Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Источник
План конспект урока по математике на тему: » Различные способы решения уравнений «
Дата «___»________ 20__г Класс 3-«__»
Тема урока: Различные способы решения уравнений
Повторение решения уравнений разными способами.
Закреплять мышление, речь, внимание.
Воспитывать познавательную активность, умение работать в коллективе, умение оценивать себя и одноклассников
Тип урока: урок закрепления знаний;
1. Поставьте знаки арифметических действий так, чтобы выполнялся данный порядок действий:
2. Поставьте знаки >,
9 · (5 + 4) … 9 · 5 + 4 8 · 7 – 16 … 8 · (7 – 2)
24 : 8 + 4 … 24 : (8 + 4) 63 : 7 + 2 … 63 : (7 + 2)
3 · (5 + 4) – 8 … 3 · 5 + 4 42 : 6 + 36 … 42 : (6 + 36)
8 : (9 – 7) – 1 … 4 · 4 – 8 6 · 7 – 42 … 42 : 7 – 6
На трёх тарелках лежали груши, по 7 штук на каждой. С каждой взяли по 4 груши.
– На какие вопросы можно ответить, выполнив действия:
4. Из 20 счётных палочек выложите фигуру, как на рисунке.
а) Переложите семь палочек так, чтобы получить два больших и два маленьких квадрата.
б) Уберите четыре палочки так, чтобы получить один большой и пять маленьких квадратов.
II. Сообщение темы урока.
— Сегодня мы будем решать уравнения способом подбора.
Моделирование учителем рассуждения ученика:
Из чисел 2, 5, 8, 11 выберем для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.
В первое уравнение 18-х =10 подставим первое число 2. Получаем: 18-2=10. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 18-5=10. Это равенство также нельзя назвать верным. Значит, число 5 тоже не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 8. Получаем: 18-8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 8 является корнем данного уравнения.
Продолжаем рассуждать. В уравнение 2 + х = 7 подставим первое число 2. Получаем: 2+2=7. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 2+5=7. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 5 является корнем данного уравнения.
Тренируемся далее. В уравнение х-9=2 подставим первое число 2. Получаем:
2-9=2, но 2 меньше, чем 9, поэтому вычитание мы выполнить не сможем. Нужно попробовать подставить в уравнение число, которое больше, чем 9. подставим число 11. Получаем: 11-9=2. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 11 является корнем данного уравнения.
Найдем корень последнего уравнения. Подставим число 2 в уравнение х+8=10. Получаем: 2+8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 2 является корнем данного уравнения.
Данные уравнения мы решали способом подбора. Это способ не всегда бывает удобным. Уравнения можно решать и другим способом, но для этого нужно знать, как связаны между собой компоненты действий при сложении и вычитании.
III. Работа по теме урока.
№ 1 – решение с комментированием
а) Реши уравнения способом подбора:
с • 2 = 80 80 : а = 20 х : 2 = 40
б) Произведение чисел 3 и 2 равно 6. Запиши это равенство. Обе его части раздели на 2. Сделай вывод.
Вывод: Если Левую и правую часть равенства разделить на одно и то же число- равенство сохраняется.
в) Попробуй решить способом подбора уравнение х • 6 = 96.
Начнем подбор с числа 12.
12• 6 = 72 – не подходит
13• 6 = 78 – не подходит
14• 6 = 84 – не подходит
15• 6 = 90 – не подходит
16• 6 = 96 –подходит
№ 2 – решение с комментированием
а) Используя рисунок, ответь на вопросы. Что находится на левой чаше весов? Что можно сказать о массе одного пакета сахара? пяти пакетов сахара?
Как составлено уравнение х • 5 = 10?
б) Сравни этот рисунок с предыдущим. Какие изменения произошли? Ответь на вопросы.
Что находится на левой чаше весов? Почему на правой чаше весов осталась одна гиря массой 2 кг? Верно ли утверждение, что для решения уравнения обе его части нужно разделить на 5?
№ 3 – решение задачи с комментированием
В сказочной стране распродажа. Василиса Прекрасная купила 3 скатерти-самобранки по 50 монет, 2 шапки- невидимки по 18 монет и волшебную палочку, которая стоила в два раза дешевле, чем шапка-невидимка. Сколько всего монет заплатила Василиса Прекрасная за все покупки?
Скатерти шапки волш. пал.
50 • 3 18 • 2 18 : 3
50 • 3 + 18 • 2 +18 : 3 = 192 монеты
Масса одного стакана сахара 200 г, а масса одного стакана пшеничной муки — на 40 г меньше. Сколько стаканов составляют 480 г пшеничной муки?
200- 40 = 160 (г) – масса одного стакана пшеничной муки
480: 160 = 3 стакана
№5 — работа в группах.
Составь уравнения и реши их.
а) Если задуманное число уменьшить на 10, то получится число, равное частному чисел 36 и 9. Чему равно задуманное число?
б) Если задуманное число увеличить в 3 раза, то получится число, равное сумме чисел 30 и 21. Чему равно задуманное число?
Выступление групп. Защита решения.
IV. Решение задач при помощи уравнения.
Четверых мальчиков зовут Денис, Илья, Артем, Вова. Кого из мальчиков как зовут, если Илья не самый высокий, но все же он выше Дениса и Вовы, а Денис не выше Вовы?
– Что нового узнали на уроке?
Домашнее задание. № 7.
ГРУППА 1
а) Если задуманное число уменьшить на 10, то получится число, равное частному чисел 36 и 9. Чему равно задуманное число?
ГРУППА 2
б) Если задуманное число увеличить в 3 раза, то получится число, равное сумме чисел 30 и 21. Чему равно задуманное число?
Источник
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
- кубические
- уравнение четвёртой степени
- иррациональные и рациональные
- системы линейных алгебраических уравнений
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
- Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
- Найти неизвестную переменную.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
- 4х + 8 = 6 — 7х
- 4х + 7х = 6 — 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = — 0, 18
Пример 5. Решить: 
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..
- 2х + 6 = 5 — 7х
- 2х + 6х = 5 — 7
- 8х = −2
- х = −2 : 8
- х = — 0,25
Источник
