Решение задач векторно координатный способом

Координатно-векторный метод решения стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ

Разделы: Математика

выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать “эффект” от применения этих способов решения;
выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыка;
выработать умение составить план последовательных этапов для достижения результата;
выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления;
повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением текущих задач;
развить пространственное мышление.

анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод, применение теоремы косинусов, применение теоремы о трех перпендикулярах;
сравнение преимуществ и недостатков каждого метода;
повторение свойств куба, треугольной призмы, правильного шестигранника;
подготовка к сдаче ЕГЭ;
развитие самостоятельности при принятии решения.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 точка О – центр грани ABCD.

а) угол между прямыми A₁D и BO;

б) расстояние от точки B до середины отрезка A₁D.

Решение пункта а).

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке, вершины A₁ (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B₁ (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Направляющие векторы прямых A₁D и B₁O:

<0; 1; -1>и <½; ½; -1>;

искомый угол φ между ними находим по формуле:

cos∠φ = ,
откуда∠φ = 30°.

2 способ. Используем теорему косинусов.

1) Проведем прямую В₁С параллельно прямой A₁D. Угол CB₁O будет искомым.

2) Из прямоугольного треугольника BB₁O по теореме Пифагора:

B₁O = .

3) По теореме косинусов из треугольника CB₁O вычисляем угол CB₁O:

cos CB₁O = , искомый угол составляет 30°.

Замечание. При решении задачи 2-м способом можно заметить, что по теореме о трех перпендикулярах COB₁ = 90°, поэтому из прямоугольного ∆ CB₁O также легко вычислить косинус искомого угла.

Решение пункта б).

1 способ. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

Пусть точка E – середина A₁D, тогда координаты E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

2 способ. По теореме Пифагора

Из прямоугольного ∆ BAE с прямым BAE находим BE = .

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны a. Найти угол между прямыми AB и A₁C.

1 способ. Координатно-векторный метод

Координаты вершин призмы в прямоугольной системе при расположении призмы, как на рисунке: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A₁(0; 0; a), C (0; a; 0).

Направляющие векторы прямых A₁C и AB:

и <a; ; 0> ;

cos φ = ;

φ = arccos .

2 способ. Используем теорему косинусов

cos φ = .

(Из сборника ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко)

Читайте также: Миндальное печенье способ приготовления
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B₁C₁.

1 способ. Координатно-векторный метод

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС₁, СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С₁ (0; 0; 1), Е (; 0; 0), В₁ (0;1;1).

2) Найдем координаты направляющих векторов для прямых С₁В₁ и С₁Е:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С₁В₁ и С₁Е, используя скалярное произведение векторов и :

cos β = = 0 => β = 90° => C₁E – искомое расстояние.

4) С₁Е = = 2.

Вывод: знание различных подходов к решению стереометрических задач позволяет выбрать предпочтительный для любого учащегося способ, т.е. тот, которым ученик владеет уверенно, помогает избежать ошибок, приводит к успешному решению задачи и получению хорошего балла на экзамене. Координатный метод имеет преимущество перед другими способами тем, что требует меньше стереометрических соображений и видения, а основывается на применении формул, у которых много планиметрических и алгебраических аналогий, более привычных для учащихся.

Форма проведения урока – сочетание объяснения учителя с фронтальной коллективной работой учащихся.

На экране с помощью видеопроектора демонстрируются рассматриваемые многогранники, что позволяет сравнивать различные способы решения.

Домашнее задание: решить задачу 3 другим способом, например, с помощью теоремы о трех перпендикулярах.

1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса.– М.: ИЛЕКСА, – 2010. – 208 с.

2. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.

3. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 112 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).

Источник

Презентация к исследовательской работе на тему » Векторно-координатный метод при решении задач по геометрии»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Исследовательская работа Векторно-координатный метод решения задач по стереометрии

Содержание Введение….…………………………. ……………………. …………3 Цели данной работы………………………………….……. ……..…4 Теория. Основные формулы метода координат…. ….6 Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач …………………………………………. ……7 Пример простейшей задачи на применение метода координат…. …………………………………. ………………. …11 Решение стереометрических задач части 2 из ЕГЭ геометрическим и векторно-координатным методами . ……..12 Уравнение плоскости через определитель…. 17 Угол между плоскостями………………………………..…….……..19 Угол между прямой и плоскостью………………………………….21 Заключение ……………. ………..……………………. ……..…. 23 Список использованной литературы …………. ………….…. 25

Введение Векторно-координатный метод решения задач на сегодняшний день один из самых эффективных и при рациональном использовании позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется неполно. В своей работе мне бы хотелось показать, как решаются стереометрические задачи, если на них взглянуть с иной точки зрения, то есть рассмотреть задачу в трехмерной системе координат.

Цели данной работы Раскрыть суть данного метода, используя основные формулы, изученные в школьном курсе геометрии и дополнительный материал; Показать применение метода на несложных, элементарных задачах; Решить сложные стереометрические задачи при помощи векторно-координатного метода, сравнить и показать его преимущества перед геометрическим методом.

Теория. Основные формулы метода координат Существует два способа решения задач по стереометрии Первый — геометрический, требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает умственное мышление и пространственное воображение. Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Недостатки, что выкладки могут быть слишком объёмны. Координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Он позволяет упростить решение некоторых стереометрических задач.

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения. Находим координаты необходимых для нас точек. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

Если в пространстве введена система координат OXYZ, каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел (x, y, z). Середина отрезка между точками M1(x; y; z) и M2(x1; y1; z1) имеет координаты Расстояние между точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2) равно Множество точек (х; у; z), координаты которых удовлетворяют уравнению (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 есть сфера с центром (x0,y0,z0) и радиуса R. Множество точек (х, у, z), координаты которых удовлетворяют уравнению ах + by + cz + d = 0 (а, Ь, с и d — некоторые числа) есть плоскость.

Пример простейшей задачи на применение метода координат Задача 1. Дан треугольник с вершинами A, B, C. Найти медиану AM Дано: ABC;A(0;1) B(1;-4);C(5;2) Найти: AM=?

Решение стереометрических задач части 2 из ЕГЭ геометрическим и векторно-координатным методами В качестве примеров разберём несколько заданий ЕГЭ последних лет и решим двумя способами: геометрическим и координатно — векторным.

Задача 1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDC1. Решение (геометрический способ)

Решение (векторно-координатным способ) Введём прямоугольную систему координат так, чтобы ребро куба AD лежало на оси ОХ, AA1 на оси OZ и AB на OY. Тогда координаты некоторых точек будут равны В(0;1;0), D(1;0;0) и С1(1;1;1). Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0

Рассмотрим уравнение плоскости через определитель Теорема. Пусть даны координаты трёх точек, через которые надо провести плоскость: M1 (x1, y1, z1); M2 (x2, y2, z2); M3 (x3, y3, z3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель: Затем определитель раскрывается по схеме и получается стандартное уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0 где числа A, B, C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Задача 3 Угол между плоскостями Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямо- угольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √ 33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перперпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √ 3

Задача 4 Угол между прямой и плоскостью В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1 Рисуем чертеж и выбираем систему координат A (1; 0; 0) E (1; ; 1) Находим координаты вектора (0; ; 1) Плоскость BDD1 является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например вектор

Заключение В своей работе мы рассмотрели различные способы решения геометрических задач, используя известные методы. Анализируя все решения, сделали для себя важные выводы: А) Во-первых, благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее берешься за нее. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый опыт, что позволяет развить математическое чутье. Б) Во-вторых, подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. В) В-третьих, при такой работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания. Г) В-четвертых, овладевая основными методами решения задач, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности — наблюдение, сравнение, обобщение.

Источник