Как решать логические и математические задачи
Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.
Решаем логические задачи
Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.
Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.
К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.
Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.
Основные методы решения логических задач
- метод рассуждений;
- с помощью таблиц истинности;
- метод блок-схем;
- средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
- графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
- метод математического бильярда.
Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):
- метод последовательных рассуждений;
- разновидность метода рассуждений — «с конца»;
- табличный способ.
Метод последовательных рассуждений
Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.
На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.
Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .
Разложи карандаши в описанном порядке.
Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.
- Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
- Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
- Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
- Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.
Метод «с конца»
Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.
Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.
Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?
Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.
Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.
Решение логических задач с помощью таблиц истинности
Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».
Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».
Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?
Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.
Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.
Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».
Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.
И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».
Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.
Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.
Метод блок-схем
Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.
- графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
- определяем порядок их выполнения;
- в таблице фиксируем текущие состояния.
Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.
Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!
Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.
Источник
Решение логических задач методом рассуждений
Решение логических задач методом рассуждений
Многие логические задачи решаются методом «здравых рассуждений». Процесс решения представляет собой анализ всевозможных ситуаций, выбор подходящих и отбрасывание ненужных. В результате решения находим выход из создавшегося, затруднительного положения.
В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Способ рассуждений – самый простой способ. Он подходит абсолютно для всех задач. Чтобы решать этим способом, нужно просто логически рассуждать и последовательно использовать условия задачи.
В конце рассуждений придем к определенному выводу, являющемуся ответом к решаемой задаче. По сути, этот метод сводится к использованию следующего приема: делаем некоторые допущения и смотрим, что при этом получается, т. е. не противоречит ли предположение условиям задачи.
Идея метода: в ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.
Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеются три утверждения.
Вадим изучает китайский. Сергей не изучает китайский. Михаил не изучает арабский.
Верно одно из этих утверждений, два ложных.
Нужно определить, какой язык изучает каждый из молодых людей.
Допустим, что верно первое утверждение: Вадим изучает китайский.
Тогда ложно второе, т. е. Сергей изучает китайский. Это противоречит условию задачи, что они изучают разные языки.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что Сергей не изучает китайский, Вадим не изучает китайский, Михаил изучает арабский. Получили противоречие: никто не изучает китайский.
Остается считать верным третье утверждение, тогда первое и второе – ложные. Сергей изучает китайский, Михаил — японский, Вадим – арабский.
Все условия задачи выполняются, противоречий нет.
Методом таких рассуждений мы легко нашли ответ к задаче.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил ‒ японский, Вадим ‒ арабский.
Задача 2. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурсе корзины из выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек?
Задача 3. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы:
- Россия ‒ «Проект не наш, проект не США»; США ‒ «Проект не России, проект Китая»; Китай ‒ «Проект не наш, проект России».
Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз ‒ неправду.
Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.
Задача 4. В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:
Дима сказал: «Моя фамилия – Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов». Антон сказал: «Мишин – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима – Тихонов, а моя фамилия – Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия – Белкин, а фамилия Гриши – Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона – Тихонов».
Какую фамилию носит каждый из друзей?
Решение логических задач методом таблиц
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений. Испытанный способ их решения – составление таблиц, называемых логическими квадратами. Элементы первого множества записываем в строках, элементы второго – в столбцы. После формирования шапки таблицы заполняются связи между объектами и их свойствами: плюсами отмечаются свойства присущие объекту, а минусами – свойства не характерные для объекта.
Задача 1. «Город мастеров». В нашем городе живут 5 друзей: Иванов, Петров, Сидорчук, Веселов и Гришин. У них разные профессии: маляр, мельник, парикмахер, почтальон, плотник. Но я точно знаю, что Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти, а Иванов и Гришин давно собираются посетить мельницу, где работает их товарищ. Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, а Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон же предпочитает бриться дома. Помогите мне установить профессию каждого из друзей.
Решение. Решая задачу, знаем, что у каждого товарища одна фамилия и одна профессия (и у всех разные).
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Строим таблицу из 5 строк и из 5 столбцов. Фамилии записываем в строки, профессии – в столбцы. Начертив таблицу (таблица 1.), разместим в ней известные запреты «-», исходя из условия задачи:
Петров и Гришин никогда не держали малярной кисти, значит Петров и Гришин не маляры Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, где работает их товарищ, значит Иванов и Гришин не мельники. Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном, значит Петров и Иванов не почтальоны. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, значит Иванов и Петров не плотники и не маляры. Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг, значит Гришин и Веселов не парикмахеры. Почтальон предпочитает бриться дома, он не ходит в парикмахерскую значит почтальон не Гришин и не Веселов.
Все условия задачи внесены. Смотрим внимательно на таблицу.
В столбце «плотник» осталась одна пустая клетка. Ставим знак «+». В столбце «Почтальон» осталась одна пустая клетка, Ставим «+» Ставим «-» в строке «Сидорчук» В столбце «маляр» осталась одна пустая клетка, ставим «+» В строке «Веселов» ставим в пустые клетки «-» В строке «Петров» одна пустая клетка, ставим «+»
Далее ответ получается автоматически из таблицы.
Источник
