Реши примеры другим способом

Решение задач разными способами – средство повышения интереса к математике.
методическая разработка по математике (1 класс) по теме

Среди всех мотивов учебной деятельности самым действенным является познавательный интерес, возникающий в процессе обучения. Он не только активизирует умственную деятельность в данный момент, но и направляет ее к последующему решению различных задач.

Устойчивый познавательный интерес формируется разными средствами. Одним из них является решение задач разными способами.

Скачать:

Вложение	Размер
Решение задач разными способами	28.24 КБ

Предварительный просмотр:

Войнова Светлана Юрьевна, учитель начальных классов,

МОУ «СОШ №56 с углубленным изучением отдельных предметов»

Решение задач разными способами – средство повышения интереса к математике.

Люди научились считать 25-30 тысяч лет тому назад. О значении математики как предмета школьного преподавания М.В.Ломоносов в записке о преподавании физики, химии и математики пишет так:

«А математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Среди всех мотивов учебной деятельности самым действенным является познавательный интерес, возникающий в процессе обучения. Он не только активизирует умственную деятельность в данный момент, но и направляет ее к последующему решению различных задач.

Устойчивый познавательный интерес формируется разными средствами. Одним из них является решение задач разными способами.

Большие возможности для развития интереса учащихся к математике имеют задачи и их решения разными способами. Для кого из ребят интересна математика? Да математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи, научив их решать задачи разными способами, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Однако в практике обучения математике различные способы решения ещё не заняли достойного места. Причин этому много, и в частности, недостаточная ориентация на эту работу в учебниках, методических пособиях для учителей. Учитель поэтому зачастую не владеет теми приёмами, с помощью которых можно отыскать другие способы решения. А без этого невозможно и детей научить находить разные способы решения, трудно использовать эти способы решения для других целей обучения и воспитания.

В начальном курсе математики текстовые задачи могут быть решены различными способами : алгебраическим, практическим, графическим, табличным, схематическим, комбинированным.

Рассмотрим различные способы решения текстовых задач на конкретных примерах.

Начальный курс математики ставит своей основной целью научить младших школьников решать задачи арифметическим способом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Решение задач оформляется в виде последовательности числовых равенств, к которым даются пояснения, или числовым выражением.

Задача. «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок, 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно вернуться?»

I способ. 1. 20+8=28(л.) ушли в море.

2. 28-6=14(л.) должны вернуться.

II способ. 1. Сколько больших лодок должно вернуться? 20-6=14(л.)

2. Сколько всего лодок должно вернуться? 14+8=22(л.)

III способ. 1. Сколько маленьких лодок должно вернуться? 8-6=2(л.)

2.Сколько всего лодок должно вернуться? 20+2=22(л.)

Ответ: должно ещё вернуться 22 лодки. Задача решена различными арифметическими способами.

Если у учащихся нет навыков решения задач различными арифметическими способами или вызывает затруднение их нахождение, можно предложить следующие методические приёмы:

1. разъяснение плана решения задачи;

2. пояснение готовых способов решения;

3. соотнесение пояснения с решением;

4. продолжение начатых вариантов решения;

5. нахождение «ложного» варианта решения из числа предложенных.

Текстовые задачи решаются либо синтетическим методом (вычисления в прямом порядке, от числовых данных условия к числовым результатам, о которых спрашивается в задаче), либо аналитическим (вычисления в обратном порядке с рассуждениями, идущими от вопроса задачи). Примерами этих последних являются задачи о «задуманном числе», а также задачи на части. Естественным оформлением решения таких задач служит составление уравнения – алгебраический метод. Он состоит из следующих шагов: 1.Введение неизвестного. 2.Выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче. 3.Составление уравнения. 4.Решение уравнения. 5.Осмысление результата и формулирование ответа.

Задача: «У Иры втрое больше наклеек, чем у Кати, а у Кати на 20 наклеек меньше, чем у Иры. Сколько наклеек у Кати?».

Вначале составим схему уравнения, содержащую не только математические знаки, но и естественные слова.

( Ирины наклейки) – (Катины наклейки) = 20 наклеек.

Получилась вспомогательная модель задачи – частичный перевод текста на математический язык. Введём неизвестное. Пусть х – число Катиных наклеек. Тогда число наклеек у Иры равно х 3.

Составим уравнение х * 3 – х = 20

Ответ: у Кати 10 наклеек.

При обучении алгебраическому методу решения текстовых задач полезно дополнить схему решения самым первым шагом – составлением схемы уравнения, в которую включаются как математические символы, так и нематематические записи и даже рисунки.

Это способ решения задачи с помощью чертежа.

Задача: «Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки. Сколько щук поймал рыбак?»

лещи окуни щуки

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

Построение чертежа помогает найти другой арифметический способ решения задачи.

Задача: «На одной машине увезли 28 мешков зерна, на другой на 6 мешков больше, чем на первой, а на третьей на 4 мешка меньше, чем на второй. Сколько мешков зерна увезли на третьей машине?»

I способ. 1. 28+6=34 (мешка) – увезли на второй машине.

2. 34-4=30 (мешка)- увезли на третьей машине.

Ответ : на третьей машине увезли 30 мешков зерна.

Если же мы построим чертеж к этой задачи, то легко найдем другой арифметический способ решения.

1. На сколько больше мешков увезли на третьей машине, чем на первой? 6-4=2(мешка)
2. Сколько мешков увезли на третьей машине? 28+2=30 (мешков)

Ответ: на третьей машине увезли 30 мешков зерна.

Из приведенных примеров следует вывод: графическое оформление задачи может определить ход мыслительного процесса и является средством выявления различных способов решения одних и тех же задач. При этом легче усматриваются разные логические основы, содержащиеся в условии задачи; такие способы определяются анализом наглядного сопровождения задачи, на которые учащиеся направляются постановкой учителем соответствующих заданий.

Задача: «В 6 банок поровну разложили 12 кг варенья. Сколько надо таких же банок, чтобы разложить 24 кг варенья?»

В данном случае логическая основа задачи проявляется на двух уровнях – открытом и скрытом, т. е. здесь две логические основы. В первом случае направление мыслительного процесса определяется вопросами:

1. Сколько кг варенья помещается в одну банку? 12:6=2(кг)
2. Сколько банок потребуется для 24 кг варенья? 24:2=12(б.)

Во втором случае ход того же процесса определяется другими вопросами:

1.Во сколько раз больше стало варенья? 24:12=2(раза)

Если варенья стало в два раза больше, значит, и банок потребуется в два раза больше.

2.Сколько потребуется банок? 6 * 2=12(б.)

Ответ: потребуется 12 банок.

При решении некоторых задач хорошим подспорьем является табличная форма.

Задача: «У Саши в коллекции 8 жуков и пауков. У всех насекомых 54 ноги. У одного жука 6 ног, а у одного паука – 8ног. Сколько жуков и сколько пауков у Саши в коллекции?»

Источник

Удивитесь сами, а потом поразите своих друзей этими 10 математическими трюками

Вы готовы улучшить свои вычислительные способности? Представляем простые математические приемы, которые помогут вам выполнять вычисления быстрее и проще. Они также пригодятся, чтобы удивить знакомых и произвести на них впечатление.

Представленные ниже математические трюки будут особенно полезны в условиях самоизоляции. Благодаря им вы не только «научитесь» считать, но и с пользой проведете время.

Умножение на шесть

Задание: Умножьте 6 на четное число. Ответ должен закончиться вторым множителем.

Например, 6 х 4 = 24.

6 — первый множитель, а 4 — второй.

Если вы умножите 6 на 4, то в ответе будет 24. Получается, что произведение заканчивается вторым множителем.

В ответе всегда цифра 2

1. Подумайте о числе.

2. Умножьте его на 3.

4. Разделите полученное число на 3.

5. Вычтите из полученного числа первоначальное, задуманное в первом пункте. Ответ будет всегда 2.

Трюк с трехзначными числами

Это задание похоже на второе, но основано на использовании трехзначного номера.

1. Подумайте о любом трехзначном числе, в котором каждая из цифр совпадает. Например, 333, 666, 777, 999.

2. Сложите все цифры задуманного числа.

3. Разделите ваше трехзначное число на ответ, полученный в пункте 2.

Ответ всегда будет 37.

Шесть цифр становятся тремя

1. Возьмите любое трехзначное число и напишите его дважды, чтобы превратить в шестизначное. Например, 371371 или 552552.

2. Разделите полученное число на 7.

3. Разделите частное пункта 2 на 11.

4. Полученное число разделите на 13.

Ответом будет трехзначный номер вашего шестизначного числа.

Пример: берем число 371, делаем из него шестизначное — 371371. Делим его на 7, получаем — 53 053. Теперь делим его на 11, в ответе будет — 4 823. И полученное число делим на 13. В итоге мы приходим к нашему первоначальному трехзначному числу 371.

На этом математический трюк не заканчивается. Сейчас мы пойдем в обратном направлении и выполним все те же пункты, только не с делением, а с умножением.

Наше трехзначное число 371 умножаем на 7, получаем — 2 597. Затем 2 597 умножаем на 11. В ответе будет — 28 567. Осталось 28 567 умножить на 13. Итого получаем 371371.

Умножение на 11

Это способ позволит вам быстро умножить двузначные числа на 11.

1. Придумайте любое двухзначное число.

2. Напишите пример на умножение, где первый множитель — ваше задуманное число, а второй — 11.

3. Поместите число из шага 2 между двумя цифрами из задуманного. Если число из шага 2 больше 9, поместите вторую цифру в пробел и прибавьте первую к первой цифре задуманного.

Например: Задуманное число 57. Умножаем его на 11, записывая с пробелом (5 7 x 11). 5 и 7 в сумме даст 12. Поэтому в пробел ставим число 2, а 5 увеличиваем на 1. Получается так 5 7 = 627, то есть 57 x 11 = 627. А теперь проверьте себя на калькуляторе.

Источник

Нестандартные способы решения примеров и задач

В последние годы возрос интерес к народной педагогике с её традициями и обычаями, к историческому наследию наших предков.

В результате недостаточности учебного времени и желания учителя уделить больше внимания закреплению учебного материала, приводит к тому, что историко-математические сведения почти не излагаются на уроках математики.

Ознакомление же учащихся с материалом из истории математики и плодами народного творчества позволяет включить в урокэлемент занимательности и развлекательности.

Меня заинтересовал вопрос о том, как шло развитие математики у тюрко-татарского народа, что осталось в современной математике от тех далеких времен. Нестандартные, в нашем понимании, способы решения примеров и задач имели место в дореволюционных мусульманских и русских школах на территории Татарстана. Они, на мой взгляд, представляют интерес для современных учеников. Можно почувствовать разницу в том, когда было легче выполнять математические действия. Это и определило выбор темы моего исследования.

Скачать:

Вложение	Размер
suleymanov_rinat.doc	493 КБ

Предварительный просмотр:

Нестандартные способы решения примеров и задач

Аксубаевский р — н пос.МЮД,

МБОУ «Старомокшинская средняя общеобразовательная школа

им. В.Ф.Тарасова», 6 класс

Научный руководитель: Зайцева Г.Г.

2. Глава 1. Исторические сведения

1.1. О математических знаниях древних тюрков — 4

1.2. О математических знаниях других народов — 5

3. Глава II. Нестандартные способы решения примеров и задач

2.2. Раздвоение — 6

2.4. Вычитание — 7

2.5. Правило проверки действий сложения и вычитания — 7

2.6. Умножение и деление — 8

3. Заключение — 13

4. Список использованной литературы — 14

В последние годы возрос интерес к народной педагогике с её традициями и обычаями, к историческому наследию наших предков.

В результате недостаточности учебного времени и желания учителя уделить больше внимания закреплению учебного материала, приводит к тому, что историко-математические сведения почти не излагаются на уроках математики.

Ознакомление же учащихся с материалом из истории математики и плодами народного творчества позволяет включить в урок элемент занимательности и развлекательности.

Меня заинтересовал вопрос о том, как шло развитие математики у тюрко-татарского народа, что осталось в современной математике от тех далеких времен. Нестандартные, в нашем понимании, способы решения примеров и задач имели место в дореволюционных мусульманских и русских школах на территории Татарстана. Они, на мой взгляд, представляют интерес для современных учеников. Можно почувствовать разницу в том, когда было легче выполнять математические действия. Это и определило выбор темы моего исследования.

Проблема исследования состоит в том, как на уроках математики приобщать учащихся к традициям татарского народа, ведь школа у нас многонациональная и большинство составляют чуваши.

Актуальность исследования вызвана необходимостью исследования формирования математических знаний татарского народа и тем, что эта проблема недостаточно разработана.

Объект исследования: старинные методы и способы математических вычислений.

Предмет исследования: потенциал использования элементов татарской народной педагогики в математическом образовании учащихся.

Цель исследования: выявить особенности развития математических знаний в татарской народной педагогике и возможности ее использования в процессе математического образования учащихся.

Были поставлены следующие задачи:

1.Определить потенциал татарской народной педагогики в математическом образовании учащихся.

2. Изучить старинные методы и способы математических вычислений.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

1. историко-сравнительный метод исследования достижений татарской, русской и зарубежной математической науки;

1.1. Насколько изучены математические представления арабов и персов (они нашли своё отражение и в Коране), настолько они остаются малоизученными у тюрко-татарского народа.

Ещё Я.А. Коменский, И.Г. Песталлоци, К.Д. Ушинский и др. педагоги прошлого признавали, что математические знания играют первичную роль в умственном развитии и воспитании детей, а М.В. Ломоносов говорил: «Математику уже за то любить надо, что она ум в порядок приводит».

Использование историко-математического материала на занятиях по математике, физике и природоведению способствует повышению их эффективности. Историко-математические сведения хорошо запоминаются, запоминается, следовательно, и история развития математики, формирование её основных идей и методов.

Многие учёные рекомендуют применять исторический подход в преподавании учебного материала. Педагогическое наследие тюрко-татарского народа имеет богатую многовековую историю. Как показывают исследования, оно берет начало еще с X-XI веков, на сегодняшний день, практически еще не освоено современной наукой. Ценные мысли татарского народа о воспитании и образовании молодого поколения веками оказывали и продолжают оказывать свое влияние на миллионы людей. Это ценнейшее наследие пока еще остается закрытым для широкого круга читателей.

Недостаточность письменных источников по истории Казанского ханства не дает возможности подробно описать развитие образования. Сохранились лишь отдельные сведения о развитии науки. До наших дней дошел большой рукописный математический трактат «Сборник правил» Мухутдина Мухаммеда сына хаджи Атмаджи (1542 г.). Он долгое время использовался как учебник в казанских медресе и свидетельствует о высоком развитии математического образования в Казанском ханстве. Известны трактаты по географии, этнографии, истории, большое количество литературных произведений и несколько ханских грамот (ярлыков).

Татарское национальное образование имеет давнюю историю и традиции. Еще в период древнетюркских государств (VI в.) существовала система передачи знании «Учитель – ученик».Появившиеся с IX в. в мусульманских странах медресе являлись высшими и средними религиозными учебными заведениями. Они находились обычно в столице и крупных городах. О том же говорят сведения об ученых восточных стран, получивших образование в Волжской Болгарии.

Мы не располагаем в подробностях сведениями о программе, форме обучения и о предметах, включенных в учебную программу. Но, очевидно, они в основных чертах не отличались от подобных учебных заведений в других мусульманских странах того времени. Главное внимание уделялось изучению богословия, обучение велось методом толкования Корана (тадрис) и частично диктованием (имла). В медресе ученики получали не только религиозные, но и светские знания. Изучались элементы некоторых других наук. Например, арифметика, на основе которой строилось дальнейшее математическое образование. Она была необходима для торговых расчетов, раздела имущества. Арифметика была риторической, знаки действий и искомые величины обозначались в словесной форме .

Геометрия была собранием некоторых правил для решения задач практического характера. Как учебные пособия применялись и самостоятельные источники, и рукописные трактаты среднеазиатских ученых-математиков (аль-Хорезми, Ибн-Сина и др.). Происходил активный процесс накопления народной математики, основанной на его знаниях и опыте по измерениям, исчислению времени, денежным расчетам.

1.2. До появления цифр или букв, используемых как цифры, люди считали на пальцах или с помощью камней, раковин, зарубок, узлов. Понятие считать — calculare по-латыни (откуда современные слова калькулировать, калькулятор), произошло от латинского же слова calaulus, камешек.

Единицы измерения длины на первых порах возникли из сопоставления измеряемой длины с частями тела, которыми ее измеряли. Примеры — локоть, стопа, сажень (расстояние между кончиками пальцев рук, вытянутых на ширину плеч), дюйм (по-немецки большой палец), фут (по-английски нога) и так далее.

Сложение и вычитание на протяжение очень долгого времени были единственными доступными математическими действиями. Затем освоили умножение, которое, по сути, было просто удвоением и дальнейшим сложением. Потребность в умножении появилась в связи с необходимостью вычисления площадей. У египтян и вавилонян умножение называлось «а-ша», это же слово означает площадь. Арабы в средневековых математических сочинениях умножение называют « сатх », а это то же самое, что и поверхность (прямоугольника).

В Египте система счета была десятичной, числовые знаки имелись только для единицы (горизонтальная черта, образ мерной палки), десяти (иероглиф, изображающий путы), сотни (измерительная веревка), тысячи (цветок лотоса), десяти тысяч (указательный палец), ста тысяч (головастик), миллиона (удивленный человечек) и десяти миллионов (солнце; мы здесь даже вспоминать не хотим некоего Марко Поло, который «первым» принес в Европу из средневекового Китая понятие миллиона). Повторяя эти знаки, египтяне выражали все остальные числа. При строительстве пирамид старались вырезать блоки, измеряемые целым числом локтей, чтобы не пользоваться дробями, но в земледелии этого избегать не удавалось. Знали два арифметических действия, сложить (иероглиф: две ноги, идущие налево) и вычесть (две ноги, идущие направо).

Умножали с помощью табличек, путем последовательных удвоений. Например, надо умножить 15 на 13.

Нужно выбрать множители, сумма которых равна 13. Мы их подчеркнули. Если теперь сложить результаты при подчеркнутых множителях, получится 195. В самом деле, 15х13=195. По той же схеме производили и деление. Например, 195 надо разделить на 15. Пишем табличку удвоений пятнадцати, затем складываем правые числа, чтобы получилось 195. Сумма левых чисел выбранных строчек даст ответ = 13.

Отметим, что такое «древнеегипетское» удвоение и деление пополам, как особые арифметические действия, сохранялись в европейских школьных учебниках еще и в XVII веке.

Понятие 1/2 и 1/4 возникли в практике людей довольно рано, но не как дроби, а как самостоятельные категории половины, четверти. Дроби типа целого числа с половиной образовывались как разность между следующим целым числом и половиной: 21/2 называлась полтретья. Обратите внимание, в русском языке половина и два — слова разного корня. А когда нас спрашивают, который час, мы отвечаем полтретьего.

В последнее время появляются новые исследования, посвященные истории развития математики и математического образования в различных регионах России. Они выполнены, например, в Казани (В.М. Беркутов , Л.Р. Шакирова ), Калуге (Ю.А. Дробышев), Москве (К.К. Рыбников ), Ростове-на-Дону (Т.С. Полякова), Твери (С.Ю. Щербакова ), Чебоксарах (Н.И. Мерлина ) и др.

Удвоением называют увеличение числа вдвое или умножение его на два. Удвоение бывает двух видов: удвоение справа – прямое и удвоение слева – обратное.

Правило удвоения справа – в числе, начиная с низших разрядов, цифру первого разряда увеличиваем вдвое. Если результат не превышает число 10, то записываем на том же месте, если результат превышает 10 или равен 10, то единицы подписываем под увеличенным вдвое числом, а десятку под соседним слева разрядом и складываем с ним, а результат записываем под проведенной чертой. Так продолжаем делать до тех пор, пока не достигнем конечного разряда и само число не удвоится.

Справа налево Слева направо

6 0 7 5 3 2 6 0 7 5 3 2

2 0 4 0 6 4 промежуточные 2 0 4 0 6 4

1 1 1 действия 1 1 1____

1 2 1 5 0 6 4 1 2 1 5 0 6 4

Раздвоением называют уменьшение числа на половину или деление на две части: справа — прямое, слева – обратное.

Данное число начинаем раздваивать с низших разрядов. Если цифра делится на две части (четная), то результат записываем на том же месте. Если цифра нечетная, то ее уменьшаем на единицу и делим пополам, в месте уменьшенной единицы записываем под меньшим разрядом 5 и складываем. Если в разряде имеем 1, то разделив, на место пишут 0, а 5 под меньшим разрядом. То же самое делаем с остальными разрядами.

3 0 2 1 0 2 промежуточные

Правило сложения – справа налево сверху вниз. Числа записываем как мы делаем сейчас: единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. Затем проводим черту и складываем сверху вниз, а результат подписываем ниже черты под тем же разрядом.

Если при сложении сумма цифр какого-либо разряда начиная со второго вертикального столбца больше или равна 10, то единицы этого числа подписываем под соответствующим разрядом, а десятки под соседним слева разрядом, который складываем потом и общий результат записываем под другой чертой.

1 4 6 8 4 3 1 промежуточные

«Тарх»- по арабски. Правило – справа налево.

7 6 4 2 3 уменьшаемое число

5 4 6 5 2 вычитаемое число

2 2 8 7 1 промежуточные

2.5. Правило проверки действий сложения и вычитания.

5 4 2 → 5 + 4 + 2 = 11; 11 : 9 = 1 (ост.2)

3 7 5 → 2 + 3 + 7 + 5 = 17; 17 : 9 = 1 (ост.8)

+ 1 6 4 3 → 8 + 1 + 6 + 4 + 3 = 22; 22 : 9 = 2 (ост.4)

7 8 9 1 → 4 + 7 + 8 + 9 + 1 = 29; 29 : 9 = 3 (ост.2)

1 0 4 5 1 1 + 0 + 4 + 5 + 1 = 11; 11 : 9 = 1 (ост.2)

Цифры слагаемых складываем построчно. От каждой полученной суммы отбрасываем по 9 до получения остатка меньше 9. Этот остаток прибавляется к сумме цифр следующей строки и так далее до последней строки включительно. Полученные остатки должны совпадать (2 = 2).

8 6 7 5 7 → 8 + 6 + 7 + 5 + 7 = 33; 33 : 9 = 3 (ост.6)

— 2 5 8 4 1 → 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20;

6 0 9 1 6 → 6 + 0 + 9 + 1 + 6 = 22; 20 + 22 = 42; 42 : 9 = 4 (ост.6)

2.6. Умножение и деление.

Здесь мы рассмотрим табличные способы умножения, умножение многозначных чисел и его различные виды, правило проверки правильности умножения, деление и его различные виды.

Умножение одного числа на другое есть такое число, отношение которого к одному из сомножителей равно отношению другого сомножителя к единице.

Встречается три способа простого умножения:

1. способ четырехугольника (мэрэббег)
2. способ треугольника (мусэллэс )
3. способ табличный (мэжэвэл).

Способ четырехугольника — дается таблица умножения без словесных добавлений в форме квадрата. Числа от 1 до 9 включительно умножаются в столбец по порядку на 1, 2, 3, … 9 включительно, а каждое произведение записано рядом с перемноженным числом.

Источник