Решение задачи способом замены плоскостей проекций

58. Способ замены плоскостей проекций

§ 58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄проведены

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии l уровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁от оси П₁ / П₂и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. Проекция D₅E₅F₅треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Источник

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

5.3. Преобразование комплексного чертежа способом замены плоскостей проекций

Рассмотрим решение задач, используя способ замены плоскостей проекций. При этом способе объект сохраняет своё положение в пространстве,а положение плоскостей проекций последовательно меняется. Любые две взаимно перпендикулярные плоскости могут быть приняты за новую систему плоскостей проекций, но при этом понятие горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций сохраняется.

Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы (рис. 5.1).

Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Такая задача решается на комплексном чертеже при необходимости определения натуральной длины отрезка прямой и угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2новой плоскостью П4 ⊥ П1 и параллельной прямой АВ.

Рис. 5.1. Изображение в пространстве преобразования прямой линии
общего положения в прямую линию уровня

Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.2), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:

1) провести новую ось проекций х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую АВ, ось х14 = А1В1;

2) выбрать на прямой две точки А(А1А2) и В(В1В2);

3) построить проекции точек А и В на плоскости П4.

Прямая А4В4 является проекцией прямой АВ на плоскость П4. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П1/П4 является фронталью.

Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. |А4В4| = |АB|, α°– величина угла наклона прямой АВ к плоскости П1.

Рис. 5.2. Изображение преобразования прямой линии общего положения
в прямую линию уровня

3адача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей (рис. 5.3).

Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций – заменить фронтальную плоскость проекций П2 исходной системы П2/П1 вспомогательной проецирующей плоскостью П4 || А1В1.При этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ || П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.

Построения на комплексном чертеже:

1) провести новую ось проекций х14 || А1В1;

2) построить проекции точек А и В на плоскости П4, взяв координаты точек из плоскости П2;

3) заменить плоскость П1 на новую П5, которая будет ⊥ А4В4. Для этого нужно провести новую ось проекций х4,5.

Так как расстояния точек А и В до плоскости П4 одинаковы, то проекции их на плоскости П5 совпадут, А5 ≡ В5, прямая АВ (А5В5) в новой системе плоскостей проекций займёт проецирующее положение и станет горизонтально проецирующей.

Прямую линию общего положения преобразовать в проецирующую линию, заменой, только одной плоскости проекций, нельзя, потому, что плоскость П5 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из «старых» плоскостей проекций, и, следовательно, не сможет образовать, ни с одной из них, прямоугольной системы плоскостей проекций. Для того, чтобы, прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций: прямую общего положения следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Изображение преобразования прямой линии АВ общего положения
в прямую горизонтально-проецирующую линию.

Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 5.4, 5.5).

Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости (АВС).

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то данная плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.

На рис. 5.4 плоскость (АВС) общего положения преобразована во фронтально-проецирующую путем преобразования её горизонтали h(h1,h2), во фронтально-проецирующее положение. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость является фронтально проецирующей ( ⊥ П4), и поэтому её проекция на П4 вырождается в прямую линию 4 (С4, А4, В4).

В этом случае α° – величина угла наклона плоскости к плоскости П1.

Рис. 5.4. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона α°к П1

Для определения угла наклона (β°), заданной плоскости к фронтальной плоскости проекций (П4), необходимо выполнить преобразования построения, аналогичные преобразованиям, рассмотренным выше (рис.5.5), используя фронталь.

Рис. 5.5. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона β° к П2

В этом случае плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую плоскость с помощью её фронтали, которая преобразуется в горизонтально – проецирующую линию.

Задача № 4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы (рис.5.6).

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. В начале решения плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3 на преобразование комплексного чертежа, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

На рис. 5.6 показан алгоритм преобразования плоскости Δ(АВС) в плоскость уровня.

Рис. 5.6. Решение задачи на преобразование плоскости общего положения
в плоскость уровня.

Рассмотрим ещё один возможный вариант (рис. 5.7). Допустим, что необходимо определить натуральную величину фронтально проецирующей плоскости Г(ΔАВС). Для этого заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(ΔАВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П1. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г(АВС) станет плоскостью уровня новой плоскости проекций.

Построения на комплексном чертеже:

1) провести новую ось проекций х2,4 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии;

2) построить проекции точек А, В и С на плоскость П4;

3) треугольник А4В4С4 является проекцией плоскости треугольника АВС на плоскость П4.

Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П4, значит отображение этого треугольника на П4 величина натуральная. Значит, третья задача на преобразование плоскости уже решена и для решения четвёртой задачи необходимо выполнить одну замену плоскостей проекций. Необходимо горизонтальную плоскость проекций заменить на плоскость П4 и создать новую систему П2 /П4.

Рис. 5.7. Решение четвертой задачи на преобразование фронтально проецирующей плоскости в плоскость уровня

Источник