Метод Гаусса-Жордана. Как найти обратную матрицу
с помощью элементарных преобразований?
Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе.
Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица 
. В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки 
, и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.
На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: 
, причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жордан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ 
с помощью дополнительных элементарных преобразований?
…да, такое бывает только по любви =)
Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жордана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:
Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя.
Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Не мудрствуя лукаво:
Решить систему методом Гаусса-Жордана 
Решение: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду: 
Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: 
,
а потом ещё один ноль вот здесь: 
.
Идеальный с точки зрения простоты случай: 
(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.
(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы: 
Ответ: 
Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.
Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана. 
Решение: первая часть задания хорошо знакома: 
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.
(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.
(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7
(4) Третью строку разделили на 2.
Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду 
.
Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:
Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа, и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:
(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:
(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.
(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.
(8) К первой строке прибавили вторую.
(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система: 
Элементарно выражаем базисные переменные через свободную: 
Ответ: общее решение: 
В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.
И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением.
Для самостоятельного решения:
Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований 
Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду 
с базисными переменными 
. Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные. Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду 
(базисные переменные 
), или к виду 
(базисные переменные 
), или даже к виду 
с базисными переменными 
. Существуют и другие варианты.
Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде 
. Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.
Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь ни при чём!
Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду 
с базисными переменными 
. Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений, причём там выбран другой базис.
Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:
Как найти обратную матрицу методом Гаусса?
Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы 
для квадратной матрицы 
мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.
Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу 
в тандеме с единичной матрицей: 
. Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:
(Понятно, что обратная матрица должна существовать)
Найдём обратную матрицу для матрицы 
с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»: 
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(2) К первой строке прибавили вторую строку.
(3) Вторую строку разделили на –2.
Ответ: 
Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:
Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований 
Решение: присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса: 
(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу 
слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица 
(вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет). Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1). Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.
(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1
Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.
К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.
(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:
(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.
(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.
(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.
(8) К первой строке прибавили вторую строку.
(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.
(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.
(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!
Таким образом, обратная матрица: 
Внесение и вынесение 
-й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.
Ответ: 
Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице.
Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана. 
Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных.
Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: 
.
На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: 
. Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».
И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: 
.
Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах.
Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей mathprofi.ru:
Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований 
Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел), я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.
И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:
(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные 
через свободные переменные 
: 
Ответ: общее решение: 
Пример 6: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований: 
(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку. 
(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате: 
Ответ: 
Пример 7: Решение: найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2: 
(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник
