Решение задач способом перемены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

1. Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
2. Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

1. Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
2. ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
3. Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

1. На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

1. Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

1. Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

1. Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
2. Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

1. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
2. На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
3. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

1. Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
2. Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
   \overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
   На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
3. Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник