Решение задач егэ координатным способом

Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):

Куб: Очевидно, что координаты точки \(A\) в начале координат — \((0;0;0)\). т. \(B\) — \((4;0;0)\), т. \(G\) — \((4;4;4)\) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Давайте рассмотрим правильную пирамиду \(ABCD\):

У \(т. A\) координаты \((0;0;0)\), потому что она лежит в начале координат.

Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.

Координату \(y\) точки \(С\) тоже получаем, опустив перпендикуляр \(CF\) на ось \(OY\). Координата \(y\) \(т.С\) будет равна длине отрезка \(AF=CE\). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника \(AFC\): $$ ^2=^2+^2,$$ $$ 4^2=2^2+^2,$$ $$ CE=\sqrt<12>. $$ Координата \(z\) точки \(C\), очевидно, равна \(0\), потому что \(т.С\) лежит в плоскости \(XOY\). $$ C (2;\sqrt<12>; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды (\(т.D\)). (Рис. 3) Координаты \(X\) и \(Y\) у точки \(D\) совпадают с координатами \(X\) и \(Y\) у точки \(H\). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок \(EH=\frac<1><3>*CE=\frac<1><3>*\sqrt<12>\) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как \(\frac<1><3>\)) и равен координате точки \(D\) по \(Y\). Длина отрезка \(IH=2\) будет равна координате точки \(D\) по \(X\). А координата по оси \(Z\) равна высоте пирамиде: $$ ^2=^2+^2, $$ $$ =\sqrt<4^2-<\frac<2><3>*AF>^2>, $$ $$ =\frac<32><3>. $$ $$ D (2, \frac<1><3>*\sqrt<12>, \frac<32><3>). $$

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора \(\vec\) можно определить по формуле: $$ \vec=. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a=;$$ $$ b=; $$ тогда угол \(\alpha\) между ними находится по формуле: $$ \cos<\alpha>=\frac<\sqrt<^2+^2+^2>*\sqrt<^2+^2+^2>>. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где \(A,B,C,D\) – какие-то числа.

Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$\begin A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \\ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.\end$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);\,P(0;1;0);\,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости \(D=1\): $$\begin A*1+B*2+C*3+1=0,\\ A*0+B*1+C*0+1=0, \\ A*1+B*1+C*1+1=0.\end$$ $$\begin A+2*B+3*C+1=0,\\ B+1=0, \\ A+B+C+1=0.\end$$ $$\begin A-2+3*C+1=0,\\ B=-1, \\ A=-C.\end$$ $$\begin A=-0.5,\\ B=-1, \\ C=0.5.\end$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки \(M(x_M;y_M;z_M)\), легко найти расстояние до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0:\) $$ \rho=\frac<|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|><\sqrt>. $$

Найдите расстояние от т. \(H (1;2;0)\) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-\sqrt<2>*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,\,B=3,\,C=-\sqrt<2>,\,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ \rho=\frac<|2*1+3*2-\sqrt<2>*0+4|><\sqrt<2^2+3^2+<-\sqrt<2>>^2>>. $$ $$ \rho=\frac<12><\sqrt<16>>=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма \(ABCFDE\), ребра которой равны 2. Точка \(G\) — середина ребра \(CE\).

• Докажите, что прямые \(AD\) и \(BG\) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(BG\).

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

Сборник «Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом»

Серия «Школьник — школьнику»

Решение заданий №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

С помощью данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление углов и расстояний в стереометрии с помощью координатно-векторного метода. Для учеников 10-11 классов самой главной проблемой является подготовка к ЕГЭ. Причем не все ученики уверенно решают задания II части , а некоторые и не берутся за их решение.

Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Выражаю огромную благодарность своим ученикам 11 класса 2016 – 2017 учебного года: Комаровой Ангелине, Тарбаеву Наилю, Бекмурзаеву Тимуру, Утегеновой Аимгуль, Абылхатаевой Карине, Кункашевой Арине, Юсуповой Аделине, Успанову Гелиму , которые сыграли большую роль в создании данного методического сборника

Если у вас имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если вам никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца.

Данный курс не претендует на научность, а является небольшим методическим пособием при подготовке к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена. Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-измерительных материалах.

Метод координат — это довольно несложный способ, но в настоящих задачах №14 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Метод координат —эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Данный метод заключается во введении декартовой системы координат, а затем – нахождение образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

— Выбираем в пространстве систему координат

— Находим координаты необходимых, по условию задачи, точек.

— Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

— Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим, что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

z

0 у

Для того чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

, где

2. Нахождение координат середины отрезка

A ( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), B ( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ )

3. Нахождение косинуса угла между векторами

, где

4. Координаты x, y, z точки М , которая делит отрезок , ограниченный точками А(х ₁ , у ₁ , z ₁ ) и B ( x ₂ ,y ₂ , z ₂ ), в отношении , определяется по формулам

5. Расстояние от точки до плоскости

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников, помещенных в систему координат.

Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

Начало координат — в точке A;

Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;

Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA ₁ .

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень удобно и логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

И для верхней: Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B ₁ = (1; 0; 1).

Координаты правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах №14 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба.

Вводим систему координат:

Начало координат — в точке A;

Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA ₁ , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C ₁ . У них есть иррациональные координаты, и для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты надо просто запомнить. Или можно вывести.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Шестиугольная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Нужно обратить внимание на то, что начало координат не совпадает с вершиной многогранника. На самом деле, при решении настоящих задач выясняется, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Осталось добавить ось z. Проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Ниже представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса, составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

§2 Практическая часть

Ниже представлены задачи:

— на нахождение угла между прямыми;

— угла между прямой и плоскостью;

— угла между плоскостями;

— расстояния от точки до прямой;

— расстояния от точки до плоскости.

Эти задачи решили мои ученики 11 класса

Вариант 13. Задача №14 по сборнику Ф.Ф.Лысенко

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ , ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка BC ₁ . Найдите расстояние между прямыми А ₁ В и АМ.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2016

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой C ₁ F _.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2017

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Найдите расстояние от точки B ₁ до плоскости AD ₁ C , если АВ равно 5, АА ₁ равно 6.

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все рёбра равны 4.

а) Докажите, что угол между прямыми А D ₁ и DC ₁ равен 90 0 .

б) Найдите угол между плоскостями FAC ₁ и AA ₁ D .

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

Мы изучили метод координат на более высоком уровне по сравнению со школьной программой по геометрии. Познакомились и научились применять новые формулы: на нахождение расстояния от точки до плоскости, от точки до прямой, угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями. Мы узнали, что для составления уравнения плоскости можно использовать матрицу и определитель третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Мы пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков. Мы убеждены в том, что координатно-векторный метод в школьном курсе геометрии необходимо изучать на глубоком уровне и увеличить количество часов на изучение данной темы.

Нами подобраны задания из сборников ФИПИ 2016г и 2017г, которые мы самостоятельно решили и которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно подготовиться к сдаче экзамена.

Мы надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решать задание №14 и достичь более высоких результатов на ЕГЭ по математике

ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

ru . wikipedia . org – Система координат.

Смирнова, И.М. C 50 Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 158, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.: ил.

Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения . МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) « Многогранники: виды задач и методы их решения » www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г, « Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru

В.В. Леваков «Решение задач координатно-векторным методом»

Источник