Реши уравнение способом преобразования

Решение уравнений через преобразования

В этой статье мы подробно и всесторонне разберем, как осуществляется решение уравнений через проведение преобразований. Сначала расскажем, в чем суть метода. Дальше перечислим преобразования уравнений, которые используются при решении. Обязательно обговорим, на что стоит обращать особое внимание при проведении преобразований. В заключение рассмотрим решения примеров.

Суть метода

Суть метода решения уравнений через преобразования состоит в использовании преобразований уравнения для построения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий с целью получения достаточно простого в плане решения конечного уравнения, по решению которого можно найти решения исходного уравнения.

Алгоритм

Схематично процесс решения уравнения через преобразования можно представить следующим образом. Исходное уравнение, обозначим его (1), преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (2). Оно преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (3). И так далее до уравнения (n), которое мы в состоянии решить.

Понятно, что если все преобразования равносильные, то уравнение (n) равносильно исходному уравнению (1), и решение уравнения (n) является интересующим нас решением исходного уравнения (1). Если же хотя бы для одного из переходов используется преобразование, которое в общем случае не является равносильным, то уравнение (n) является уравнением-следствием для исходного. Это означает, что среди корней уравнения (n) могут быть корни, посторонние для исходного уравнения (1). Избавиться от них позволяет отсеивание посторонних корней.

Приведенная информация позволяет записать алгоритм решения уравнений через преобразования:

• Выстроить цепочку равносильных уравнений и уравнений-следствий до уравнения, которое мы в состоянии решить.
• Решить полученное уравнение.
  • Если все преобразования были равносильными, то полученное решение является искомым.
  • Если среди проведенных преобразований были такие, которые в общем случае не являются равносильными, то провести отсеивание посторонних корней.

Какие преобразования используются? Список

Все основные преобразования, которые используются при решении уравнений, подробно описаны в этой статье. Здесь мы просто перечислим их в виде списка:

• Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.
  • Перестановка местами слагаемых и множителей.
  • Раскрытие скобок.
  • Группировка слагаемых и/или множителей.
  • Вынесение за скобки общего множителя.
  • Замена числовых выражений их значениями.
  • Выполнение действий с одночленами и многочленами.
  • Приведение подобных слагаемых.
  • Сокращение дробей.
  • Замена нулем произведений с нулевыми множителями и дробей с нулем в числителе.
  • Использование тождеств, отражающих определения и свойства корней, степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т.п.
• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.
• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.
• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень.
• Освобождение от внешней функции.
• Извлечение корня одной и той же степени из обеих частей уравнения.
• Логарифмирование.
• Потенцирование.

На что обращать особое внимание при проведении преобразований?

На ОДЗ

При проведении преобразований необходимо держать под контролем ОДЗ. Зачем? Сейчас мы с этим разберемся.

ОДЗ при переходе от одного уравнения к другому может оставаться неизменной, расширяться или сужаться. Приведем примеры. В результате перехода от уравнения 4·x=x+3 к уравнению 4·x−x=3 ОДЗ не изменяется. Переход от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 сопровождается расширением ОДЗ с множества (−∞, 0)∪(0, +∞) до множества всех действительных чисел R . А преобразование уравнения lgx 2 =2 к виду 2·lgx=2 сопровождается сужением ОДЗ: для исходного уравнения ОДЗ есть множество (−∞, 0)∪(0, +∞) , а для полученного — (0, +∞) . Ну и что с того? А вот что: за счет расширения ОДЗ могут появиться корни, посторонние для исходного уравнения, а сужение ОДЗ может быть причиной потери корней. Для иллюстрации сказанного вновь обратимся к приведенным примерам. При переходе от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 появляется корень x=0 , посторонний для исходного уравнения. А в результате замены уравнения lgx 2 =2 уравнением 2·lgx=2 происходит потеря корня x=−10 .

В расширении ОДЗ при преобразовании уравнений нет ничего особо страшного – просто после решения последнего уравнения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий необходимо позаботиться об отсеивании корней, посторонних для исходного уравнения.

А вот от преобразований, в результате проведения которых сужается ОДЗ, необходимо отказаться. Точнее, от них стоит отказываться лишь тогда, когда ОДЗ сужается на множество, содержащее бесконечное количество элементов. Преобразования, в результате проведения которых из ОДЗ выпадает некоторое конечное количество чисел, допустимы. Для их проведения достаточно отдельно проверить выпадающие из ОДЗ числа на предмет того, какие из них являются корнями решаемого уравнения. Типичным таким преобразованием является деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Подробнее об этом мы поговорим в статье «Как избежать потери корней при решении уравнений».

Итак, контролировать ОДЗ нужно, чтобы при проведении преобразований не терять корни, и понимать, когда необходимо проводить отсеивание посторонних корней, а когда это действие необязательно.

На тождественность

При проведении преобразований, заключающихся в замене выражений тождественно равными выражениями, нужно очень внимательно следить за тем, чтобы выражения были именно тождественно равными. Зачем? Это гарантирует, что уравнение, полученное в результате проведения преобразования, равносильно исходному уравнению или является его следствием. Замена выражения не тождественно равным ему выражением не гарантирует получение равносильного уравнения или уравнения-следствия, а это означает, что по корням полученного уравнения невозможно будет сделать вывод о корнях исходного уравнения.

Для примера возьмем уравнение . Его можно решить, например, методом возведения обеих частей в квадрат. Указанный метод позволяет найти единственный корень этого уравнения: . А теперь давайте допустим, что нам захотелось решить это уравнение через преобразования, и мы сделали это так:

Что мы сделали не так? Мы ошиблись в самом первом преобразовании – в замене выражения x+3 выражением . А дело здесь в том, что выражения x+3 и не являются тождественно равными. Действительно, их значения различны при x+3 . В результате мы получили неправильное решение.

На необходимость отсеивания посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в четную степень

Решение уравнений, особенно иррациональных, может проводиться через преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Это преобразование детально разобрано в статье «Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень». Там обосновано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень является равносильным преобразованием, а возведение в одну и ту же четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Из этого следует, что при решении уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень нужно обязательно позаботиться об отсеивании посторонних корней.

Обратимся к уравнению для наглядности. Его решение можно получить, если прибегнуть к возведению обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование позволяет перейти к уравнению . Одним из корней полученного уравнения является число −3/2 , в чем легко убедиться, выполнив проверку подстановкой. Но −3/2 – это посторонний корень для исходного уравнения , так как его подстановка дает неверное равенство 5/2=−5/2 . Этот посторонний корень появляется из-за проведенного нами преобразования – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, в нашем случае в квадрат. Действительно, возведение в квадрат из неверного равенства 5/2=−5/2 делает верное (5/2) 2 =(−5/2) 2 .

Итак, при использовании преобразования, которое заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, нельзя упускать из внимания необходимость отсеивания посторонних корней.

На условия, при которых возможно проведение отдельных преобразований

Некоторые преобразования уравнений можно проводить лишь при выполнении определенных условий. В пример приведем преобразование, заключающееся в освобождении от внешней функции. Для его проведения нужно, чтобы функция принимала каждое свое значение только по одному разу (в частности, была возрастающей или убывающей). Если это условие не выполняется, то указанное преобразование уравнения может привести к потере корней. Продемонстрируем это, обратившись к уравнению (x+3) 12 =(2·x−6) 12 . Освобождение от внешней функции возведения в двенадцатую степень приводит к уравнению x+3=2·x−6 , единственным корнем которого является x=9 . При таком переходе происходит потеря корня x=1 . Причина этого кроется в игнорировании условия, при котором возможно освобождение от внешней функции.

Помимо отбрасывания внешней функции, выполнения определенных условий требуют следующие преобразования:

• извлечение корня из обеих частей уравнения,
• логарифмирование,
• потенцирование.

Так что прежде чем провести задуманное преобразование уравнения, надо обратить пристальное внимание условия, при которых это преобразование можно осуществить. И только если они выполнены или преобразование не требует выполнения никаких особых условий, то можно смело его проводить.

Примеры решения уравнений

Метод решения уравнений через преобразования для некоторых видов уравнений является основным. Например, через преобразования решаются любые линейные уравнения с отличным от нуля коэффициентом при x . Так решение уравнения 2·x−1=0 можно представить в виде следующей цепочки уравнений, получающейся в результате проведения преобразований:
2·x−1=0 ,
2·x=1 (перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком),
(2·x):2=1:2 (деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число 2 ),
2·x:2=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате раскрытия скобок),
2:2·x=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате перестановки местами множителей),
1·x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате замены числовых выражений их значениями),
x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением).

Понятно, что так подробно преобразования уравнений никто не расписывает. Многие преобразования проводятся в уме. Но рекомендуем не увлекаться с устными преобразованиями. Целесообразно проводить в уме только самые простые преобразования, остальные лучше делать на бумаге. Так лучше прослеживается логика решения, а вероятность сделать ошибку при проведении преобразований снижается.

Часто метод решения уравнений через преобразования используется совместно с другими методами решения уравнений. Например, решение уравнения может начинаться с преобразований, дальше может вводиться новая переменная, уравнение с новой переменной может решаться через преобразования, а полученные после возврата к старой переменной уравнения могут решаться функционально-графическим методом.

Другие примеры решения уравнений через преобразования Вы без труда найдете, побродив по статьям раздела «Решение уравнений».

Источник

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х». Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да. ) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные — третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю — для любых!) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа — тождественные преобразования уравнений. Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: «Как решать уравнения?» лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2 = 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х? Ответ неверный! Справа у нас —3х! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Это логарифмическое уравнение. Ну и что? Первым шагом всё равно будет базовое тождественное преобразование. «С иксами — влево». ) Надо выражение с иксом (-lgx) перенести из правой части в левую. Со сменой знака:

А выражение без икса (lg2) переносим вправо. Со сменой знака:

Справа получилась готовая формула. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. В уме. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно. )

Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования. Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать.) Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательнее надо быть, да. )

Приступим ко второму тождественному преобразованию. С умножением-делением. Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему?)

Пример для младшеньких.)

Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение:

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Что нам мешает? Да тройка мешает! Нам в ответе всегда чистый икс нужен! Икс равен чему-то. А тройка мешает! Как можно от неё избавиться? Перенести вправо? Э-э-э нет! Тройка с иксом умножением связана. Нельзя её оторвать и вправо перенести. Вот всё выражение 3х можно переносить (только зачем?), а тройку отдельно — нельзя.

Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Это НАМ надо. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Это МАТЕМАТИКА требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 12 на 3 замечательно делится. Получится четыре. Ответ:

Пример для старшеньких.)

Здесь без логарифмов обойдёмся. Решаем:

Вполне солидно, правда?) Кое-кто и запутается…. Понятно, что надо делить обе части на дробь 1/5. Именно она нам мешает. Это не очень в уме удобно… Можно поступить гораздо проще. Не делить обе части на 1/5, а умножить на 5. Слева всё равно чистый икс получится, а умножать на 5 — не самая трудная работа.)

Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука не самая сложная. Перенос, да умножение-деление. Однако, не у всех они получаются. Почему? Есть две главные причины.

Причина первая (для начинающих):

Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса. В другом с домножения. В третьем три раза домножают и ни разу не переносят. Тоскует человек от неопределённости.)

А правила никакого нет.

Есть разрешённые математикой преобразования (целых два!), которые мы применяем по своему усмотрению. В удобном нам порядке. Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего.

Причина вторая (почти для всех. ):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать их. Складывать и вычитать дроби. Умножать и делить дроби. Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений. Дальше понятно.

Обе эти причины замечательно устраняются практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче.)

Как выразить одну переменную через другую?
Как выразить переменную из формулы?

Умение делать такие вещи крайне необходимо в математике. Во всех разделах, без исключения. По этой причине, задания подобного рода обязательно присутствуют в выпускных экзаменах. И в ГИА, и в ЕГЭ. И в базовом уровне, и в профильном.

Имеет смысл разобраться, правда?) Тем более, что ничего сложного здесь нет. Есть применение тождественных преобразований уравнений и. всё!

Вся теоретическая часть подобных заданий заключается в одной фразе. Вот она, эта фраза: любая формула, любое равенство с буквами — это тоже уравнение. Усвоили эту сложную теорию?) Тогда остаётся правильно применять тождественные преобразования на практике.

Начнём с простого. Как выразить одну переменную через другую? Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется уравнение:

Здесь две переменные. Икс и игрек.

Допустим, нам нужно выразить х через у.

Что означает это задание? Она означает, что в итоге мы должны получить какое-то равенство, где в левой части стоит чистый х, без всяких букв и чисел. В гордом одиночестве. А в правой части — что уж получится. И как добраться до этого результата? Легко! С помощью тождественных преобразований.

Напоминаю: преобразования можно применять в каком угодно порядке! Вот и применяем, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

Смотрим на левую часть уравнения:

Здесь нам мешаются двойка перед иксом и -3у. Начнём с -3у, это проще будет.

Перебрасываем -3у в правую часть, со сменой знака, разумеется:

Осталась двойка перед иксом. Как от неё избавится? Разделить обе части уравнения на 2! Получим:

Вот и всё. Мы выразили х через у. Можно ли было сразу делить обе части исходного уравнения на двойку, а уж потом переносить? Запросто! Но это привело бы к появлению дробей в процессе решения, что не очень удобно. А так дробь появилась только в самом конце.

А можно ли из этого же уравнения

выразить у через х? Можно, конечно. Только теперь слева нам нужен чистый у, а не х. Вот и «очищаем» игрек от соседей.) Сначала избавляемся от выражения 2x. Переносим его в правую часть:

Теперь мешает тройка с минусом. Делим обе части на -3:

Вот и всё. Мы выразили у через х. Переходим к более хитрым примерам.

Как выразить переменную из формулы? Не вопрос!) Точно так же!

К примеру, имеется задание:

выразить переменную b.

Формула — тоже уравнение! Стало быть, нам надо получить новую формулу, где слева — чистая b, а справа — то, что уж получится в результате «очищения» b.

Однако. Как же эту b вытаскивать-то!?

Как, как. По шагам! Выделить чистую b сразу невозможно. Она в дроби сидит. А дробь умножается на h. Значит, очищаем, для начала, выражение с b, т.е. дробь, целиком. Если можно, разумеется. Здесь — можно поделить обе части формулы на h. Получим:

Следующий шаг — выдернуть b из числителя дроби. Это делается просто. Избавимся от дроби. Нет дроби — нет числителя!) Умножим обе части формулы на 2. Вот так:

Остались сущие пустяки. Оставляем b в гордом одиночестве, т.е. переносим a в левую часть:

Ответ почти готов. Осталось переписать его в привычном нам виде. Равенство, оно, что слева-направо, что справа-налево — всё едино:

Надеюсь, общая идея понятна. Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь — не последовательность шагов (она может быть любой), а их правильность.

Разные последовательности дадут разные пути к одному и тому же результату. Путь может получиться простым, может получиться сложным. Тут практика рулит. Решите десяток-другой примеров, сами почувствуете, как проще.

В данном разделе рассматриваются только два базовых тождественных преобразования уравнений. Кроме этой парочки существует множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но, при определённых условиях. Скажем, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны. Подобные преобразования рассматриваются в соответствующих темах.

А здесь и сейчас — примеры для тренировки по элементарным преобразованиям.

выразите переменную t и найдите её значение при v₀=7, v=16, a=3.

выразите переменную m и найдите её значение при x=1, n=2.

А вот задание на основе реального варианта ГИА:

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = J 2 R, где J — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление (в омах), если мощность составляет 80 Вт, а сила тока равна 4 А.

Задание на основе реального варианта ЕГЭ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз со скоростью v (в м/сек), испускает ультразвуковые импульсы частотой f₀=374 МГц. Частота отражённого от дна сигнала f, регистрируемая приёмником (в МГц), определяется по формуле

где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов (в МГц). Определите скорость погружения батискафа v в м/с, если частота отражённого от дна сигнала f составляет 376 Мгц.

В реальных заданиях «многа букафф», да. ) Но тема та же.

Ответы (в беспорядке):

А где числа, омы, метры в секунду — это уж сами. )

В следующих уроках вы сможете познакомиться с практикой тождественных преобразований в конкретных уравнениях. В линейных, квадратных и дробных. С пояснениями что, как, зачем и почему мы делаем. Очень помогает!)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник