Например , число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30.
Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются
2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются
3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.
   ( Нельзя писать Надо :

Пример 1: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10 ) + 5 + 1 + 1 = 1997

Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр:

Например , число
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:

• Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.
  Например , записать при помощи цифры неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.
• Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.

Источник

Система счисления это алфавит способ представления

Компьютер, являясь одним из основных средств информационных технологий, используемых челове­ком для автоматизации информационных процессов, содержит в себе много компонентов и базируется на различных принципах работы. Для изучения всех осо­бенностей функционирования компьютеров и других устройств, автоматически работающих с информаци­ей, нужны глубокие знания из области информатики, математики, физики, химии, логики, электротехники.

Однако работа практически любых современных технических устройств, автоматически передающих, хранящих и обрабатывающих информацию, основыва­ется на единых подходах к кодированию информации и типовых действиях с информацией. Кроме того, ос­новные правила кодирования и элементарные дейст­вия, выполняемые даже очень мощными компьютера­ми, на самом деле являются достаточно простыми. По­этому разобраться в них может каждый школьник. В то же время знания основных правил кодирования ин­формации и элементарных действий, выполняемых с информацией, позволяют человеку лучше ориентиро­ваться в работе компьютерной техники, грамотно вза­имодействовать с компьютером и другими подобными устройствами.

Компьютерную технику не случайно часто называют вычислительной. Даже современные компьютеры, которые на первый взгляд редко выполняют действия с числами, а используются для работы с текстом, звуком, графическими, видео – или фотоизображениями, на самом деле обрабатывают числа. Поэтому технические устройство, автоматически работающие с различными видами информации, не только выполняют операции с числами, но и приводят информацию любого вида к числовой информации, иначе говоря, выполняют кодирование информации для приведения ее к единой форме.

Овладеть основами кодирования информации разного вида и элементарными приемами обработки можно только после изучения кодирования чисел.

Представление чисел человек осуществляет с помощью различных систем счисления. Для записи порядкового номера главы книги можно использовать римскую систему счисления. Десятичная система счисления наиболее удобна для людей при выполнении арифметических действий над числами. Для представления чисел в компьютере применяется двоичная система счисления. Во всех случаях для записи чисел используются определенные символ, называемые цифрами, устанавливаются правила понимания значения этих цифр и выполнения действия над ними .

Система счисления – способ записи чисел с помощью цифр и правила действий со значениями этих цифр .

Другими словами можно сказать, что системы счисления являются языками представления чисел. Используя такие языки, человек может представить одно и тоже число разными способами в зависимости от особенностей работы человека с информацией.

В римской системе счисления значение цифры не зависит от ее позиции в числе. Поэтому она называется непозиционной системой счисления. Кроме нее, непозиционными системами счисления являются славянская, греческая и другие алфавитные системы.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в числе.

Непозиционные системы счисления малопригодны для выполнения действий с числами. Поэтому со временем эти системы уступили место позиционным системам счисления, которые к тому же имеют одинаковые принципы построения чисел. В десятичной системе счисления, так же как и в двоичной системе счисления, значение цифры зависит от ее позиции в числе. Такие системы счисления называются позиционными.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Для того что понять механизм работы компьютера с числами, представленными в двоичной системе счисления, а так же научиться переводить числа из двоичной системы в десятичную, необходимо рассмотреть правила образования целых чисел в позиционных системах счисления и способы перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Каждая позиционная система счисления имеет свой алфавит, содержащий конечный набор упорядоченных цифр , из которых можно составить любое количество чисел. Позиционные системы отличаются друг от друга мощностью алфавита, которая называется основанием системы счисления.

Алфавит системы счисления – конечное и упорядоченное множество цифр, используемых для записи чисел в системе счисления.

Основание системы счисления – количество цифр в алфавите системы счисления.

Запись последовательности чисел осуществляется с помощью правил счета.

Правило построения последовательности целых положительных чисел в позиционных системах счисления.

1. Для получения следующего целого числа надо в данном числе заменить самую правую цифру числа следующей по величине цифрой.

2. Если какая-либо заменяемая цифра является самой старшей цифрой алфавита, то ее надо заменить на 0, а цифру, стоящую слева от нее, заменить следующей по величине цифрой .

Принципы записи чисел в позиционных системах счисления

Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса.
Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.

В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа.
444=4*10 0 +4+10 1 +4*10 2 ; 658=8*10 0 +5*10 1 +6*10 2 .
Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…
Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.

В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7,базисом является последовательность 1, 8, 8 2 , 8 3 , 8 4 …, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 345₈=5*8 0 +4*8 1 +3*8 2
Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…
Таким образом, справедливо, что 8₁₀=10₈.
В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 3 2 , 3 3 , 3 4 …,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*3 0 +2*3 1 +1*3 2 . Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 3₁₀=10₃.
Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 2 2 , 2 3 ,2 4 ,… Развернутая запись числа 10110₂=0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +1*2 4 . Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 2₁₀=10₂.
В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записи шестнадцатеричного числа 3А5₁₆=5*16 0 +10*16 1 +3*16 2 . Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 16₁₀=10₁₆.

Таким образом, позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
В общем виде это можно записать так: a_na_n-1a_n-2…a₁a₀,b₁b₂…b_k=a_n*p n +a_n-1*p n-1 +…+a₁*p 1 +a₀*p 0 +b₁*p -1 +b₂*p -2 +…+b_k*p -k
где р — основание системы счисления, а_i,b_i – цифры р-ичного числа.

Источник

Системы счисления. Основные понятия.

Система счисления — это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

• даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

• отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции — номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не

зависит от позиции (разряда).

Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)

одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,

то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 — 9, т.о., допускается число 450

(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может

отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

секунд и минут существует 60 разнообразных символов ( «00» — «59»), в разряде часов – 24 символа

(«00» — «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в

числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции

Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда

меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.

Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в

последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые

используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число — 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное

множество позиционных систем.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что