Решение задач по геометрии алгебраическим способом

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.

Метод дополнительного построения

Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на котором изображено только условие) трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.

Две фигуры F и F ₁ называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.

Признаки подобия треугольников:

1) Если два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2) Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами равны;

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.

Метод введения вспомогательного неизвестного

Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи составляют уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных аргументов удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.

В математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для нее выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем синус какого-либо угла α, то при помощи соотношения из полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное.

Метод «вспомогательных объёмов»

Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается в том, что объём некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из полученных равенств выражается искомая величина. Причём в этом методе нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях оказывается очень затруднительным.

Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.

Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем, отличные от прямоугольных.

1.Косоугольные (аффинные) координаты.

Рассмотрим самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на плоскость).

Источник

Проект «Решение геометрических задач алгебраическим методом» (9 класс)

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ брошюра Шаталова.docx

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 28″ г.Курска

геометрических задач алгебраическим методом

При подготовке к экзамену по математике большинство задач по планиметрии не решается с помощью строгих алгоритмов, практически любая геометрическая задача требует своего подхода. Искусство решать задачи основывается на хорошем знании теории, на знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения.

Эти методы обладают некоторыми особенностями:

· трудность формального описания, взаимозаменяемость,

· отсутствие чётких границ области использования.

При решении геометрических задач используются три основных метода:

· геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;

· алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

· комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие цели и задачи.

· научиться выбирать наиболее удобный способ для индивидуального мышления,

· поиск рациональных методов решения геометрических задач из раздела планиметрии,

· изучить алгебраический метод решения геометрических задач,

· практическое применение изученного метода в решении геометрических задач.

· классифицировать свойства планиметрических фигур;

· изучить разнообразные методы, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач;

· выбрать наиболее удобный для меня метод решения задач;

· выявить, при решении каких задач алгебраический метод является наиболее эффективным.

Объект исследования — геометрические задачи из раздела «Планиметрия».

Геометрия – наиболее уязвимое для многих звено школьной математики. Решение геометрических задач вызывает трудности. Это связано как с обилием различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач. И 2 урока в неделю недостаточно, чтобы глубоко разобраться в различных методах решения геометрических задач. Поэтому есть смысл дополнительно заняться геометрией для лучшего осмысления подходов к задачам по геометрии. Данную тема интересна, потому что имеет прикладной характер. Думаю, эта работа пригодится для подготовки к экзаменам и успешному результату на ОГЭ по математике.

Искусство решать задачи основывается на хорошем знании теории, на знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения.

Математики и психологи по разному проводят классификацию методов. Так, основными методами решения геометрических задач, В.А. Гусев и В.Н. Литвиненко считают следующие три метода: геометрический, алгебраический и комбинированный:

• геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;

• алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

• комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Алгебраический метод состоит в том, что задачу формулируют так, чтобы в качестве данных и искомых фигур были отрезки. Далее, используя теоремы о свойствах фигур, выражают искомый отрезок через формулы и по этим формулам находят заданный отрезок. Наиболее распространенным путем получения уравнения является выражение какой-либо величины двумя независимыми способами. Выделяют следующие виды алгебраического метода:

• поэтапно-вычислительный (прямой счет);

• составление уравнений или систем уравнений;

• применение тригонометрии к решению геометрических задач.

Метод прямого счета или поэтапно-вычислительный метод состоит в поэтапном нахождении ряда промежуточных величин, с помощью которых находят затем и искомую величину.

Метод применения тригонометрии к решению геометрических задач состоит в составлении формулы, выражающей зависимость искомых отрезков (или углов) от данных отрезков (или углов), только формула эта содержит кроме отрезков тригонометрические функции углов.

«Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям», — писал Д. Пойа. Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит от метода, знания теорем и умения их применять. Проанализировав различные методы решения задач, для этого проекта выбраны среди экзаменационных задач в ОГЭ задачи на «алгебру в геометрии» и в данном разделе показаны некоторые наработки по данной теме.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на 2 части, отношение площадей которых равно 5:11. Найдите длины оснований трапеции.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Эта задача была предложена в демоверсии ОГЭ 2020 по математике. В интернете в разборе демоверсии дан иной способ решения. Попробуем применить алгебраический метод. Вот, что получилось.

Дана равнобедренная трапеция АВС D . По данным рисунка найдите величину В и D .

Найдите углы треугольника, если известно, что их величины пропорциональны числам 2:3:5 .

Найдите углы треугольника АВС, если известно, что один из них в 2 раза больше другого и на 20 ° больше третьего.

Задача № 7

Длины сторон произвольного треугольника 13см, 14см, 15см. Найдите высоту, проведенную к стороне длиной 14 см.

В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане А D , причем ВЕ = А D = 4. Найдите стороны треугольника АВС.

В решении данной задачи необходим комбинированный метод решения, так как некоторые факты об искомых величинах не столь очевидны, как хотелось бы.

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что АМ : МВ = 5 : 3 и BN : NC = 2 : 7. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника MNB равна 11.

В задаче целесообразно использовать метод введения вспомогательного неизвестного и метод применения тригонометрии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлен алгебраический метод решения геометрических задач. Использование знаний, выбор метода решения является творческой работой, при которой действенно учишься применять теорию на практике. Чтобы найти рациональный метод решения задачи, нужно хорошо знать методы, тогда легче ориентироваться в их выборе.

Основным методом решения многих геометрических задач в условиях экзамена является аналитический метод, применение которого было отработано на уроках алгебры при изучении тем «Отношения и пропорции», «Решение задач с помощью уравнений и их систем». Так как по алгебре в обычной школе вдвое больше уроков, чем по геометрии, эти темы усвоены достаточно хорошо и можно их с уверенностью применять в новых условиях при решении задач геометрического содержания. Тем не менее, важно владеть геометрическими приемами, уметь находить наиболее простое и красивое решение, рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи.

Решение задач разными способами формирует логическое мышление, развивает интуицию, систематизирует знания, расширяет общеобразовательный кругозор, накапливает полезный опыт. Разбор задач, допускающих различные решения, – увлекательное занятие, требующее знания всех разделов школьной математики. Выбранный исследовательский метод позволяет заглянуть за пределы школьного учебника, провести поиск интересных задач. Данный материал можно использовать на уроках геометрии при повторении и обобщении знаний для подготовки к экзаменам, а также на внеурочных занятиях по математике.

Благодаря такой работе, исчезает психологический барьер перед предметом «геометрия». Зная, что задача может быть решена разными способами, можно смелее браться за ее решение. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретается некоторый опыт, что позволит лучше сдать экзамен по математике.

1. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся 9 – 10 кл. — М.: Просвещение, 1979.

2. Леонтьев А. Н. Опыт экспериментального исследования. Доклад на совещании по вопросам психологии — М., 1954

3. Пойа Д. Как решать задачу – М., 1961.

4. Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора — М.: УНЦ ДО МГУ, 1998.

5. И.Н. Сергеев, В.С. Панферов. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С «Закрытый сегмент» – М. : Издательство «Экзамен», 2013.

6. О.Е. Креславская, В.В. Крылов, В.И. Снегурова, В.Е. Ярмолюк. ЕГЭ – 2009. Математика: Сдаем без проблем! – М.: Эксмо, 2009.

7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2018г.

8. ОГЭ Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В Ященко – М.: «Национальное образование», 2020.

9. Ресурсы сети Интернет

Определения геометрических фигур, теоремы, формулы, используемые для решения предложенных задач.

Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками.

Медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Свойство биссектрисы треугольника : биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Равные треугольники — треугольники, у которых равны соответственно углы и стороны.

Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу): если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Первый признак подобия (по двум углам): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Равнобедренная(равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Свойство средней линии трапеции : средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Выбранный для просмотра документ паспорт проекта Шаталова.docx

Решение геометрических задач алгебраическим способом

Научиться решать геометрические задачи

1) Классифицировать свойства планиметрических фигур;

2) изучить разнообразные методы, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач;

3) выбрать наиболее удобный для меня метод решения задач;

4) выявить, при решении каких задач алгебраический метод является наиболее эффективным.

Данный проект позволяет мне расширить границы своего кругозора, увидеть многообразие методов в решении геометрических задач, научиться использовать выбранный мною способ решения. Работа с проектом способствует развитию познавательных навыков.

Проект направлен на изучение методов решения в геометрических задачах, а именно – аналитического. Целью этого проекта является развитие умения решать геометрические задачи алгебраическим способом. Актуальность данной темы заключается в том, что при подготовке к экзамену по математике большинство задач по планиметрии не решается с помощью строгих алгоритмов, практически любая геометрическая задача требует своего подхода. И очень важно найти тот метод, который подходит именно мне.

Узнавать по содержанию геометрические задачи, решаемые алгебраическим методом и успешно применять данный метод в своей работе на уроках математики.

Брошюра с решением задач для подготовки к экзаменам, презентация.

программы Microsoft office word 2007, power point

Перспективы дальнейшего развития проекта

Возможность применения алгебраического метода в дальнейшем изучении геометрии на уроках, на ОГЭ, ЕГЭ, в ВУЗе .

Шаталова Виолетта Сергеевна; 9А

Кутахина Вера Владимировна; учитель математики

Выбранный для просмотра документ проект Шаталова.docx

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 28″ г.Курска

Предметная область: математика

«Решение геометрических задач алгебраическим методом»

Тип проекта: исследовательский

Работа допущена к защите:

«____» ____________ 202__ г.

Шаталова Виолетта Сергеевна

Кутахина Вера Владимировна
учитель математики

В ВЕДЕНИЕ

Эти методы обладают некоторыми особенностями:

· трудность формального описания, взаимозаменяемость,

· отсутствие чётких границ области использования.

При решении геометрических задач используются три основных метода:

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие цели и задачи.

· научиться выбирать наиболее удобный способ для индивидуального мышления,

· поиск рациональных методов решения геометрических задач из раздела планиметрии,

· изучить алгебраический метод решения геометрических задач,

· практическое применение изученного метода в решении геометрических задач.

· классифицировать свойства планиметрических фигур;

· выбрать наиболее удобный для меня метод решения задач;

· выявить, при решении каких задач алгебраический метод является наиболее эффективным.

Объект исследования — геометрические задачи из раздела «Планиметрия».

В теоретической части работы проанализированы методы решения задач.

В исследовательской части работы показано применение алгебраического метода для решения 8 задач, в том числе задач из сборников и интернет сайтов для подготовки к ОГЭ.

· представление результатов исследования в продукте проекта.

Геометрия – наиболее уязвимое для меня звено школьной математики. Решение геометрических задач вызывает иногда у меня трудности. Это связано как с обилием различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач. И 2 урока в неделю для меня недостаточно, чтобы глубоко разобраться в различных методах решения геометрических задач. Поэтому я захотела дополнительно заняться геометрией для лучшего осмысления подходов к задачам по геометрии. Данную тему считаю интересной, потому что она имеет прикладной характер. Думаю, мне эта работа пригодится для подготовки к экзаменам и успешному результату на ОГЭ по математике.

Я поняла, что искусство решать задачи основывается на хорошем знании теории, на знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения.

Проанализировав литературу, я узнала, что математики и психологи по разному проводят классификацию методов. Так, основными методами решения геометрических задач, В.А. Гусев и В.Н. Литвиненко считают следующие три метода: геометрический, алгебраический и комбинированный:

После классификации экзаменационных задач, я проанализировала, какие методы решения задач я знаю и применяю чаще всего. Оказалось, что наиболее понятен мне алгебраический метод.

• поэтапно-вычислительный (прямой счет);

• составление уравнений или систем уравнений;

• применение тригонометрии к решению геометрических задач.

«Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям», — писал Д. Пойа. Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит от метода, знания теорем и умения их применять. Проанализировав различные методы решения задач, для этого проекта я выбрала среди экзаменационных задач в ОГЭ задачи на «алгебру в геометрии» и в данном разделе покажу свои некоторые наработки.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Для решения задачи мне помог метод введения неизвестной величины.

В решении этой задачи уместно использовать для решения уже две неизвестных и, как следствие, систему уравнений.

Эта задача была предложена в демоверсии ОГЭ 2020 по математике. В интернете в разборе демоверсии дан иной способ решения. Я применила мой «любимый» алгебраический метод.

Дана равнобедренная трапеция АВС D . По данным рисунка найдите величину В и D .

Задача на применение свойств трапеции. Алгебраический способ очень помогает в решении подобных задач.

Найдите углы треугольника, если известно, что их величины пропорциональны числам 2:3:5 .

Это классическая задача на сумму углов треугольника. В решении достаточно простая. Тем не менее, я её решила включить в свой проект, так как задачи на отношения величин встречаются во всех темах планиметрии.

Найдите углы треугольника АВС, если известно, что один из них в 2 раза больше другого и на 20 ° больше третьего.

Это также базовая задача. Метод решения с помощью уравнения универсальный для решения задач подобного содержания.

Задача № 7

Длины сторон произвольного треугольника 13см, 14см, 15см. Найдите высоту, проведенную к стороне длиной 14 см.

Теорема Пифагора и умение решать системы уравнений — это всё, что нужно для получения результата к задаче из сборника для подготовки к ОГЭ.

В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане А D , причем ВЕ = А D = 4. Найдите стороны треугольника АВС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным методом решения многих геометрических задач в условиях экзамена является аналитический метод, применение которого было отработано на уроках алгебры при изучении тем «Отношения и пропорции», «Решение задач с помощью уравнений и их систем». Так как по алгебре в нашей школе вдвое больше уроков, чем по геометрии, эти темы я усвоила достаточно хорошо и могу с уверенностью применять в новых условиях при решении задач геометрического содержания. Тем не менее, важно владеть геометрическими приемами, уметь находить наиболее простое и красивое решение.

Я постаралась овладеть основными методами решения задач, рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи.

Решение задач разными способами мне помогло формировать логическое мышление, развивать интуицию, систематизировать знания, расширять общеобразовательный кругозор, накапливать полезный опыт. Разбор задач, допускающих различные решения, – увлекательное занятие, требующее знания всех разделов школьной математики. Выбранный мною исследовательский метод позволил заглянуть за пределы школьного учебника, провести поиск интересных задач. Данный материал можно использовать на уроках геометрии при повторении и обобщении знаний для подготовки к экзаменам, а также на внеурочных занятиях по математике.

Благодаря такой работе, у меня исчез психологический барьер перед предметом «геометрия». Зная, что задача может быть решена разными способами, можно смелее браться за ее решение. Постепенно, решая задачу за задачей, я приобрела некоторый опыт, что позволит мне лучше сдать экзамен по математике.

Продукт своего исследования я решила оформить в виде брошюры с решением задач для подготовки к экзаменам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ

2. Леонтьев А. Н. Опыт экспериментального исследования. Доклад на совещании по вопросам психологии — М., 1954

3. Пойа Д. Как решать задачу – М., 1961.

4. Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора — М.: УНЦ ДО МГУ, 1998.

9. Ресурсы сети Интернет

Определения геометрических фигур, теоремы, формулы, используемые для решения задач в данной работе.

Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками.

Медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Равные треугольники — треугольники, у которых равны соответственно углы и стороны.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Равнобедренная(равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Источник

Решение задач по геометрии алгебраическим способом