Синтетический способ решения задач пример
На основе аналитического и синтетического методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический (синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор задачи.
Под анализом подразумевают способ рассуждений от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.
Под синтезом подразумевают способ рассуждений от частного к общему (синтезировать – получать из частей). В задачах это разбор от данных к вопросу, однако, назвать этот метод чисто синтетическим нельзя, т.к. прежде, чем получать метод разбора от данных к вопросу, эти данные нужно предварительно вычленить из задачи, т.е. проанализировать условие задачи.
Непосредственно сам разбор задачи представляет собой цепочку рассуждений, основанных на анализе и синтезе. Организуя разбор задачи вместе с детьми, учитель должен продумать систему специально подобранных вопросов, при помощи которых организуется выбор решения задачи. Эти вопросы не должны быть наводящими, должны вести к самостоятельному выбору решения. Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения. Если вы разбираете задачу с одновременным составлением схемы разбора, то план решения прослеживается прямо по схеме.
Проиллюстрируем различные способы разбора задач на примере следующей задачи: «За день туристы преодолели 100 км. 84 км они проехали автобусом, а остальной путь прошли пешком за 4 часа. Сколько километров туристы проходили за 1 час?» [Б3, №716].
В результате анализа содержания задачи появляется ее краткая запись в виде чертежа:
Направление рассуждений будет следующим:
1) Разбор от вопроса к данным.
Что спрашивается в задаче? (Сколько км туристы проходили за 1 час?) Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Путь, который прошли туристы и время, которое они затратили на этот путь). Можно ли сразу узнать, сколько км туристы проходили за 1 час? (Нельзя, т.к. мы не знаем путь, который они прошли). Можно ли сразу узнать путь, пройденный пешком? (Можно). Почему вы думаете, что можно? (Так как мы знаем общий путь и путь, пройденный пешком). Далее осуществляется наметка плана решения.
Источник
Синтетический метод решения
Необходимое условие решения сложной задачи – умение решать простые задачи, к которым сводится любая сложная задача. При наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический.
Как ученики обычно решают сложную задачу? Они берут любое данное в условии задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают; если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т.д. до тех пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым основной задачи.
Это и есть синтетический метод решения задач.
Если основную задачу условно записать: А 
У, а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из которых состоит решение основной задачи, обозначить соответственно через а1 и аn, то процесс решения задачи синтетическим методом можно записать в виде:
.
Рассмотрим этот метод на примере.
Задача. Две машины убирают снег за 6 часов. Однажды, после 3 ч совместной работы, первую машину отправили в другой район города, а оставшаяся машина закончила уборку за 5 ч. За сколько часов каждая машина отдельно может выполнить всю работу?
1) Какую часть всей работы выполнили две машины, работая вместе?
2) Какую часть всей работы выполнила вторая машина, после ухода первой?
3) За сколько часов могла бы выполнить всю работу вторая машина, работая отдельно?
4) Какую часть всей работы выполнила вторая машина за 3ч?
5) Какую часть работы выполнила первая машина за 3 ч?
6) За сколько часов могла бы выполнить всю работу первая машина отдельно?
О т в е т : 15ч и 10ч.
Если решение задачи записывается кратко, то необходимо требовать от учеников уметь осознано и правильно формулировать вопросы к каждому действию или пояснять результат полученных вычислений, чтобы исключить случайное совпадение отвлеченных чисел.
Синтетический метод широко применяется не только при решении задач арифметическим способом, но и при решении геометрических задач на вычисление и построение (см. след. пункт).
Рассмотрим краткое решение задачи по геометрии на вычисление.
Задача. В трапеции АВСD диагональ АС перпендикулярна CD и длина проекции CD на основание AD равна 5. Найти длины сторон трапеции, если боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям и ВС = 2АВ.
Р е ш е н и е.
1) Пусть АВ = х. Тогда ВС =АН = 2х, СН = х.
2) В прямоугольном треугольнике АСD СН 2 = АН ∙ НD, или 
. Значит х = 10.
3) АВ= 10, ВС= 20, AD = 25.
4) Из прямоугольного треугольника СHD по теореме Пифагора: 
.
О т в е т : АВ= 10, ВС = 20, СD = 
, DA = 25.
Основной недостаток синтетического метода – отсутствие какого бы ни было критерия в вопросе, с чего, с каких данных начинать решение и какие вспомогательные величины определять, какие простые задачи решать в дальнейшем, чтобы решить основную задачу. Этот метод мало пригоден для отыскания новых решений и слабо способствует научению школьников самостоятельно решать задачи, логически рассуждать, продуктивно мыслить. Пользуясь синтетическим методом, учащиеся нередко выполняют лишнюю работу, а иногда слабый ученик может предложить бессмысленное действие.
Единственное, на что можно в некоторой степени можно опереться, применяя синтетический метод, – это прошлый опыт ученика в решении задач, аналогия, ассоциации, которые может вызвать решаемая задача.
Достоинством синтетического метода является компактность, достигаемая при изложении готовых решений, полученных в процессе синтетического или аналитического поиска.
Несмотря на низкую поисковую и дидактическую эффективность синтетического метода, он пользуется популярностью у школьников и даже учителей, поскольку весьма прост и не требует большого мыслительного напряжения.
Источник
Синтетический способ решения задач пример
Необходимое условие решения сложной задачи – умение решать простые задачи, к которым сводится любая составная задача. При наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический (по Н.В. Метельскому).
Часто при решении составной задачи многие ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают, если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым основной задачи.
Это и есть синтетический метод решения задач. Если основную задачу условно записать: АÞX, а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из которых состоит решение основной задачи, обозначить соответственно через а1 и аn, то процесс решения задачи синтетическим методом можно записать в виде:
Синтетический метод широко применяется при решении задач арифметическим способом.
Основной недостаток синтетического метода – отсутствие какого бы то ни было критерия в вопросе, с чего, с каких данных начинать решение и какие вспомогательные величины определять, какие простые задачи решать в дальнейшем, чтобы решить основную задачу. Этот метод мало пригоден для отыскания новых решений и слабо способствует научению школьников самостоятельно решать задачи, логически рассуждать, продуктивно мыслить. Пользуясь синтетическим методом, учащиеся нередко выполняют лишнюю работу, а иногда слабый ученик может предложить бессмысленное действие. Единственное, на что в некоторой степени можно опереться, применяя синтетический метод – это прошлый опыт ученика в решении задач, аналогии, ассоциации, которые может вызвать решаемая задача. Некоторую помощь учащимся оказывает здесь и анализ, проявляющийся в скрытой, неявной форме.
Достоинством синтетического метода является компактность, достигаемая при изложении готовых решений, полученных в процессе синтетического или аналитического поиска.
Несмотря на низкую поисковую и дидактическую эффективность синтетического метода, он пользуется популярностью у школьников и даже учителей, поскольку весьма прост и не требует большого мыслительного напряжения.
При аналитическом методе решения отправляются не от условия задачи, как это делают при синтетическом методе, а от ее требования, вопроса. Это характерно для всех разновидностей аналитического метода, применяемых при решении задач.
Решение задач аналитическим методом начинается с постановки следующего вопроса, связанного с требованием решаемой задачи: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос данной задачи (выполнить ее требование)?» Для правильного ответа на поставленный вопрос необходимо знать данные задачи и учитывать те зависимости, которые связывают их с искомым числом.
Пусть для вычисления искомого Х основной задачи требуется знать, например, числа pi и qi, из которых при помощи некоторого математического действия можно получить X, т. е. решить основную задачу. Таким образом, сначала основная задача с требованием Х преобразовалась в первую серию вспомогательных задач с искомыми pi и qi, Обозначим первую серию вспомогательных задач через В1. Ставим тот же вопрос к каждой из вспомогательных задач: «Что нужно знать, чтобы найти p1 (q1), и опять при ответе на этот вопрос используем условие (А) основной задачи, а также взаимосвязи между этими данными.
Пусть для вычисления p1 требуется знать p2 и q2, а для вычисления q1, — знать p2’ и q2’. Теперь основная задача преобразовалась во вторую серию (B2) вспомогательных задач, включающую задачи по нахождению p2 и q2, p2’ и q2’,
Продолжая процесс преобразования, получаем, наконец, такую серию (Вn) вспомогательных задач, искомые которых содержатся во множестве данных основной задачи. Искомое число любой из вспомогательных задач предыдущих серий также могло оказаться известным, и тогда эта вспомогательная задача не подвергается преобразованию с помощью аналитического метода.
Таким образом, основная задача решена аналитическим методом, поскольку этим методом проведен поиск и найден путь решения задачи, главное здесь именно в этом, а не в оформлении записи уже известного решения.
Найденное аналитическое решение можно изложить различными способами, в том числе и синтетическим. В последнем случае пришлось бы следовать от конца аналитического рассуждения к его началу, не производя при этом никаких поисков.
Если основную задачу условно записать формулой АÞX, описанный выше аналитический путь преобразования задачи изобразится схемой: а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из Х –В1 –В2 – … – Вn-1 – Bn, где АÞ Bn, BnÞВn-1, …, В1ÞX
Если после внимательного ознакомления ученика с условием и требованием задачи путь решения ему очевиден или почти очевиден, поиск решения лучше осуществлять синтетическим методом. Аналитический метод применяется тогда, когда задача достаточно сложная и прошлый опыт ученика не подсказывает ему плана решения или примерного направления поиска.
В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.
Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определенен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи, чем при пользовании синтетическим методом. Аналитический метод решения задач на вычисление должен найти достаточно широкое применение и рациональное сочетание с другими методами.
Источник
Обучение учащихся решению задач с использование синтетического метода
Мы рассмотрим реализацию описанных методов путей обучения математике посредством использования диалогического метода. Обратимся вначале к задачам, которые решаются с помощью синтеческого подхода.
Просмотр содержимого документа
«Обучение учащихся решению задач с использование синтетического метода»
В данной главе мы рассмотрим реализацию описанных методических путей обучения математике посредством использования диалогического метода. Обратимся вначале к задачам, которые решаются с помощью синтетического подхода. Рассмотрим ряд задач.
Задача 1. Катя купила 7 корзин яблок по 10 килограммов в каждой. Килограмм яблок она покупала по 30 рублей; переложив все яблоки в меньшие корзины по 5 килограммов в каждую, она продала каждую корзину по 200 рублей. Сколько прибыли получила Катя от продажи всех яблок?
Эта задача решается синтетическим методом, и поэтому начинаем рассуждать, отталкиваясь от условия. Из условия, нам известно количество корзин и килограммов в каждой, значит, мы можем узнать, сколько всего килограммов яблок у Кати. Нам также известно, сколько рублей Катя заплатила за килограмм, значит, мы можем найти, сколько она потратила. Далее Катя переложила все яблоки в корзины по пять килограммов и продавала каждую корзину яблок по 200 рублей. Зная массу яблок, несложно найти количество корзин. Чтобы узнать, сколько Катя получила денег, нужно стоимость каждой корзины умножить на их количество. И наконец, чтобы найти прибыль, нужно из тех денег, что Катя получила при продаже, вычесть количество потраченных денег.
Учитель: Если мы знаем, что куплено 7 корзин яблок и что в каждой корзине
было по 10 килограммов, что мы можем узнать?
Ребята: Мы можем узнать, сколько всего килограммов яблок (в 7 корзинах).
7 · 10 = 70 (кг) — всего яблок.
Учитель: Далее в задаче сказано, что Катя купила 1 килограмм яблок за 30 рублей, что мы можем найти из этого?
Ребята: Мы можем найти количество денег, потраченных Катей.
70 · 30 = 2100 (руб.) – потратила Катя.
Учитель: Что же потом сделала Катя?
Ребята: Она переложила все яблоки в корзины по 5 кг.
Учитель: А как мы найдем количество этих корзин?
Ребята: Мы знаем, что всего 70 кг яблок. Для того, чтобы найти количество корзин по 5 кг, нужно 70 : 5 = 14 (корзин) по 5 кг получилось у Кати.
Учитель: Что Катя сделала потом с этими корзинами?
Ребята: Она продала их по 200 рублей за каждую. И для того, чтобы найти, сколько денег Катя получила, нужно 14 • 200 = 2800 (руб.) — количество денег, полученных Катей.
Учитель: А как мы найдем прибыль Кати?
Ребята: Нам нужно из денег, которые она получила, вычесть потраченные
деньги, 2800 – 2100 = 700 (руб.) — прибыль Кати.
Ответ: от продажи яблок Катя получила прибыль 700 рублей.
В синтетическом методе решения геометрических задач можно условно выделить: а) непосредственное синтетическое решение несложных геометрических задач; б) запись в виде синтетического решения более сложных задач.
а) Непосредственное синтетическое решение несложных геометрических задач. Примером таких задач может быть следующая задача.
Задача 2. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого?
Мы знаем из условия задачи, что нам даны смежные углы, один из которых в два раза больше другого, значит, один угол мы можем заменить на удвоенный второй. Зная, что сумма смежных углов равна 180°, легко найдем значения неизвестных углов.
Учитель: что мы имеем из условия?
Ребята: из условия задачи мы имеем: 1 и 2 – смежные и l = 2 2.
Учитель: что требуется найти в задаче?
Ребята: В задаче требуется найти эти смежные углы.
Учитель: А какими свойствами обладают смежные углы?
Ребята: Из свойства 1 можно записать l + 2 = 180° (по определению смежных углов).
Учитель: Если учитывать данное свойство, а также условие задачи, как можно найти эти углы?
Ребята: l = 22; 2 + 22 = 180°. Получаем, 2 = 60°; 1 = 120°.
Ответ: 1 = 120° и 2 = 60°.
б) Запись в виде синтетического решения более сложных задач, где появление вспомогательных суждений часто связано с использованием нестандартных математических идей – анализа. Важно, чтобы эти идеи были подготовлены и учащиеся самостоятельно к ним приходили.
Содержание этих задач можно обсуждать отдельно, а вот форма деятельности в них определяется практически чистым синтезом или очень простым использованием приема «синтеза через анализ».
Задача 3. Треугольники BCD и АКЕ равны. В Δ АКЕ АК = 20 см, K =54°, E = 60°. Найдите соответствующие стороны и углы Δ BCD .
Зная из условия, что треугольники равны, сторону и два угла Δ АКЕ, мы можем определить, какие углы и стороны первого треугольника равны сторонам и углам второго треугольника, и отсюда найти соответствующие стороны и углы Δ BCD.
Учитель: Что мы имеем из условия задачи?
Ребята: Из условия задачи мы имеем, что Δ BCD = Δ АКЕ; АК = 20 см; К = 54°; E = 60°.
Учитель: Какой вывод можно сделать из того, что треугольники равны?
ВС = АК = 20 см (1, 2);
Ответ: АК = 20 см, K = 54°, E = 60°.
Задача 4. В прямоугольном Δ ABC (ВС – гипотенуза) угол В равен 30°. Чему равен угол С?
Зная, что нам дан прямоугольный треугольник, какая сторона является гипотенузой, легко сказать, какой угол равен 90°. А далее, используя теорему о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, легко найти искомый угол.
Учитель: Что имеем из условия задачи?
Ребята: Из условия нам дано, что Δ АВС – прямоугольный; ВС – гипотенуза Δ ABC; B = 30°; C – ?
Учитель: какое следствие можно записать из п. 2?
Ребята: Используя п. 2, можно сразу записать простое следствие А = 90°.
Учитель: Если А = 90°, то какую теорему можно вспомнить о других углах в этом треугольнике?
Ребята: Здесь можно применить теорему о сумме углов треугольника для прямоугольных треугольников.
В + C = 90°. Отсюда, мы можем найти: С = 90° – B = 60°.
Задача 5. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.
Зная из условия два угла треугольника, мы, применив теорему о сумме углов треугольника, легко можем найти третий угол.
Решение. Учитель: что нам дано по условию?
Ребята: нам известно, что дан треугольник, два угла которого равны 50° и 30°.
Учитель: Какую теорему вы знаете о сумме углов в треугольнике?
Ребята: мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы можем найти третий угол, 180° – (50° + 30°) = 100°.
Ответ: С равен 100°.
Задача 6. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
По условию в треугольнике нам известны только два внешних угла. Но зная, что внешний угол смежен с внутренним при этой вершине и что сумма смежных углов равна 180°, легко найдем два внутренних угла треугольника. А затем по теореме о сумме углов в треугольнике найдем и третий угол.
Учитель: Что нам дано в задаче?
Ребята: Нам дан треугольник, у которого внешние углы при двух вершинах равны 120° и 150°.
Учитель: Если это внешние углы, что можно о них сказать?
Ребята: Внешний угол смежен с внутренним углом при этой же вершине.
Учитель: А что мы знаем о смежных углах?
Ребята: Сумма смежных углов равна 180°. Значит, мы можем найти B и C : B = 180° – 120° = 60°, C = 180° – 110° = 70°.
Учитель: Хорошо, теперь мы знаем два угла треугольника. Как найти третий
Ребята: По теореме о сумме углов треугольника найдем А.
A + B + С = 180°, тогда А = 180° – (В + С),
А = 180° – (60° + 70°) = 50°.
В преподавании математики синтетический метод должен занять важное место. Обучение надо вести так, чтобы учащиеся не только практически научились пользоваться синтетическим методом, но поняли его сущность и особенности, так как владение им очень важно в практической деятельности человека. Синтетическое изложение доказательств отличается исчерпывающей полнотой, сжатостью и краткостью. Однако вести все преподавание математики в таком стиле малоэффективно. Это связано в первую очередь с тем, что для начинающих изучать математику синтетические доказательства кажутся искусственными и непонятными.
Источник
