Реши уравнение способом группировки

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Источник

Решение уравнения методами группировки и замены переменной

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №1

Цель работы: Решить уравнения методами:

б) замены переменной.

Теоретическая часть работы

Способ группировки разложение на множители

Для того, чтобы разложить многочлен на множители:

1 – Объединим слагаемые попарно в группы (говорят «сгруппируем слагаемые»): два в одну группу, и два — в другую .

2 – В каждой паре вынесем за скобки общий множитель.

3 – Заметим, что оба полученных слагаемых также имеют общий множитель, который можно вынести за скобки .

Не любая группировка приводит к разложению на множители. В случае неудачи попробуйте сгруппировать по-другому, или вообще попытайтесь применить другой метод.

Рассмотрим решение уравнения способом разложения на множители на конкретном примере:

Применив способ группировки, получим:

Помня, что произведение равно 0 в случае, если один из множителей равен 0, получим корни уравнения:

Метод введения новой переменной

Пример.

.

Введем новую переменную , учитывая, что , получаем квадратное уравнение у 2 +у – 42=0 , корни которого -7 и 6. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнения и , последнее не имеет корней, т.к. арифметический квадратный корень – неотрицательное число, а первое уравнение можно решить, используя определение арифметического квадратного корня 6 2 = х 2 +11 , решение которого х=5 и х=-5.

Если уравнение можно свести к уравнению, содержащему два или несколько одинаковых выражений, то это уравнение можно решить методом замены переменной. Для этого заменяют такое выражение другой переменной, получают новое уравнение относительно новой переменной, решают его, затем осуществляют обратную замену, возвращаясь к прежней переменной.

Структурная схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Блок-схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Структурная схема программы: б) замены переменной

Блок-схема программы: б) замены переменной

Источник

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Источник

Способ группировки

Способ группировке в алгебре — один из способов разложения многочлена на множители.

Способ группировки можно разбить на два этапа:

1) Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя (в одной из групп общего множителя может не быть).

2) Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым.

Лучше при группировке между скобками всегда ставить знак «+»:

Из первых скобок выносим общий множитель a, из вторых — -3. При вынесении «-» за скобки все знаки в скобках меняем на противоположные:

Общий множитель (x+7) выносим за скобки:

Группировать можно было иначе: первое слагаемое — с третьим, второе — с четвертым:

Из первых скобок выносим общий множитель x, из вторых — 7:

Общий множитель (a-3) выносим за скобки:

При любом способе группировки ответ получается одинаковый (от перестановки мест множителей произведение не меняется).

Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

Из первых скобок выносим общий множитель x, из вторых — «-«:

Общий множитель (4-y) выносим за скобки:

Внимание! Сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться после вынесения. Если общий множитель совпадает с одним из слагаемых (с точностью до знака), на месте этого слагаемого после вынесения общего множителя за скобки остается единица (+1 или -1).

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третьим, четвертое — с пятым и шестым:

Из первых скобок выносим общий множитель a, из вторых — -b:

Общий множитель (a²+1+b²) выносим за скобки:

Можно было группировать и по два слагаемых. Например, первое — с четвертым, второе — с пятым, третье — с шестым:

Из первых скобок выносим общий множитель a², во вторых скобках общего множителя нет, из третьих — b²:

Общий множитель (a-b) выносим за скобки. Не забываем поставить единицу на место (a-b)!

Источник