Решить операционным способом задачу коши

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Применения операционного исчисления

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin &x»’+2x»+5x’=0,\\ &x(0)=-1, \,\, x'(0)=2, \,\, x»(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\\ &x»'(t) \risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x»(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. \end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. \end И найдем из него неизвестное $X(p)$: \begin X(p)=-\frac. \end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq x(t)=-\displaystyle\frac15-\displaystyle\frac45 e^<-t>\mbox\,2t+\displaystyle\frac35e^<-t>\mbox\,2t. \end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»-2x’-3x=e^<3t>,\\ x(0)=x'(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), \end Справа стоит $e^<3t>$, изображение равно $\displaystyle\frac<1>$.

Запишем операторное уравнение: \begin (p^2-2p-3)X(p)=\frac<1>. \end Находим $X(p)$: \begin X(p)=\frac<1><(p-3)^2(p+1)>. \end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq \displaystyle\frac14\,te^<3t>-\displaystyle\frac<1><16>\,e^<3t>+\displaystyle\frac<1><16>\,e^<-t>. \end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+3x’=\mbox\,2t,\\ x(0)=2, \,\, x'(0)=0. \end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+x’=e^t,\\ x(1)=1, \,\, x'(1)=2. \end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: \begin y»+y’=e^,\\ y(0)=1, \,\, y'(0)=2. \end Записываем операторное уравнение \begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=\displaystyle\frac. \end

Решаем полученное уравение: \begin Y(p)=\displaystyle\frac<(p-1)(p^2+p)>+\displaystyle\frac. \end \begin y(t)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t>+(3-e). \end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: \begin x(t)=y(t-1)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t+1>+(3-e). \end

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0. \\ \end \right. \end

Запишем изображения: \begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p). \end \end \begin 8 \risingdotseq \displaystyle\frac<8>

, \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+\displaystyle\frac<8>

, \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac \risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2p+6> \risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8y, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

\begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p),\\ 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. &\\ \end \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac \risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2(p-1)> \risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’-2x-4y = \mbox\, t, \\ &y’+x+2y = \mbox\,t, \\ &x(0)=0,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= \frac

, \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1>.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac<2>

+\displaystyle\frac<4>-\displaystyle\frac<2p+3> \risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox\,t-3\,\mbox\,t. \end \begin Y(p)=-\displaystyle\frac<2>+\displaystyle\frac<2> \risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox\,t. \end

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin \begin y(t) & \risingdotseq Y(p),\\ y'(t) & \risingdotseq p\,Y(p),\\ y»(t)& \risingdotseq p^2Y(p),\\ &\cdots\\ y^<(n)>(t)& \risingdotseq p^nY(p). \end \end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: \begin Y(p)\cdot h(p) = \frac<1>

,\\ h(p)=p^n+a_1p^+\ldots+a_n. \end $$Y(p) \risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin h(p)=\frac<1>. \end Тогда $$ X(p) = F(p)\,pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) \risingdotseq y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin x»+2x’=\frac<1><1+e^<2t>>, \,\, x(0)=0, \,\, x'(0)=0. \end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin (p^2+2p)X(p)=F(p). \end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $\frac<1><1+e^<2t>>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда \begin X(p)=\frac. \end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: \begin (p^2+2p)Y(p)=\frac<1>

\,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1>. \end Тогда \begin X(p)=\frac<\frac<1>>=pF(p)Y(p). \end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin X(p)=p F(p) Y(p) \risingdotseq x(t)=y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau, \end где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения: \begin \begin & y(t)=-\frac14+\frac12t+\frac14 e^<-2t>,\\ & y(0)=0,\\ & y'(t-\tau)=\frac12-\frac12e^<-2(t-\tau)>. \end \end

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+x=\eta(t)-\eta(t-2), \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin &x»+x \risingdotseq p^2\,X(p)+X(p),\\ &\eta(t)-\eta(t-2) \risingdotseq \frac<1>

-\frac>

. \end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $\displaystyle\frac<1>$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin &\frac<1>\risingdotseq \mbox\,t \,\, \Rightarrow\\ &\frac<1>\risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox\,\tau\,d\tau=-\mbox\,t+1. \end Тогда изображение для $\displaystyle\frac>$ по теореме запаздывания будет равно: \begin \frac>\risingdotseq (-\mbox\,(t-2)+1)\eta(t-2). \end

Решение заданного уравнения: \begin x(t)= (1-\mbox\,t)\eta(t)-(1-\mbox\,(t-2))\eta(t-2). \end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+4x=f(t). \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin &f(t)=2t\eta(t)-4(t-1)\eta(t-1)+2(t-2)\eta(t-2),\\ &F(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Операторное уравнение имеет вид: \begin &X(p)(p^2+4)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin \frac<2>=\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox\,2t. \end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: \begin X(p)\risingdotseq x(t)= \frac12\left(t-\frac12\,\mbox\,2t\right)\eta(t)-\\ -\left((t-1)-\frac12\,\mbox\,2(t-1)\right)\eta(t-1)+\\ +\frac12\left((t-2)-\frac12\,\mbox\,2(t-2)\right)\eta(t-2). \end

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin f_0(t)=\begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2021/05/28 18:23 — nvr

Источник

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^<-pt>dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^<-3\tau>d\tau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Источник