Решение задач способом сфер

Способ концентрических сфер

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР.

Способ концентрических сфер.

Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей, когда в качестве поверхности-посредника используется сфера. При этом возможны два случая применения сфер:

1) вспомогательные сферы могут быть проведены из одного общего для всех сфер центра. В этом случае говорят о способе концентрических сфер,

2) вспомогательные сферы проводятся из разных центров. Этот способ называют способом эксцентрических сфер.

Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Пусть заданы две образующие линии (два главных меридиана) -прямая l и дуга окружности m (рисунок 12-1). При вращении их вокруг оси i будут описаны соответственно цилиндрическая и торовая поверхности. Каждая точка заданных линий при вращении вокруг оси i описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.

Полученные поверхности пересекаются, причем линий пересечения будет столько, сколько точек пересечения имеют сами образующие линии (меридианы). Поскольку в нашем случае они пересекаются в двух точках, будет и две линии пересечения поверхностей, которые представляют собой окружности (параллели).

В частном случае одной из соосных поверхностей может быть сфера, если центр дуги окружности m находится на оси вращения i.

Таким образом, если центр сферы находится на оси некоторой поверхности вращения, то эта поверхность пересекается со сферой по окружностям. Это свойство и положено в основу способа вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер следует применять в случаях, когда соблюдаются следующие три условия:

· пересекаются поверхности вращения или поверхности, содержащие семейства окружностей, по которым их могут пересекать концентрические сферы;

· оси поверхностей вращения пересекаются;

· поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Если же она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то необходимо произвести преобразование чертежа для достижения необходимых условий решения.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения (рисунок 12-2).

Сначала определим некоторые опорные точки. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то пересечение их контурных образующих в точках А и В определяет высшую и низшую точки линии пересечения.

Центр сфер 0 выбирают в месте пересечения осей цилиндра и конуса, т.к. только в этом случае сферы будут соосны с обеими поверхностями.

Определим радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax сфер, которые будем использовать при решении задачи. Rmax определяется расстоянием от точки 0 до самой удаленной опорной точки.

Для определения Rmin необходимо из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из них принимается в качестве Rmin, т.к. сфера такого радиуса будет касаться одной и пересекать вторую поверхность, что дает возможность найти общие для обеих поверхностей точки — точки линии пересечения. При радиусе сферы меньшем Rmin она не будет иметь общих точек с одной из поверхностей; построения теряют смысл.

Для построения случайных точек проводим сферы радиуса Rmin

· каждая поверхность содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рисунок12-3).

Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер. Каких?

Задачу можно решить как способом концентрических сфер, так и эксцентрических. Решим её вторым способом.

Центр сфер можно брать в любой точке оси конуса вращения. На рисунке 12-3 проведены три сферы радиусов RI, R2, R3. Каждая из этих сфер пересекается с каждой из данных поверхностей по окружности, точки пересечения которых будут точками линии пересечения.

На виде сверху точки находим с помощью параллелей конуса h¹,h²,h³.

Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения с тором (рисунок 12-4).

Эту задачу можно решить только способом эксцентрических сфер.

Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, в которой расположены ось конуса и линия центров тора.

Как и во всех задачах на пересечение поверхностей, вначале определяем опорные точки. Самая верхняя и правая — т. А, расположенная на пересечении контурных линий. Чтобы найти нижнюю и левую т. В (точку касания контурных линий конуса и тора), необходимо из т. О опустить перпендикуляр на контурную образующую конуса; их пересечение определяет т.В.

Для построения дополнительных точек выделим одну окружность –m принадлежащую поверхности тора.

Центры всех сфер, которые будут пересекаться с тором по этой окружности, будут лежать на прямой n1 данной окружности C1 перпендикулярно к её плоскости. Эта прямая пересечёт ось конуса (т.к. они лежат в одной плоскости) в т. 01. Эта точка будет центром сферы, которая пересечёт поверхность конуса по окружности h1. Окружности m1 и h1 пересекаются в точках 1 и 2, которые будут принадлежать линии пересечения.

Для нахождения дополнительных точек нужно взять новую окружность на поверхности тора и все действия повторить.

На виде сверху точки линии пересечения находят при помощи параллелей конуса h.

Источник

Способ вспомогательных сфер в начертательной геометрии с примером

Способ вспомогательных сфер:

Этот способ широко используется при решении задач на построе­ние линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого способа, рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения, у которых оси совпадают. Такие поверхности называются соосными поверхностями вращения.

Линия пересечения соосных поверхностей — окружность, плос­кость которой перпендикулярна оси поверхностей вращения. При этом, если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой ли­нии (рис. 5.41).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические (построенные из одного центра) и эксцентрические (проведенные из разных цен­тров) сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер — сфер с постоянным центром.

Следует отметить, что если плоскость осей поверхностей враще­ния не параллельна плоскости проекций, то окружности, по которым пересекаются поверхности, будут проецироваться в эллипсы, а это усложняет решение задачи. Поэтому способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

• а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
• в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость сим­метрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения по­верхностей на одной проекции.

Рассмотрим пример построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения (рис. 5.42).

Точки 1, 2, 3, 4 определяются как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащие плоскости пересечения осей (плоскости симметрии

Из точки пересечения осей данных поверхностей (точки О’) построим вспомогательную сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна конусу и цилиндру и пересечет их по окруж­ностям. Плоскости этих окружностей перпендикулярны соответствующим осям вращения. Фронтальные проекции этих окружностей — отрез­ки прямых. Проведенная сфера пересекает конус по окружности диаметра а цилиндр — по окружностям В пересечении окружности АВ с окружностями CD и EF получаем соответственно точки 9-10 и 1 1-12, принадлежащие линии пересечения.

Таким образом, можно построить достаточное количество точек искомой линии пересечения. При этом нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус максимальной секущей сферы будет равен расстоянию от центра о’ до самой удаленной точки пересечения контурных образующих (от точки о’ до точек 2′ и 4′)- Минимальной секущей сферой долж­на быть такая сфера, которая касалась бы одной поверхности (большей) и пересекала вторую (меньшую). В данном примере минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности и пересекает ци­линдр по окружностям Пересекаясь между собой, ок­ружности MN и KL дают точки линии пересечения 5 (5′) и 6 (6′), а окружности MN и ST — точки Это самые глубокие точки линии пересечения.

Для точности решения между максимальной и минимальной сфе­рами необходимо построить дополнительные (промежуточные) сферы:

Если дополнительная сфера пересекает только одну данную поверхность, то такая сфера для решения задачи непригодна.

Для построения второй проекции линии пересечения можно ис­пользовать окружности, полученные от сечения конуса вспомогательными сферами.

Можно также построить дополнительные сечения поверхности, Точки 13-14 и 15-16, лежащие на контурных образующих цилиндра, являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной проекции.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика Начертательная геометрия Компас Автокад Черчение Проекционное черчение Аксонометрическое черчение Строительное черчение Техническое черчение Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Выполнение и оформление чертежей по ГОСТ и ЕСКД
• Виды в инженерной графике
• Разрезы в инженерной графике
• Сечения в инженерной графике
• Развертка поверхности конуса
• Шаровая поверхность
• Винтовые поверхности
• Способ вспомогательных секущих плоскостей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Алгоритм решения

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом

вспомогательных сфер возможны два случая:

-способ концентрических сфер– сферы проведены из одного, общего для всех сфер центра;

— способ эксцентрических сфер– сферы проведены из разных центров.

Способ концентрических сфер − сфер с постоянным центром.

Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в)плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций.

1. Обозначается плоскость симметрии.

2. Определяется центр вспомогательных секущих сфер. Он находится в точке пересечения осей данных поверхностей.

3. Определяются радиусы минимальной и максимальной вспомогательных сфер. За Rmin принимается величина большей нормали. Rmax равно расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной от него опорной точки.

4. Проводится сфера минимального радиуса. Она будет касаться одной поверхности по окружности и пересекать вторую тоже по окружности. Точки пересечения этих окружностей будут являться точками искомой линии пересечения.

5. Для определения промежуточных точек линии пересечения из центра проводится семейство секущих сфер, величины радиусов которых изменяются в пределах от Rmin до Rmax (Rmin≤R≤Rmax).

6. Одноименные проекции точек соединяются плавной кривой линией.

7. Определяется видимость.

Задача 3. Построить проекции линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса α с поверхностью прямого кругового цилиндра β.

Решение:

Шаг 1. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О=i Çi 2 . Плоскость симметрии Δ||П₂, следовательно задача решается способом концентрических сфер (рис.24).

Рис. 24

Шаг 2. За центр сфер принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Отметим проекции точки О(О₁,О₂) пересечения осей заданных поверхностей и принимаем их за проекции общего центра всех секущих сфер.

Определим радиусы максимальной и минимальной сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения линий очерков поверхностей (Rmax=.О₂B₂).

Радиус минимальной сферы определяется из условия касания минимальной сферы одной поверхности (вписывается в поверхность) и пересечения второй. Для определения минимального радиуса Rmin секущей сферы из точки О₂ проводим перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из этих перпендикуляров (перпендикуляр О₂N₂ на образующую конусаα принимаем за Rmin (Rmin= О₂N₂).

Для построения промежуточных точек линий пересечения обе поверхности пересекаем концентрическими сферами, радиусы которых находятся в диапазоне Rmin

Рис.27

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник