Русско крестьянский способ умножения чисел

Русско крестьянский способ умножения чисел

«Русский» способ умножения

Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то-есть того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких — чуждых для современного слуха — стихах:

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения зтой операции получается искомое произведение:

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо — гласит правило — в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

На чем основан этот прием?

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Источник

Умножение по методу русских крестьян

Иногда этот метод называют «крестьянское умножение», иногда «древнеегипетское», иногда «эфиопское», иногда «умножение через удвоение и деление пополам». Некоторым он хорошо известен, некоторым – непонятен, но при этом он достаточно полезен и может использоваться не только для умножения, но и для возведения в степень и расчётов матриц.

Алгоритм

Запишем два перемножаемых числа рядом – они станут заголовками двух столбцов. Третий столбец будет содержать нарастающую сумму.

Если число в левом столбце нечётное, мы добавляем число из правого столбца в нарастающую сумму. Изначально она будет равна нулю.

Затем в левом столбце ниже мы записываем число из заголовка, делённое пополам (с отбрасыванием остатка). 13 / 2 = 6. А во втором столбце мы пишем число, равное удвоению заголовка столбца, 19*2 = 38.

Поскольку число в левом столбце чётное, мы не увеличиваем нарастающую сумму.

Потом мы повторяем процесс деления на два и удвоения. В левом столбце будет 3, это число нечётное, поэтому мы добавляем к 19 76 и получаем 95.

Повторяя процедуру, мы получаем в результате 247.

Среднее между 13 и 19 будет 16
16 ^ 2 = 256
16 – 13 = 3
3 ^ 2 = 9
256 – 9 = 247

Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 – чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.

Доказательство

Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.

Обозначим число в левом столбце A, во втором – B, нарастающую сумму – R, а ответ – P. Следовательно

Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:

Или, что то же самое:

Если мы заменим A половиной его значения, а B – удвоенным значением, и назовём их A’ и B’, то:

То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1

И опять мы обозначили половину A через A’ и удвоенное B через B’.

Наше уравнение верно, если мы:

• добавили число из второго столбца к нарастающей сумме
• уполовинили первый столбец
• удвоили второй

Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.

Когда мы доходим до нуля, то имеем:

Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.

Обобщение 1: возведение в степень

Попробуем подсчитать 2 13 . При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:

заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат

Нарастающее произведение начинается с 1. 13 – нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.

6 – чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.

3 – нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.

Последний шаг: 1 – нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.

Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:

Обобщение 2: матрицы

Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень – он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.

Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. Иными словами, она работает для любой коллекции с умножением, являющейся моноидом.

Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.

Источник

Русский крестьянский способ умножения и двоичная система счисления

В недавней своей статье об алгоритмах деления и действий вообще я упомянул, что школьные алгоритмы — лишь немногие из кучи, и, в частности, задел русский крестьянский способ умножения. Способ на самом деле уникальный, очень быстрый и точный, особенно, если понимать его суть. Сначала я приведу сам способ, а потом разъясню, на чём он основан. Самое интересное, как всегда, в конце.

Алгоритм умножения

1. Первый множитель целочисленно делится на 2 (отбрасывается остаток или дробная часть)
2. одновременно с ним второй множитель умножается на 2
3. оба результата записываются рядом.
4. Если в п.1. получилось число, больше единицы, то снова выполняется п.1. с последней записанной парой.
5. Исключаются (вычёркиваются) все пары результатов, где в п.1. получился чётный результат
6. суммируются оставшиеся результаты п.2.

Пример

Я покажу только конечную запись:

37 делили на 2, получая последовательно 18 (остаток 1 отбросили), 9, 4 (снова остаток отбросили), 2 и 1. 26 умножали на 2, получая каждый раз: 52, 10, 208, 416, 832. Вычеркнули строки с чётными 18, 4 и 2. Сложили оставшееся

Преимущества

Алгоритм не требует математических навыков кроме сложения. Я уже отмечал, что человек может выполнять только одно действие — сложение.

Алгоритм куда быстрее классического умножения по определению: здесь требуется выполнить всего 5 сложений числа самого с собой, 5 подборов на такое же сложение и 2 сложения «крупных» чисел в конце. Тогда как действую я по определению умножения, мы должны будем 37 складывать 26 раз.

Описание работы алгоритма

В то время, как привычный нам алгоритм умножения «столбиком» основан на разрядном умножении (если назреет необходимость, я более подробно его опишу) в десятичной системе счисления, то крестьянский метод использует закономерности двоичной системы счисления.

Давайте сейчас выполним то же самое, но запись будет в двоичной системе:

Посмотрите, насколько это легко! Целочисленное деление на 2 — это всего лишь «стирание» правой цифры у числа. А умножение на 2 — это всего лишь «дописываение» нуля справа от числа. В самом низу я записал результат сложения всех ярких чисел в правом столбике.

Теперь можно и догадаться, как эта «магия» работает. Посмотрите, оставлены только те строки, в которых первый множитель заканчивается на «1». То есть, если мы начнём разбирать двоичную запись первого множителя по цифрам, то увидим, что каждая единица в этой записи соответствует слагаемому в правом столбике. Умножение — суть многократное сложение. Как я ни пытался этого объяснить в других статьях, получал лишь минусы и гневные комментарии. Можно складывать штуками, можно складывать десятками штук, можно — сотнями. На этом построен алгоритм умножения «столбиком» в школьной (десятичной) математике. А здесь складываются штуками, двойками, четвёрками, восьмёрками и т.д.

Для данного умножения, нам надо число 26 (11010 в двоичной) взять 1 раз, потом ещё четыре раза и затем ещё 32 раза — количество «разов» соответствует разрядам, в которых стоят единицы в первом множителе.

Для любителей строгой математики покажу, как это работает в алгебраической форме:

И ещё два слова о коммутативности. Так как умножение коммутативно, в общем-то, не важно, что и на что мы умножаем. Но в начальной школе мы умножаем пельмени на тарелки, а не тарелки на пельмени (количество предметов на количество раз). В крестьянском методе получилось, что количество раз идёт впереди, именно первый множитель отвечает за количество раз, которое берётся второй. Проблема решается либо применением коммутативности (чаще), либо изменением порядка: делить будем второй множитель, а умножать — первый.

Немного об оптимизации

Сейчас, зная о «двоичной» природе этого алгоритма, мы можем дать рекомендации по оптимизации умножения. Например, вместо умножения длинного на короткий (при использовании определения умножения или «десятичного» метода именно это давало выигрыш в скорости), мы возьмём первым тот множитель, у которого в двоичной записи будет меньше единиц, и сэкономим на финальном сложении.

Вообще, довольно лихо для малограмотных крестьян (читали далеко не все) разработать метод умножения, основанный на двоичной системе счисления, который позволяет обходиться минималистичной записью, а то и исполнением в уме (потому что и писать-то не каждый умел). Такие ли они «малограмотные»? На Руси крестьяне, кстати сказать, неплохо управлялись именно с двоичной системой счисления: практически все действия так или иначе сводились к половинам, четвертинам и т.д. И эти алгоритмы отлично реализовывались на практике и были куда быстрее западных и даже восточных аналогов. Если бы русскому человеку не приходилось выживать в наших климатических условиях и тратить на это все силы, то, возможно, вычислительная техника появилась бы у нас гораздо гораздо раньше, чем Тьюринг что-то там накопировал у Маркова.

А теперь, как и обещал. Интересное:

Классический столбик в двоичной системе счисления

Запишу то же умножение (37*26) классическим «столбиком», но в двоичной системе счисления. И ещё для наглядности махну местами множители, чтобы, раз 37 в методе отвечает за разы, то в «столбике» оно тоже шло вторым:

Умножение в двоичной — всего лишь битовый сдвиг и сложение. Удивлены?

Источник

Старинные способы умножения

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (411 кБ)

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”.
Песталоцци

Цель:

• Познакомиться со старинными приемами умножения.
• Расширить знания по различным приемам умножения.
• Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения .

Содержание.

1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах
2. Умножение методом Ферроля.
3. Японский способ умножения.
4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
5. Русский способ умножения.
6. Индийский способ умножения.

Ход занятия

Актуальность использования приемов быстрого счета.

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт, который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.

Старинные способы умножения чисел.

1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

2. Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

б) 1х4+2х1=6, пишем 6

3. Японский способ умножения

Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.

Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:

Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

• Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
• А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)

Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом:

(пересечения на рисунке указаны точками)

Количество пересечений:

• Верхний левый край: 2
• Нижний левый край: 6
• Верхний правый: 4
• Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например, умножим 6827 на 345.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

т.е.

• 6*3 = 18. Записываем 1 и 8
• 8*3 = 24. Записываем 2 и 4

Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

5. Русский способ умножения.

Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:

• 32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
• 16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
• 8 * 52 (и т.д.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, — гласит правило, — в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

• 19*17
• 9*34
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

• 17 + 34 + 272 = 323.

6. Индийский способ умножения.

Такой способ умножения использовали в Древней Индии.

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

• Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
• Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую — ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора — “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)

Источник