Решение задач по геометрии разными способами
2. Основная часть
4. Список используемой литературы
I Введение
Сегодня можно наблюдать стремительное изменение в окружающем нас мире. Эти изменения требуют от человека новых качеств. Прежде всего обществу нужны люди, способные нестандартно мыслить, принимать самостоятельные решения, даже самые абсурдные, быть инициативны. Все это можно развивать, решая задачи на уроках математики и во внеурочное время.
Задачей называют требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других – все математические объекты (числа, геометрические фигуры). Все эти задачи могут быть стандартные и нестандартные. Мне нравится решать стандартные задачи. В учебнике «Математика» в начальной школе даются стандартные задачи как арифметические, так и геометрические. Но в большей части решаются арифметические задачи. К сожалению, на уроках отводится мало времени для решения геометрических задач. И почти все их мы решаем по слаженному алгоритму, хотя многие виды задач модно решать разными способами.
Отсюда вытекает гипотеза: если действоватьне по алгоритму, то можно найти другие способы решения геометрических задач.
Цель: найти разные способы решения геометрических задач.
Задачи: сделать анализ учебников по математике;
сгруппировать задачи геометрического характера;
решить задачи разными способами, рассуждая традиционно и
Объект: стандартные геометрические задачи с заданными величинами.
Предмет: найти способы решения геометрических задач.
Методы – практические и теоретические.
Значимость работы заключается в том, что, исследуя решения, мы найдем возможные способы. Вследствие этого будут развиваться различные типы и
виды мышления (синтез, анализ) и, затем на уроках, можно применять эти
способы к решению других геометрических задач, показать другим, что такие задачи можно решать разными способами.
II Основная часть
Проанализировав учебники начальных классов, я пришел к выводу, что только 15-20% всех задач занимают геометрические задачи. Это очень мало. Да и времени, отведенной программой курса математики в начальной школе, тоже недостаточно. Отсутствие времени не дает глубоко проанализировать, найти всевозможные способы решения геометрических задач. Поэтому я решил на практике заняться поиском, возможных для меня, способов решения геометрических задач. Сначала я сгруппировал геометрические задачи, встречающиеся в учебнике «Математика».
Все геометрические задачи можно разделить на четыре группы:
-нахождение площади (S);
-нахождение периметра (P);
-нахождение периметра прямоугольника, где неизвестна одна сторона;
— нахождение стороны прямоугольника по известному периметру;
Итак, теперь можно каждую группу проанализировать, выполняя решение.
III Описание исследовательской деятельности
Разделив задачи на группы, я начал решать, опираясь сначала на ранее изученные способы решения задач.
— Задачи на нахождение площади.
Длина прямоугольника 7 см, ширина на 3 см короче. Найти площадь.
1 способ. По формуле нахождения площади, мы знаем, что площадь прямоугольника — это произведение длины (а) на ширину (в).
По условию задачи нам известна ширина. Нам лишь сказано, что она короче длины на 3 см. Значит, нам нужно найти ширину, а поэтому из данных величин мы получим: 7 — 3 = 4 см.- ширина прямоугольника. Отсюда следует, что площадь можно найти так: S = 7 * 4 = 28 см 2 .
2 способ: Это решение нахождения площади выражением:
S = (7 – 3)* 7 = 28 см 2 .
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной известной нам и равной 7 см, значит, площадь квадрата равна:
Найдем неизвестную ширину, ведь нам известно, что она короче длины на 3 см, а значит: 7- 3 = 4 см.- данная ширина.
Но мы достроим прямоугольник, данный нам до квадрата со стороной 7 см. Значит ширина достроенной фигуры сейчас составляет 4 см и 3 см. Площадь достроенной фигуры нами части равна: 3 * 7 = 21 см 2 .
Наша искомая площадь тогда составит:
S = 49 – 21 = 28 см 2 .- что нам и следовало найти.
Из данного условия задачи, нам нужно найти ширину прямоугольника, это
значит: 7 – 3 = 4 см.- ширина.
Зная, что ширина 4 см, мы можем уменьшить наш прямоугольник до квадрата со стороной 4 см и найти его площадь.
S = 4 * 4 = 16 см 2 .
А нам дано, что длина по условию задачи равна 7 см. Если сторона нашего квадрата 4см, значит можно найти длину второго прямоугольника:
При условии нам можно найти его площадь, ведь мы знаем, что его ширина 4см, а длина 3 см, значит S = 4 * 3 =12 см 2 .
А, теперь сложив площадь квадрата и площадь прямоугольника, мы можем смело найти площадь искомой нами фигуры – прямоугольника со сторонами 4см и 7 см
S = 16 см 2 +12 см 2 = 28 см 2
У данного вида задач я сумел найти четыре способа решения.
Задачи на нахождение периметра (Р).
Дан квадрат со стороной 5 см. Найти периметр этого квадрата.
1 способ: Нам известно, что периметр- это сумма длин всех сторон. Из этого следует, что Р=5 + 5 + 5 + 5 = 20 см.
2 способ: Периметр – сумма длин всех сторон, а значит, можно записать и так: сложив две стороны вместе и умножив на 2, т.к все стороны равны 5 см.
Р = (5 + 5) *2 = 20 см.
3 способ: Мы знаем, что у квадрата все стороны равны, их всего четыре. И нам известно, что сторона квадрата равна 5 см. Это значит, что
4 способ:А можно использовать и такой способ: ширину умножаем на 2 ( т.к две ширины в нашем квадрате) и длину тоже умножаем на 2, т.к квадрат это четырехугольник , у которого4 стороны, таким образом
Р = 5 * 2 + 5 * 2 = 20 см
5 способ: У квадрата все стороны одинаковые и равны 5 см. Мы можем
использовать и такой метод нахождения периметра: умножив сторону квадрата на три его стороны и прибавив еще одну сторону. Это будет выглядеть так: Р = (5 * 3) + 5 = 20 см.
Вот таким образом мы можем находить периметр квадрата, выбирая любой из пяти способов, которые я нашел.
Задачи на нахождение периметра прямоугольника, где одна из сторон неизвестна.
Допустим, нам дано условие: ширина прямоугольника 8 см, длина на 2 см больше. Найти периметр этого прямоугольника.
1 способ: По условию задачи нам известно ширина 8 см, а длина больше на 2 см. Из этого нам понятно, что нужно найти длину. Если сказано, что она на 2 см больше, это значит: 8 +2 = 10 см.- длина прямоугольника. По известной формуле нахождения периметра прямоугольника Р = (а + в)*2
Мы можем найти периметр, т.к знаем ширину и длину данного нам прямоугольника Р = (8 + 10 )* 2 = 36 см.
2 способ: Нам дан прямоугольник, у которого 4 стороны и одна из них равна 8 см, другая на 2 см больше. Значит: 8 + 2 = 10 см- длина прямоугольника.
Сейчас нам известно, что ширина равна 8 см, длина 10 см. В прямоугольнике 4 стороны, две из них равны 8 см, две другие 10 см. Значит,
Р = 8 + 8 + 10 + 10 = 36 см.
3 способ: Мы можем смело заменить 2 способ решения нашей задачи умножив ширину на число 2( т.к. две ширины у прямоугольника) и длину на 2 (т.к две стороны у прямоугольника).
Р = 8 *2 + 10 * 2 = 36 см.
4 способ: А можно найти периметр этого прямоугольника и другим способом:
Р = ( 8 + 10 ) + ( 8 + 10 ) = 36 см, т.е.прибавив ширину и длину прямоугольника дважды. Так можно находить периметр прямоугольника с одной неизвестной стороной.
Задачи на нахождение стороны прямоугольника по известному периметру.
Допустим, нам известен периметр. Он равен 24 см, найти длину, если ширина равна 5 см.
1 способ: Если периметр равен 24 см, ширина 5см, найдем длину. Мы знаем, что периметр равен сумме длин всех сторон, а это значит:
В эту формулу подставляем известные величины:
24 : 2 – 5 = 7 см- длина прямоугольника
2 способ: Эту задачу можно решить уравнением. Мы знаем ширину и значение периметра. Зная формулу нахождения периметра Р = ( а + в ) * 2. Значение длины заменим х, тогда получим:
х = 7 см — искомая длина прямоугольника.
3 способ: Зная, что ширина прямоугольника равна 5 см, мы можем умножить это значение на 2, потому что у прямоугольника 2 стороны одинаковые.
5 * 2 = 10 см – сумма длин 2 сторон.
А зная, что периметр равен 24 см 2 , можно найти сумму длин двух других сторон. 24-10=14см
А теперь 14 см поделим на 2 (т.к 2другие стороны одинаковы) Длина прямоугольника равна 7см.
4 способ:Зная периметр прямоугольника и одну его ширину, мы можем выяснить, сколько сантиметров приходится на 3 другие стороны. Зная формулу нахождения периметра – сумма длин всех сторон, мы можем составить выражение:
24 – 5 = 19 см – приходится на три остальные стороны. Но в прямоугольнике 2 равные длины. Это значит из оставшейся суммы нам надо вычесть еще 5 см и получим:
19 – 5 = 14 см – приходится на 2 другие стороны. И они между собой тоже равны. Получим: 14 : 2 = 7 см – длина прямоугольника.
IV Заключение
Проделав практическое исследование, я нашел кроме известных способов решения геометрических задач, с которыми нас знакомят на уроках математики, 4 , а иногда и 5 способов решения. Значит, геометрические задачи можно решать разными способами, подходя к ним творчески и нестандартно. Конечно, для этого нужно время, но если заниматься этим постоянно и систематически, то поиск способов будет проходить быстрее.
Наше предположение по решению геометрических задач разными способами доказано. Решением геометрических задач можно заниматься и в свободное от уроков время и в любой обстановке. Способы решения можно применять к другим задачам данного вида. Это полезная работа. Она приводит к развитию личностных качеств, развитию мышления, помогает углублению знаний в курсе математики и творчески подходить к решению задач.
Список используемой литературы
1. Беденко М.В. Сборник текстовых задач по математике для 1-4 кл.- М.: ВАКО, 2006 г.- 272 с.- (Мастерская учителя).
2. Изучение трудных тем по математике в 1-3 классах: Из опыта работы учителей г. Москвы (Составила Н.Г.Уткина)- М.Просвещение, 1982-159с.
4.Истомина М.Б. Математика. 3 класс: Учебник для четырехлетней начальной школы.- Смоленск: «Ассоциация 21 век», 2000.- 176 с.
5. Истомина Н.Б. Тетрадь по математике «Учимся решать задачи», 3 класс, М., Линка –Пресс, 2014 г.
6. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе.- Волгоград: Панорама, 2006-112 с.
Источник
Методы решения геометрических задач.
Методы решения геометрических задач
Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников и учителей к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающих мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.
Количество геометрических задач, встречающихся в контрольно-измерительных материалах (КИМ) единого экзамена, невелико. Их доля составляет не более 13 % от общего числа задач (3-4 задания). Однако умение решать такие задачи может оказаться решающим аргументом при поступлении в престижные или популярные вузы.
Анализируя результаты решения абитуриентами геометрических задач на вступительных испытаниях по математике, видим печальную статистику: с задачами по геометрии справляются не более 10 % поступающих, решают неправильно – около 30 %, а порядка 60 % абитуриентов полностью игнорируют такие задачи.
Приступая к решению задач по геометрии, учащиеся сталкиваются с целым рядом трудностей, которые одним не дают получить верный ответ, а другим – даже просто начать решение. В чем причины? Они связаны не только с пробелами в знании предмета, но и с отсутствием у учащегося серьезного опыта в решении многослойных геометрических задач. Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, полагая заранее, что задачи очень трудные, не берется за их решение.
Если для большинства задач по алгебре и началам анализа существуют шаблонные подходы и алгоритмы решений, то в геометрии такого нет. Решение почти каждой геометрической задачи – это маленькая исследовательская работа. Чтобы с ней справиться, ученик должен иметь солидный опыт такого рода деятельности. И тут мы сталкиваемся с противоречием – опыт должен быть большой, а часов на изучение геометрии в школьном курсе отводится мало. Частичный выход из этого положения видится в использовании времени, отведенного в средней школе на повторение всего курса геометрии, исключительно для решения геометрических задач, взятых из вариантов ЕГЭ и ГИ
Трудности решения геометрических задач обусловлены как объективными, так и субъективными факторами, среди которых
Необходимость выбора метода решения задачи и теоремы для решения конкретной задачи (нескольких теорем) из большого набора известных фактов
Нужно решить довольно много задач, чтобы научиться их решать
Причины ошибок в решении геометрических задач
Незнание и/или непонимание аксиом, определений, теорем;
неумение их применять
невнимательное чтение условия и вопроса задания;
нарушения логики в рассуждениях; принятие ошибочных гипотез;
недостатки в работе с рисунком
При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:
геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;
алгебраический – когда искомая геометрическая величина
вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;
комбинированный – когда на одних этапах
решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.
Метод дополнительного построения
Метод введения вспомогательного неизвестного
Метод «вспомогательных объёмов»
Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит,
естественно, от знания теорем и умения их применять.
Метод дополнительного построения
Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над
чертежом. При этом иногда на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на
котором изображено только условие) трудно заметить связи между данными и
искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.
Две фигуры F и F 1 называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием
подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются
(увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.
Признаки подобия треугольников:
1) Если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами равны;
3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
Метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть
применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач состоит в
следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же
искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.
Метод введения вспомогательного неизвестного
Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи составляют
уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных аргументов
удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи дают
набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.
В математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя
способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для нее
выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой
фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем синус
какого-либо угла α, то при помощи соотношения из полученного равенства
можно получить некоторое неравенство, порой интересное.
Метод «вспомогательных объёмов»
Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении
углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во
многих случаях оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается
в том, что объём некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из
полученных равенств выражается искомая величина. Причём в этом методе
нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки,
что во многих случаях оказывается очень затруднительным.
Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.
Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для
применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они
позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о
расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от
векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности
разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом
разных способов. И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат,
можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в
которой задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем,
отличные от прямоугольных.
1.Косоугольные (аффинные) координаты.
Рассмотрим самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на плоскость).
Источник
