ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Устойчивость сжатых стержней
Продольный изгиб
При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.
Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.
Рассмотрим известные виды равновесия.
Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.
Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.
При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.
При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.
Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.
Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.
Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.
Критическая сила. Критическое напряжение
Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.
При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.
В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:
где Imin – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ — геометрическая длина стержня, μ – коэффициент приведенной длины или коэффициент приведения (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней 
Критическое напряжение вычисляется следующим образом
, где 
гибкость стержня ,
а 
радиус инерции сечения.
Введем понятие предельной гибкости.
Величина λпред зависит только от вида материала: 
Если у стали 3 Е=2∙10 11 Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость
Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80
Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λпред критическая сила определяется по формуле Эйлера.
В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ0≤λ≤λпр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.
где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа, b=1,14МПа.
При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.
Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.
Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость. Коэффициент продольного изгиба
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае 
,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
Коэффициент φ Запись опубликована 24.09.2014 автором admin в рубрике Устойчивость.
Источник
Устойчивость стержней. Продольно — поперечный изгиб
Описание презентации по отдельным слайдам:
Тема 20. Устойчивость стержней. Продольно поперечный изгиб Учебные цели занятия В результате проведенного лекционного занятия курсант должен: знать: — основные понятия, современные теории, законы, уметь: — использовать основные понятия, законы для решения задач сопротивления материалов. Воспитательные цели На занятии необходимо формировать и развивать у курсантов: — любовь к Отечеству, гордость и ответственность за принадлежность к Вооруженным Силам Российской Федерации и их офицерскому корпусу; — офицерскую честь и достоинство, дисциплинированность; -общую культуру, стремление к самосовершенствованию.
Тема 20 Устойчивость стержней. Продольно поперечный изгиб 20.1 Общие понятия о продольном изгибе Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций. Под устойчивостью понимается свойство способности системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Явление перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими. Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.
На начальном этапе нагружения P Pкр сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = Pкр происходит потеря устойчивости системы. Для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов.
20.2 Общая и местная потеря устойчивости Л.Эйлер показал, что нагрузка, при которой стержень данной длины и площади поперечного сечения теряет устойчивость, не зависит от предела прочности материала, а зависит только от формы поперечного сечения, модуля упругости (жесткости) материала и условий закрепления концов стержня при нагружении. При дальнейшем увеличении нагрузки изогнутый стержень разрушается. Такой вид потери несущей способности называется общей потерей устойчивости. При отсутствии общей потери устойчивости нагруженная сжатием конструкция может выйти из строя из-за местных деформаций отдельных участков. Такой вид потери несущей способности называется местной потерей устойчивости. При местной потере устойчивости происходит выпучивание, излом или появление гофра на каком-либо элементе сложного профиля
20.3 Критическая сила. Формула Эйлера Рассмотрение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи Эйлер получил зависимость для критической силы которая носит название «Формула Эйлера» (без вывода) : где µ — коэффициент приведения длины (зависит от способов закрепления концов стержня). Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления.
Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. Найдем границы применимости решения Эйлера: где — радиус инерции сечения. Введем понятие гибкости стержня: Тогда уравнение Эйлера принимает вид: Приравнивая критическое напряжение к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:
Когда напряжения превышают предел пропорциональности Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений: где a, b — постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,1×105 кН/м2 , b = 11,4×102 кН/м2. При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0 8 слайд 
20.4 Критические напряжения при продольном изгибе Расчет сжатых стержней на устойчивость Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы сжимающие напряжения σ не превышали бы критических значений по устойчивости σкр , т.е. При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечениях достигают критических значений. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости n по отношению к критическим напряжениям, с помощью которого и определяется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость: Расчеты на продольный изгиб разделяют на два типа: определение допускаемых нагрузок и подбор сечения.
Задание на самостоятельную работу Основная литература 1. Кичин И.Н. Сопротивление материалов. Учебное пособие.- Ейск, 1970. — ( с. 271-293). 2. Григорьев Ю.П. Сопротивление материалов и строительная механика авиационных конструкций. Учебник для ВУЗ ВВС. – М. :Воениздат, 1977. — (с. 270-285). 3. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. Учебное пособие. – М. :Высшая школа, 2003. — (с. 337-346). Дополнительная литература 1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Учебник для втузов.- М.: Наука, 1986. — (с. 413-424).
Источник
