовлетворяет условиям теоремы, а \(a_+b_ +1 может быть рассмотрено аналогично.

Получаем правила сложения: числа складываются поразрядно, начиная с младшего. Если в результате сложения получается число меньшее основания системы счисления, переходим к следующему разряду. Иначе, из результата вычитается основание системы счисления \(P\) и “переносится” как 1 в следующий разряд.

Для облегчения задачи сложения, можно использовать так называемые таблицы сложения. Таблицы сложения составляются достаточно легко для любой P-ичной системы счисления. Рассмотрим несколько примеров.

Таблица сложения двоичной системы счисления

0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица сложения восьмеричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблица сложения шестнадцатиричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

\(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&&&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&\overset<1><>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&\overset<1>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &A&\overset<1>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &A&\overset<1>&9&<>_ <16>\\ \hline<> &A&D&9&<>_ <16>\end\qquad\)

Правила умножения

\[ Y = X_1 \cdot X_2, \] \[ Y = \left(\sum_^n a_i P^i\right) \cdot \left(\sum_^m b_i P^i\right) \]

Раскрывая вторые скобки, получаем:

\[ Y = \sum_^m b_i P^i \left(\sum_^n a_j P^j\right) \]

Внося \(P^i\) в скобку,

\[ Y = \sum_^m b_i \left(\sum_^n a_j P^\right) \]

Обозначим \[ Y_i = b_i \cdot \sum_^n a_j P^j \]

Тогда \[ Y = \sum_^m Y_i P^i \]

Таким образом, каждый разряд \(b_i\) умножается на число \(X_1\) , результат смещается на \(i\) разрядов влево (умножается на \(P^i\) ), затем все промежуточные результаты складываются (правила сложения нам уже известны).

Рассмотрим теперь умножение на один разряд:

\[ Y_i = b_i \cdot \sum_^n a_j P^j = \sum_^n a_j b_i P^j = \sum_^n c_j P^j .\]

По условиям теоремы, \(0\le c_j . В то же время, \(0 \le a_j b_j \le (P-1)^2\) . \((P-1)^2 = P^2 — 2P + 1 .

Тогда, имеем два варианта:

. Тогда \(c_j = a_j b_i\) удовлетворяет условиям теоремы.

\(P \le a_j b_i \le (P-1)^2\) . Тогда можем разложить \(a_j b_i = p_j P + c_j\) . В разложении не может быть больше двух членов, поскольку \(a_j b_i . \(c_j\) очевидно удовлетворяет условиям теоремы, а следующий разряд получает “перенос” \(p_j\) : \(a_j b_i + p_j \le P^2 — 2P + 1 + P-1 = P^2-P и может быть рассмотрен аналогично.

Получаем правила умножения: Каждый разряд второго операнда умножается на первый операнд, причем результат смещается на положение этого разряда. Первый операнд умножается на разряд второго поразрядно, начиная с младшего, причем, если результат больше основания системы счисления P, то, записанный в P-ичной системе счисления результат будет иметь два разряда, младший из которых определит текущий разряд промежуточного результата \(Y_i\) , а старший будет аддитивно перенесен в следующий.

Для облегчения умножения, существуют таблицы умножения. Их составление немного сложнее, чем таблиц сложения, однако при наличии таблиц сложения оказывается тоже достаточно простым.

Таблица умножения двоичной системы счисления

0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица умножения восьмеричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Таблица умножения шестнадцатиричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

\(\begin & & A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> \end\qquad\) \(\begin & & A & \underline E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & \underline E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & & \underline A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & \underline E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & 8 & C & & <>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & & A & \underline E & <>_ <16>\\ \times & & \underline 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & 2 & A & & <>_ <16>\\ \end\qquad\) \(\begin & & \underline A & E & <>_ <16>\\ \times & & \underline 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & & 2 & A & & <>_ <16>\\ + & 1 & E & & & <>_ <16>\\ \end\qquad\) \(\begin & & A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & & 2 & A & & <>_ <16>\\ + & 1 & E & & & <>_ <16>\\ \hline<> & \overset<1> <1>& \overset<2> <8>& 2 & 4 & <>_ <16>\\ \hline<> & 2 & A & 2 & 4 & <>_ <16>\end\qquad\)

Правила вычитания и деления

Правила вычитания и деления, как можно понять, абсолютно аналогичны правилам вычитания и деления в столбик в десятичной системе счисления, с той поправкой, что максимальная цифра ограничивается основанием системы счисления \(P\) .

Для вычитания можно использовать таблицы сложения, а для деления – таблицы умножения и сложения.

\(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ — & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&&&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ — & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&&1&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & \dot A & 4 & D & <>_ <16>\\ — & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&C&1&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & \dot A & 4 & D & <>_ <16>\\ — & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &9&C&1&<>_ <16>\end\qquad\)

\(\begin & 8 & D & 6 & <>_ <16>\\ — & 8 & 2 & & \\ \hline<> & & B & 6 \end \begin \begin <|llll>D & <>_ <16>& \\ \hline<> A \end \\ & \end\)

\(\begin & 8 & D & 6 & <>_ <16>\\ — & 8 & 2 & & \\ \hline<> & & B & 6 \\ & — & B & 6 \\ \hline<> &&& 0 \end \begin \begin <|llll>D & <>_ <16>& \\ \hline<> A & E & <>_ <16>\end \\ & \\ & \\ & \end\)

Правила преобразования чисел между системами счисления.

Другим интересным следствием теоремы о единственности представления чисел является преобразование чисел между системами счисления.

Преобразование чисел в десятичную систему счисления

Если дано число \(X\) в P-ичной системе счисления, то для его перевода в десятичную, достаточно записать представление в виде числового ряда в десятичной системе и вычислить получившееся выражение. Другими словами, каждую цифру перевести в десятичную систему, домножить на ее “вес” (в десятичной системе) и сложить полученные числа.

\[ ACE_ <16>= 10 \cdot 16^2 + 12 \cdot 16 + 14 = 2560 + 192 + 14 = 2766 \]

\[ 10100101110110_2 = 2 + 4 + 16 + 32 + 64 + 256 + 2048 + 8192 = 10614 \]

Преобразование чисел из десятичной системы счисления

Рассмотрим разложение числа \(X\) в P-ичной системе счисления:

\[ X = a_n P^n + \ldots + a_1 P^1 + a_0 \]

Если разделить \(X\) на \(P\) с остатком, то получим

то есть \(a_0\) – остаток, а \((a_n P^ + \ldots + a_1)\) – частное. Если теперь разделить частное на \(P\) , получим:

\[\frac + \ldots + a_1>

= a_n P^ + \ldots + a_2 + \frac

.\]

Ясно, что мы можем повторить эту процедуру \(n\) раз, и в результате получим \(0\) в частном и \(a_n\) в остатке.

Таким образом, мы можем получить значения всех разрядов в P-ичном числе, пользуясь его десятичным представлением.

\[ 9283_ <10>= _ <16>\] \[ 9283/16 = 580\;(3)\] \[ 580/16 = 36\;(4)\] \[ 36/16 = 2\;(4)\] \[ 2/16 = 0\;(2)\] \[ 9283_ <16>= 2443_<16>\]

Смешанные системы счисления

Пример смешанного двоично-шестнадцатиричного числа: \[ <[1011_2][1110_2][1110_2][1111_2]>_ <16>\]

Пример смешанного десятично-шестнадцатиричного числа:

Интересная особенность проявляется в PQ-ичных системах счисления, в которых основание Q – это степень основания P.

Рассмотрим две системы счисления с основаниями \(P\) и \(Q\) , причем \(Q = P^k\) , где \(m\in\mathbb\) . Тогда число \(X\) можно разложить как \[ X = \sum_^n a_i P^i, \] \[ X = \sum_^ b_j Q^j.\]

Приравняв оба представления и подставив \(Q = P^k\) ,

\[ \sum_^n a_i P^i = \sum_^ b_j P^\] \[ a_n P^n + \ldots + a_ <2k-1>P^ <2k-1>+ \ldots + a_ P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0\] \[ a_n P^n + \ldots + \left( a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_\right) P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0.\]

Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, можем сказать, что

\[b_0 = a_ P^ + \ldots + a_0,\] \[b_1 = a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_k,\] \[\ldots\]

Получаем, что каждая Q-ичная цифра соответствует P-ичному числу из \(k\) цифр, и наоборот.

Эта связь позволяет легко переводить числа между системами счисления с основаниями \(P\) и \(Q\) , если \(Q = P^k\) .

Для перевода из P-ичной в Q-ичную, число разбивается на группы по \(k\) P-ичных цифр, и каждая из групп переводится в Q-ичную систему счисления.

Для перевода из Q-ичной в P-ичную, каждая Q-ичная цифра переводится в P-ичную систему счисления, и при необходимости дополняется слева нулями до \(k\) цифр.

Автоматическое составление таблиц сложения и умножения

Несложно оказывается написать программу, которая автоматически строит таблицы сложения и умножения.

Источник