Лекция 2. Арифметические основы работы ЭВМ

2.1. Что такое система счисления

Система счисления — это способ представления любого числа посредством алфавита символов, называемых цифрами.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757.7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757.7 означает сокращенную запись выражения 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 —1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + . + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + . + a -m q -m ,
где a i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

2.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине .

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0 . В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

2.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10-я 2-я 8-я 16-я 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10-я 2-я 8-я 16-я 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления .

2.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов , необходимых для записи чисел.

2.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Чтобы перевести восьмеричное ( шестнадцатеричное ) число в двоичную систему, нужно заменить каждую цифру восьмеричного (шестнадцатеричного) числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа.

Чтобы перевести двоичное число в восьмеричную ( шестнадцатеричную ) систему счисления нужно двигаясь от точки влево, а затем вправо, разбить двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя, при необходимости, нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов следует заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

2.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления

Чтобы перевести целое десятичное число в двоичную ( восьмеричную , шестнадцатеричную ) систему счисления, нужно последовательно делить с остатком («нацело») это число, а затем получаемые частные на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет меньше основания. При переводе запись двоичного числа следует начинать со старшего значащего разряда, а заканчивать записью младшего значащего разряда.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

2.7. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную ( восьмеричную , шестнадцатеричную ) нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание, представленное в десятичной системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системе счисления.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

2.8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную

Перевод в десятичную систему числа x , записанного в q -ичной cистеме счисления ( q = 2, 8 или 16) в виде

x q = (a n a n-1 . a 0 , a -1 a -2 . a -m ) q

сводится к вычислению значения многочлена
x 10 = a n q n + a n-1 q n-1 + . + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + . + a -m q -m

средствами десятичной арифметики.

2.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

• в кружках записаны основания систем счисления;
• стрелки указывают направление перевода;
• номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 2.1.

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6. Сводная таблица переводов целых чисел
Таблица 2.1.

2.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F 16 +6 16

Ответ: 15+6 = 21 10 = 10101 2 = 25 8 = 15 16 . Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 10101 2 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16+4+1=21, 25 8 = 2 . 8 1 + 5 . 8 0 = 16 + 5 = 21, 15 16 = 1 . 16 1 + 5 . 16 0 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F 16 +7 16 +3 16

Ответ: 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25 10 — 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;
8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5 . 6 = 30 10 = 11110 2 = 36 8 .
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
36 8 = 3 . 8 1 + 6 . 8 0 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115 . 51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8 .
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1 . 8 4 + 3 . 8 3 + 3 . 8 2 + 5 . 8 1 + 1 . 8 0 = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351 8 :163 8

Ответ: 5865 : 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43 8 : 16 8

Ответ: 35 : 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;
2,4 8 = 2 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 2,5.

2.11. Как представляются в компьютере целые числа

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код . В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код . Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

3. Дополнительный код . Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

2.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов . Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11 10 вместо обратного кода числа -10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -10 10 .

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n-1 , где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n-1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2 ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых , что является свидетельством переполнения разрядной сетки .

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n-1 . Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых , что свидетельствует о переполнении разрядной сетки .

Сложение дополнительных кодов . Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает .

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр , называемый накапливающим сумматором , который до начала выполнения операции содержит число ноль . В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений , а по завершении операции — окончательный результат .

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель . Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается , пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 .

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

2.13. Упражнения

2.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

2.2. Какие целые числа следуют за числами:

a) 1 2 ;	f) 1 8 ;	k) F 16 ;
b) 101 2 ;	g) 7 8 ;	l) 1F 16 ;
c) 111 2 ;	h) 37 8 ;	m) FF 16 ;
d) 1111 2 ;	i) 177 8 ;	n) 9AF9 16 ;
e) 101011 2 ;	j) 7777 8 ;	o) CDEF 16 ?

2.3. Какие целые числа предшествуют числам:

a) 10 2 ;	f) 10 8 ;	k) 10 16 ;
b) 1010 2 ;	g) 20 8 ;	l)20 16 ;
c) 1000 2 ;	h) 100 8 ;	m) 100 16 ;
d) 10000 2 ;	i) 110 8 ;	n) A10 16 ;
e) 10100 2 ;	j) 1000 8 ;	o) 1000 16 ?

2.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?

2.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

• a) в двоичной системе;
• b) в восьмеричной системе;
• c) в шестнадцатеричной системе?

2.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100 x = 1 · x 2 + 0 · x 1 + 0 · x 0 , 21 x = 2 · x 1 + 1 · x 0 , 24 x = 2 · x 1 + 4 · x 0 . Таким образом, x 2 = 2x + 2x + 5 или x 2 — 4x — 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

2.7. В какой системе счисления справедливо следующее:

• a) 20 + 25 = 100;
• b) 22 + 44 = 110?

2.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

2.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

a) 1011011 2 ;	f) 517 8 ;	k) 1F 16 ;
b) 10110111 2 ;	g) 1010 8 ;	l) ABC 16 ;
c) 011100001 2 ;	h) 1234 8 ;	m) 1010 16 ;
d) 0,1000110 2 ;	i) 0,34 8 ;	n) 0,А4 16 ;
e) 110100,11 2 ;	j) 123,41 8 ;	o) 1DE,C8 16 .

2.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125 10 ; б) 229 10 ; в) 88 10 ; г) 37,25 10 ; д) 206,125 10 .

2.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

a) 1001111110111,0111 2 ;	d) 1011110011100,11 2 ;
b) 1110101011,1011101 2 ;	e) 10111,1111101111 2 ;
c) 10111001,101100111 2 ;	f) 1100010101,11001 2 .

2.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

a) 2СE 16 ; b) 9F40 16 ; c) ABCDE 16 ; d) 1010,101 16 ; e) 1ABC,9D 16 .

2.13. Выпишите целые числа:

• a) от 101101 2 до 110000 2 в двоичной системе;
• b) от 202 3 до 1000 3 в троичной системе;
• c) от 14 8 до 20 8 в восьмеричной системе;
• d) от 28 16 до 30 16 в шестнадцатеричной системе.

2.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

2.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

2.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

2.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

a) 1011101 2 и 1110111 2 ;	e) 37 8 и 75 8 ;	i) A 16 и F 16 ;
b) 1011,101 2 и 101,011 2 ;	f) 165 8 и 37 8 ;	j) 19 16 и C 16 ;
c) 1011 2 , 11 2 и 111,1 2 ;	g) 7,5 8 и 14,6 8 ;	k) A,B 16 и E,F 16 ;
d) 1011 2 , 11,1 2 и 111 2 ;	h) 6 8 , 17 8 и 7 8 ;	l) E 16 , 9 16 и F 16 .

2.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

2.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

2.20. Вычтите:

a) 111 2 из 10100 2 ;	e) 15 8 из 20 8 ;	i) 1А 16 из 31 16 ;
b) 10,11 2 из 100,1 2 ;	f) 47 8 из 102 8 ;	j) F9E 16 из 2А30 16 ;
c) 111,1 2 из 10010 2 ;	g) 56,7 8 из 101 8 ;	k) D,1 16 из B,92 16 ;
d) 10001 2 из 1110,11 2 ;	h) 16,54 8 из 30,01 8 ;	l) ABC 16 из 5678 16 .

2.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

a) 101101 2 и 101 2 ;	e) 37 8 и 4 8 ;
b) 111101 2 и 11,01 2 ;	f) 16 8 и 7 8 ;
c) 1011,11 2 и 101,1 2 ;	g) 7,5 8 и 1,6 8 ;
d) 101 2 и 1111,001 2 ;	h) 6,25 8 и 7,12 8 .

2.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.

2.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

2.24. Вычислите значения выражений:

• a) 256 8 + 10110,1 2 . (60 8 + 12 10 ) — 1F 16 ;
• b) 1AD 16 — 100101100 2 : 1010 2 + 217 8 ;
• c) 1010 10 + (106 16 — 11011101 2 ) : 12 8 ;
• d) 1011 2 . 1100 2 : 14 8 + (100000 2 — 40 8 ).

2.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

• a) 74 8 , 110010 2 , 70 10 , 38 16 ;
• b) 6E 16 , 142 8 , 1101001 2 , 100 10 ;
• c) 777 8 , 101111111 2 , 2FF 16 , 500 10 ;
• d) 100 10 , 1100000 2 , 60 16 , 141 8 .

2.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, . -3 в однобайтовом формате:

• a) в прямом коде;
• b) в обратном коде;
• c) в дополнительном коде.

2.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

a) 31; b) -63; c) 65; г) -128.

2.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; b) -15; c) -127; d) -128.

2.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

a) 1 1111000; b) 1 0011011; c) 1 1101001; d) 1 0000000.

2.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; b) 1 0011111; c) 1 0101011; d) 1 0000000.

Источник