Решите систему линейных уравнений графическим способом калькулятор

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)

Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты \(a_\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
\( \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end \)
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
\( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>\).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Источник

Калькулятор систем уравнений

Воспользуйтесь нашим простым онлайн-калькулятором системы уравнений, чтобы решать системы уравнений с пошаговым объяснением.

Добавьте калькулятор алгебры в закладки вашего браузера

1. Для Windows или Linux — нажмите Ctrl + D .

2. Для MacOS — нажмите Cmd + D .

3. Для iPhone (Safari) — нажмите и удерживайте , затем нажмите Добавить закладку

4. Для Google Chrome : нажмите 3 точки в правом верхнем углу, затем нажмите знак звездочки

Как пользоваться калькулятором систем уравнений

Шаг 1

Введите проблему с системой уравнений в поле ввода.

Шаг 2

Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.

Шаг 3

Во всплывающем окне выберите нужную операцию. Вы также можете воспользоваться поиском.

Что такое системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Другими словами, если дано несколько уравнений с одной, двумя или несколькими неизвестными и все эти уравнения (равенства) должны выполняться одновременно, мы называем такую группу уравнений системой. Объедините уравнения в систему, используя фигурную скобку.

Калькулятор алгебры с расширенными функциями. Удобный и простой инженерный калькулятор с богатым арсеналом возможностей для математических расчетов и при этом с приятным и интуитивно понятным интерфейсом.

Источник

Калькулятор систем уравнений

Воспользуйтесь нашим простым онлайн-калькулятором системы уравнений, чтобы решать системы уравнений с пошаговым объяснением.

Добавьте калькулятор алгебры в закладки вашего браузера

1. Для Windows или Linux — нажмите Ctrl + D .

2. Для MacOS — нажмите Cmd + D .

3. Для iPhone (Safari) — нажмите и удерживайте , затем нажмите Добавить закладку

4. Для Google Chrome : нажмите 3 точки в правом верхнем углу, затем нажмите знак звездочки

Как пользоваться калькулятором систем уравнений

Шаг 1

Введите проблему с системой уравнений в поле ввода.

Шаг 2

Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.

Шаг 3

Во всплывающем окне выберите нужную операцию. Вы также можете воспользоваться поиском.

Что такое системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Другими словами, если дано несколько уравнений с одной, двумя или несколькими неизвестными и все эти уравнения (равенства) должны выполняться одновременно, мы называем такую группу уравнений системой. Объедините уравнения в систему, используя фигурную скобку.

Калькулятор алгебры с расширенными функциями. Удобный и простой инженерный калькулятор с богатым арсеналом возможностей для математических расчетов и при этом с приятным и интуитивно понятным интерфейсом.

Источник

Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений — это объединение нескольких линейных равенств, каждое из которых содержит по 2 неизвестных. Решением системы уравнений называется процесс поиска таких значений неизвестных, при которых выражение превращается в верное числовое равенство.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с двумя переменными — это выражение вида:

где x и y — неизвестные корни.

Это общий вид равенства, позволяющий идентифицировать его как линейное, так как очевидно, что неизвестные икс и игрек стоят в первой степени. Если переменные имеют отличную от единицы степень или сами являются показателями степеней, то такие равенства считаются нелинейными. Система двух линейных уравнений — это классический математический объект, с которым мы впервые встречаемся в шестом классе школы.

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений или СЛАУ — это совокупность n-ного количества равенств, содержащих k-ое количество неизвестных. В школьной алгебре существует негласное правило, что количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть СЛАУ с двумя переменными всегда состоят из двух равенств. Высшая математика может преподносить и другие варианты, однако в школьных примерах это правило действует неукоснительно, и наш калькулятор построен по этому принципу: 2 уравнения и 2 переменных. Выглядит это следующим образом:

• ax + by + c = 0
• dx + fy + g = 0

Под буквами a, b, c, d, f, g скрываются коэффициенты уравнения. Именно их следует вбивать в ячейки калькулятора для решения СЛАУ при помощи нашей программы. Важно учесть, что школьные уравнения обычно представляются в виде:

поэтому для корректного ввода данных требуется перенести свободный коэффициент в левую часть равенства с заменой знака на противоположный. Итак, у нас есть СЛАУ с двумя неизвестными. Пусть это будет:

Требуется найти такие значения икса и игрека, при которых уравнения превратятся в числовые тождества. При решении системы равенств возможны три варианта развития событий:

• СЛАУ совместна, определена и имеет всего 1 решение;
• система несовместна и решений нет;
• СЛАУ совместна, но неопределена, поэтому существует бесконечное множество решений.

Существует 3 простых способа поиска корней СЛАУ.

Метод подстановки

Это всем известный школьный метод, согласно которому мы выражаем одну переменную через другую, после чего заменяем вторую переменную в другом уравнении и получаем банальное линейное равенство. Посмотрим на второе уравнение нашей СЛАУ:

Мы можем спокойно перенести иксы вправо с заменой знака и выразить игрек через икс:

Теперь подставим это значение игрека в наше первое уравнение и решим его:

• 3x − (10 − 5x) = 14
• 3x + 5x = 14 + 10
• 8x = 24
• x = 3

Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим числовое значение икса.

Таким образом, x = 3, y = −5 — это корни системы уравнений.

Метод сложения

Данный способ предлагает умножить обе части выражений на такие коэффициенты, чтобы при сложении двух уравнений произошло взаимное уничтожение одной из переменных. После чего метод повторяет алгоритм школьного способа подстановки. Посмотрим на нашу систему:

Очевидно, что игреки имеют разные знаки, поэтому при сложении двух уравнений они взаимно уничтожатся, а в результате получим:

Далее алгоритм полностью повторяет школьный метод. Нам повезло, что в условии игреки изначально имели коэффициент 1 с противоположными знаками. Рассмотрим пример, когда это не так. Для этого обратим внимание на иксы и попробуем от них избавиться.

Для ликвидации иксов нам потребуется найти наименьшее общее кратное коэффициентов при иксах — НОК (3,5) = 15. Следовательно, нам потребуется умножить первое уравнение на 5, а второе на минус 3. Тогда в каждом равенстве мы получим коэффициент при иксе равный 15, но с разными знаками.

Теперь сложим эти уравнения и решим полученное равенство:

Как видим, результат идентичен полученным корням при расчете школьным методом.

Графический метод

Суть данного способа заключается в построении графиков функции уравнений на декартовой плоскости. Так как уравнения линейны, то график их функций − это всегда прямая линия. Точка пересечения прямых и будет решением СЛАУ. Если система несовместна и не имеет корней, то прямые уравнений будут параллельны, а если СЛАУ обладает бесконечным множеством решений, то графики будут совпадать и сливаться в одну прямую.

Использование СЛАУ

Системы линейных уравнений находят широкое применение во многих науках. Такие объекты встречаются в физике, экономике, электротехнике, метрологии, компьютерных играх или криптографии — везде, где используется математический аппарат. И если говорить о математике, то системы линейных уравнений используются для определения кривой регрессии в методе наименьших квадратов, в расчете собственных векторов матриц, сингулярном разложении или методе главных компонент.

Калькулятор решения СЛАУ

Наша программа решает системы линейных уравнений графическим способом. Калькулятор отрисовывает прямые, заданные линейными функциями и отыскивает их точку пересечения. Координаты этой точки вида (x; y) и есть корни системы уравнений. Для решений СЛАУ вам потребуется только ввести коэффициенты равенств в соответствующие ячейки.

Заключение

Системы линейных уравнений — наборы равенств, которые широко используются во всех областях науки. Для развязывания СЛАУ используйте наш калькулятор, который наглядно представит графическое решение системы уравнений.

Источник