Способ плоскопараллельного перемещения
Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях , параллельных между собой.
При плоскопараллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости проекций П1 все точки объекта перемещаются в горизонтальных плоскостях уровня. При этом горизонтальная проекция объекта по форме и размерам не меняется, изменяется только положение объекта относительно плоскости П1. Фронтальные проекции точек объекта перемещаются по прямым, параллельным оси проекций х.
При плоскопараллельном перемещении относительно фронтальной плоскости проекций П2 все точки объекта перемещаются во фронтальных плоскостях уровня при этом фронтальная проекция объекта по форме и размерам не меняется, изменяется только положение объекта относительно плоскости П2. Горизонтальные проекции точек объекта перемещаются по прямым, параллельным оси проекции х (рисунок 1.4.8).
Рисунок 1.4.8 – Плоско-параллельное перемещение
Рассмотрим примеры преобразования чертежа способом плоскопараллельного перемещения при графическом решении четырех основных задач.
Задача №1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.9).
Решение. Выполним плоско-параллельное перемещение прямой АВ относительно фронтальной плоскости проекций. Для того, чтобы прямая стала параллельной П2, горизонтальную проекцию (АВ) А1В1 переместим в свободное место чертежа и расположим параллельно оси х. При этом длина отрезка А1В1=А1 1 В1 1 . Фронтальные проекции точек АВ (А1В1) перемещаются соответственно по прямым α2, β2 – фронтальным проекциям горизонтальных плоскостей уровня α и β, в которых перемещаются точки А и В. Затем перпендикулярно оси х из проекций точек А1 1 и В1 1 проведем линии связи. Из проекций А2 и В2 параллельно оси х проведем линии связи до пересечения с соответствующими линиями связи в соответствии с рисунком 1.4.9. В результате построения определяется натуральная величина АВ и угол γ его наклона к горизонтальной плоскости проекций.
Рисунок 1.4.9 – Решение первой основной задачи способом плоско-параллельного перемещения
Задача №2. Преобразовать прямую общего положения в горизонтально-проецирующую прямую (рисунок 1.4.10).
Решение. Эта задача решается при помощи двух преобразований. Сначала прямую АВ преобразуем во фронтальную прямую уровня (смотри задачу №1), а затем плоскопараллельно переместим прямую АВ относительно фронтальной плоскости проекций и преобразуем в горизонтально проецирующую прямую. Для этого проекцию прямой АВ( А2 1 В2 1 ) переместим в свободное место чертежа и расположим ее перпендикулярно оси х, не изменяя ее размеров. При этом горизонтальные проекции точек отрезка прямой АВ(А1 1 В1 1 ) перемещаются по прямой θ1— горизонтальной проекции фронтальной плоскости уровня θ, в которой перемещаются точки АВ. Определим точку пересечения линий связи проекций точек А1 1 ,В1 1 и А2 1 ,В2 1 . Горизонтальная проекция преобразованной прямой проецируется в точку, т.е. прямая АВ преобразилась в горизонтально проецирующую прямую.
Рисунок 1.4.10 – Решение второй основной задачи способом плоско-параллельного перемещения
Задача №3. Преобразовать плоскость общего положения во фронтально проецирующую плоскость (Рисунок 1.4.11).
Решение. Плоскость задана треугольником ABC. В плоскости треугольника предварительно построим фронталь f(f1,f2). Заметим, если плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую, то в плоскости проводиться горизонталь h. Треугольник плоскопараллельно перемещаем таким образом, чтобы фронталь треугольника располагалась перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, то сама фронталь на эту плоскость проецируется в точку, а плоскость треугольника – в прямую, т.е. плоскость треугольника ABC станет горизонтально проецирующей. Поэтому в свободном месте чертежа фронтальную проекцию Δ ABC(A2B2C2) расположим так, чтобы фронтальная проекция фронтали (f2) располагалась перпендикулярно оси х. При этом фронтальные проекции треугольника не изменили своей формы (A2B2C2= A2 1 B2 1 C2 1 ), а горизонтальные проекции вершин Δ ABC(A1B1C1) переместились по прямым α1, β1, γ1 – горизонтальным проекциям фронтальных плоскостей уровня, проведенных через эти вершины. Фронтальная проекция Δ ABC (A1 1 B1 1 C1 1 ) будет представлять собой отрезок прямой, т.е. плоскость треугольника станет горизонтально проецирующей. При помощи этой задачи также определяется натуральная величина угла наклона φ плоскости Δ ABC к фронтальной плоскости проекций (рисунок 1.4.11).
Рисунок 1.4.11 — Решение третьей основной задачи способом плоско-параллельного перемещения
Рисунок 1.4.12 — Решение четвертой основной задачи способом плоско-параллельного перемещения
Задача №4. Преобразовать плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (рисунок 1.4.12).
Решение. Для решения этой задачи необходимо выполнить два преобразования: сначала преобразовать плоскость треугольника во фронтально проецирующую плоскость (смотри задачу №3), а затем преобразовать Δ ABC, чтобы он находился во фронтальной плоскости уровня. Для этого на свободном месте чертежа расположим горизонтальную проекцию Δ ABC(A1 1 B1 1 C1 1 ) параллельно оси х. При этом A1B1C1=A1 1 B1 1 C1 1 , а фронтальные проекции вершин треугольника будут перемещаться по соответствующим плоскостям уровня – λ2, κ2, τ2. Так как преобразованный треугольник лежит в плоскости уровня, следовательно, его фронтальная проекция после последнего преобразования, будет являться натуральной величиной Δ ABC.
Способ вращения
Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения.
Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую, параллельную плоскости проекции, то в этом способе точка описывает дугу окружности, плоскость которой также параллельна плоскости проекции. Поэтому графические и аналитические алгоритмы построения соответственных точек в этих способах не отличаются в целом. Способ вращения является, в ряде случаев, более удобным для решения задач.
Источник
Способ плоскопараллельного перемещения
Способ плоскопараллельного перемещения (переноса) имеет справедливым утверждение, которое может быть выражено в виде следующей теоремы.
При параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении.
Докажем эту теорему для случая, когда проецируемая фигура Ф плоская, и ее плоскость принадлежит плоскости уровня Ф⊂α, плоскость α║H (рисунок). В этом случае, на основании свойства 6 ортогонального проецирования горизонтальная проекция Ф` будет конгруентна самой фигуре Ф(Ф`≅Ф).
При перемещении фигуры Ф в новое положение Ф1, фигура Ф`1 будет конгруентна Ф, так как:
а) расстояние между точками фигуры не меняется;
б) в процессе перемещения фигура Ф все время остается в плоскости α.
В силу параллельности плоскостей α и H, Ф`1≅Ф1, но Ф1≅Ф, а Ф≅Ф`, следовательно Ф`1≅Ф`. Данная теорема будет справедлива и в случае, когда геометрическая фигура занимает произвольное (непараллельное) положение относительно плоскости проекции.
а) При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции H, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси x.
б) В случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной V, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси x.
Пользуясь теоремой и отмеченными свойствами, не составляет труда построить новые проекции геометрической фигуры (по заданным ее ортогональным проекциям), которые соответствуют частным положениям проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции.
[AB]- отрезок прямой а общего положения перевести в положение параллельное V. Выполняем перемещение отрезка [A`B`] на горизонтальной плоскости проекции в положение параллельное оси x [A1B1]. При таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной [AB]≅[A1B1] на основании теоремы.
Фронтальные проекции точек отрезка [A»B»] будут перемещаться в новое положение [A»1B»1] в плоскостях α и β параллельных горизонтальной плоскости проекции — по следам αV и βV.
Для перевода отрезка прямой общего положения в положение параллельное V требуется одно перемещение отрезка параллельно плоскости проекции H.
Для перевода отрезка прямой из общего положения в проецирующее, необходимо последовательно выполнить два перемещения параллельно плоскостям проекции.
Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из общего положения в проецирующее, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве, в частное положение (параллельное или перпендикулярное плоскости проекции).
В графической работе №4 используется способ плоскопараллельного перемещения для решение задачи по построению треугольной пирамиды SABC: Графическая работа 4. В графической работе №5 используется способ плоскопараллельного перемещения для решение задачи по по определению наклона ребра SC треугольной пирамиды SABC к плоскости основания ABC: Графическая работа 5. Плоскопараллельное перемещение треугольника, со всеми подробностями, смотри: Плоскопараллельное перемещение треугольника
Источник
57. Способ плоскопараллельного перемещения
Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.
На рис. 107 показан комплексный чертеж прямой АВ. Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Требуется с помощью плоскопараллельного перемещения задать ей такое положение, чтобы она была параллельна одной из плоскостей проекций, например П2. Через произвольную точку А1, проводим прямую l1 параллельную оси П2/П1, и от этой точки на прямой откладываем отрезок, равный
А1В1. Из точки А1проводим вертикальную линию связи, а из точки AT, — горизонтальную линию, на пересечении которых и будет новое положение фронтальной проекции А2‘. Аналогично проведем вертикальную линию связи из точки В1до пересечения с горизонтальной линией, проведенной из точки B2. Новое положение фронтальной проекции точки В получим на пересечении этих линий в точке В2‘.
После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину.
Применяя метод плоскопараллельного перемещения, можно решать многие задачи, связанные с определением натуральной величины отрезков, углов, плоских фигур, а также заданием им нужного положения. Однако он связан с изменением положения геометрической фигуры в пространстве. В практике же встречаются задачи, при решении которых при преобразовании комплексного чертежа удобнее оставить положение проецирующего тела неизменным, а изменить положение плоскостей проекций.
Источник
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,
5.4. Преобразование чертежа способом плоскопараллельного перемещения
Плоскопараллельным называется такое перемещение элемента, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной плоскости, которая принимается за неподвижную.
Обычно за неподвижные плоскости принимаются плоскости проекций. Перемещение производится относительно одной из них. Если одного перемещения недостаточно, то выполняется ещё одно относительно другой плоскости проекций. При плоскопараллельном перемещении геометрического элемента относительно плоскости проекций его проекция на эту плоскость меняет положение, но не меняет своей формы и размеров. Если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.
Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.
Рассмотрим прямую общего положения АВ, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Пример перемещения геометрического элемента (прямая АВ) относительно горизонтальной плоскости проекций
При плоскопараллельном перемещении прямой АВ относительно горизонтальной плоскости проекций все его точки движутся в горизонтальных плоскостях уровня (α и β). Это значит, что отрезок АВ может перемещаться в любое положение, но фронтальные проекции А2, В2 могут перемещаться только по проекциям α2 и β2 горизонтальных плоскостей уровня, линии которых одновременно служат горизонтальными линиями связи. Так как разность высот концов отрезка сохраняется, то угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций не меняется и горизонтальная проекция отрезка А1В1 может перемещаться произвольно по отношению к оси Х, сохраняя размеры и форму.
В рассматриваемом примере, отрезок АВ перемещён до положения фронтали. Горизонтальная проекция фронтали на комплексном чертеже должна быть параллельной оси проекций Х. Новая горизонтальная проекция отрезка А’1В’1 расположена правее А1В1 параллельно Х. Из точек А1 и В1 проведены вертикальные линии связи и в пересечении их с горизонтальными линиями связи отмечены новые фронтальные проекции точек А’2 и В’2. Новые проекции [А’1 В’1] → [А’2 В’2] изображают отрезок [АВ] || П2. После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину |А’2В’2| = АВ. Угол наклона (α°) прямой к П1 спроецировался на фронтальной плоскости в натуральную величину. Следовательно, первая задача на преобразование комплексного чертежа решена.
Решим аналогичную задачу относительно фронтальной плоскости проекций П2. Для этого рассмотрим прямую общего положения СD, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.9).
Рис. 5.9. Пример перемещения геометрического элемента (прямая СD) относительно фронтальной плоскости проекций
При плоскопараллельном перемещении прямой CD относительно фронтальной плоскости проекций все его точки движутся во фронтальных плоскостях уровня (γ и δ).
При этом горизонтальные проекции точек С1и D1 перемещаются по прямым (γ1 и δ1), перпендикулярным вертикальным линиям связи, а фронтальные проекции отрезка C2 D2 могут перемещаться произвольно относительно оси Х, сохраняя свою форму и размеры.
Из точки С1 проводим горизонтальную линию связи, а из точки С׳ 2, — вертикальную линию связи, на пересечении которых и будет новое положение горизонтальной проекции С’1. Аналогично проведем горизонтальную линию связи из точки D1 до пересечения с вертикальной линией связи, проведенной из точки D’2. Новое положение горизонтальной проекции точки Dполучим на пересечении этих линий в точке D’1.
После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой CD стала параллельна плоскости П1, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину, а угол наклона прямой к П2 на горизонтальной плоскости проекций тоже спроецировался в натуральную величину т.е. в результате получено ещё одно решение первой задачи на преобразование комплексного чертежа.
Решим вторую задачу на преобразование комплексного чертежа.
Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую.
Для решения такой задачи необходимо выполнить два преобразования комплексного чертежа.
Если объект (например, прямые АВ или СD) расположен относительно плоскостей проекций в общем положении (наклонен по отношению к плоскостям проекций под углами отличными от 90°), необходимо выполнить первое преобразование – переместить объект в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, т. е. решить первую задачу на преобразование, а затем выполнить второе преобразование комплексного чертежа – натуральную величину прямой расположить перпендикулярно плоскости проекций, т.е. преобразовать параллельное положение прямой относительно плоскости проекций в перпендикулярное (проецирующее).
Рассмотрим решение второй позиционной задачи на примере прямой (АВ) общего положения (рис. 5.10).
Первая ступень решения – прямую общего положения АВ переместить до положения фронтали А’1В’1. При решении необходимо помнить, что А1В1= А’1В’1. Вторая ступень решения – прямую АВ из положения фронтали переместить в положение горизонтально-проецирующей прямой А»2В»2. В этом случае при построении необходимо помнить, что А’1В’1 = А»2В»2 и горизонтально проецирующая прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а на комплексном чертеже А»2В»2 ⊥ х.
Рис. 5.10. Пример преобразования прямой общего положения
в положение горизонтально-проецирующей
При решении третьей позиционной задачи необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей.
Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения Δ(АВС) в проецирующую плоскость.
Для решения задачи выбрана плоскость общего положения, заданная двумя проекциями А1В1С1 и А2В2С2 (рис. 5.11). При решении необходимо помнить и использовать два положения:
— две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости;
— прямую линию уровня можно одним преобразованием сделать проецирующей (перпендикулярной) к одной из плоскостей проекций.
Первая ступень решения – построить во фронтальной плоскости треугольника фронтальную проекцию горизонтали h2, а затем горизонтальную проекцию горизонтали h1.
Рис. 5.11. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую
Вторая ступень решения – переместить горизонтальную проекцию плоскости треугольника таким образом, чтобы горизонтальная проекция горизонтали стала фронтально проецирующей прямой. Для этого в любом удобном для построения месте построить h’1 и на этой прямой отложить величину А’11’1=А111, На этом отрезке построить треугольник А’1В’1С’1 = А1В1С1 таким образом, чтобы обход вершин осуществлялся в одном направлении. Для чего необходимо провести дуги окружностей из точки 1’1 радиусом 1’1С’1 = 11С1, а из точки А’1, радиусом А’1С’1. В пересечении построенных дуг обозначить точку С’1, с учётом направления обхода вершин. Провести прямую 1’1С’1 и на ней отложить прямую линию С’1В’1 = С1В1. Положение вершин определено. Нужно соединить вершину А’1 с вершинами В’1 и С’1.
Третья ступень решения. По линиям связи построить фронтальную проекцию плоскости треугольника А’2В’2С’2. Для этого из точки С’1 провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи из точки С2. В пересечении горизонтальной и вертикальной линий связи получится С’2. Из точки А’1 провести вертикальную линию связи, а из А2 провести горизонтальную линию связи. В пересечении указанных линий получится А’2. Аналогичным способом построить В’2. Соединить полученные проекции точек. В результате получается фронтально проецирующая плоскость. Значит, решена третья позиционная задача.
Задача 4.Преобразовать комплексный чертеж плоскости общего положения в плоскость уровня (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Пример решения четвёртой позиционной задачи способом плоскопараллельного перемещения
Четвёртую позиционную задачу относительно плоскости общего положения нельзя решить без решения третьей позиционной задачи. Для решения четвёртой задачи необходимо выполнить два перемещения заданной плоскости относительно плоскостей проекций.
Учитывая имеющееся решение третьей задачи. Рассмотрим пример решения четвертой задачи на основе решения предыдущей (третьей) задачи. Решаем четвёртую позиционную задачу, перемещая фигуру относительно фронтальной плоскости проекций до положения плоскости треугольника А»2В»2С»2 ⊥ С’1С’2. В таком положении плоскость находится параллельно горизонтальной плоскости проекций т.е. плоскость становится плоскостью горизонтального уровня.
Горизонтальная проекция А»1В»1С»1 плоскости определяется в пересечениях вертикальных линий связи с горизонтальными. Недостатком способа плоскопараллельного перемещения является необходимость построения свободно перемещаемой проекции в новом положении. Достоинством этого способа можно считать возможность удобного размещения новых проекций на комплексном чертеже.
Источник
