Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Источник
Системы линейных уравнений
Решите систему уравнений \(\begin
В ответе запишите сумму решений \(x\) и \(y\) .
В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого умножим второе уравнение на 2 и получим \(-6x-4y=4\) . Теперь сложим оба уравнения и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin
Решите систему уравнений \(\begin
В ответе запишите сумму решений \(x\) и \(y\) .
В данном случае удобно решить систему путем вычитания уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin
Решите систему уравнений \(\begin
В ответе запишите \(x+y\) .
В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого сложим оба равенства и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin
Решите систему уравнений \(\begin
В ответе запишите \(xy\) .
Выразим из первого уравнения \(y\) и подставим его во второе уравнение.
Из первого уравнения \(y=\dfrac<-9-4x><-2>=\dfrac<9+4x>2\) . Следовательно, второе уравнение примет вид \[\begin
Решите систему уравнений \[\begin
В ответ запишите сумму решений \(x\) и \(y\) .
Выразим \(x\) из первого уравнения системы, и подставим это значение во второе уравнение.
Найдем решение уравнения с одной переменной. Для этого домножим обе части равенства на 2.
Сумма решений равна \(7,2\) .
Решите систему уравнений \[\begin
В ответ запишите произведение решений \(x\) и \(y\) .
Решим систему методом сложения. Для этого домножим обе части первого равенства на 2.
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы (левую часть с левой, а правую — с правой).
\[\begin
Выразим \(x\) из первого уравнения системы. Получим \(x = 4y-15 = 0,2\) .
Произведение решений равно \(0,76\) .
Решите систему уравнений \[\begin
Способ 1: метод подстановки Из второго уравнения выражается \(y = 10x — 12\) . Подставим это выражение вместо \(y\) в первое уравнение: \(x + 5(10x — 12) = -9\quad\Leftrightarrow\quad 51x -51 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 1 \quad\Leftrightarrow\quad y = 10 \cdot 1 — 12 = -2\) .
Способ2: метод операций со строками Домножим какую-нибудь из строк на такое число, чтобы одна из переменных при сложении или вычитании новых строк сократилась. Допустим, мы хотим, чтобы сократилась переменная \(x\) . Для этого нужно первое уравнение умножить на 10 и вычесть из него второе. Получим уравнение: \[\begin
Источник
