Решение уравнений с модулем геометрическим способом

Геометрическая интерпетация при решении уравнений, содержащих знак модуля
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Материал данного урока содержит «нестандартный» метод, который позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8-10 классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях

Скачать:

Вложение	Размер
geometricheskaya_interpretaciya_pri_reshenii_uravneniy_soderzhashchih_znak_modulya.pptx	340.74 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема урока: Геометрическая интерпретация при решении уравнений, содержащих знак модуля МОУ « Осташевская средняя общеобразовательная школа», учитель математики Качайкина Н.Б.

Основные понятия Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А( а ) . Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5. Число 6 называют модулем числа -6 . Пишут: |-6| = 6. Модуль числа не может быть отрицательным. Противоположные числа имеют равные модули: | -а | = | а |

Расстояние между двумя точками На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. ВС = 5 – 1 = 4; АС = 5 – (- 2 ) = 7; AD = — 2 – (- 4) = 2 0 -4 — 2 5 1 D A B C

М о д у л ь и расстояние между двумя точками 8 -4 3 -9 -3 5 CD = — 4 – 5 = 5 – (- 4 ) = 9 AB = 3 – 8 = 8 – 3 = 5 MN = — 9 – (- 3 ) = — 3 – (- 9 ) = 6 M N C D A B Формула расстояния между двумя точками координатной прямой с координатами х и а : ρ ( x,a ) = |x — a|

Решите уравнения: | х-2 | = 3, | 3х+6| = 4, | х-3 | + | х-1 | = 5, | х+4| + | х-5| = 9, | 2х-3| + | 2х+3| = 6, | х+5| — | х-8 | = 13, | х+4| — | х-3 | = 1, | 3х-8| — | 3х-2| = 6. | х+7| = | х-5 |

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а ? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а ? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | -| х-1 | = а, при положительных значениях а ?

Число решений уравнения вида: Ι х – a Ι + Ι х – в Ι = с Если сумма модулей с больше расстояния между двумя точками а и в , то уравнение имеет два решения. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений , которые принадлежат отрезку между точками [ a ; в ] . Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей , то решений нет.

Домашняя работа Исследовать уравнения и определить число корней в зависимости от значения а : | х – 4 | — | х +2 | = а, | х+1 | — | х — 6 | = а, | х – 3 | — | х — 8 | = а. С п а с и б о за в н и м а н и е.

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а ? Ответ: а) Если а=0 , то уравнение имеет одно решение; б) Если а >0 , то уравнение имеет 2 корня, в) Если а 4 , то уравнение имеет 2 корня, в) Если а 4 , то уравнение не имеет решений.

Решение уравнения |х — 2|=3 Решить уравнение : х – 2 = 3, значит найти на координатной прямой такие точки х , которые удовлетворяют условию ρ ( х;2 )= 3 ; другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние 3. Ответ: -1 ; 5. -1 х 5 х 2 х 3 3

| х — 3 | = ρ ( x , 3) ; | х — 1 | = ρ ( x , 1) Нужно найти такую точку Х( х ), что : ρ ( x , 3 ) + ρ ( x , 1 ) = 5. ρ (3, 1) = 2, 2 ρ ( х ; 8) ρ ( х ; -5) — ρ ( х ; 8) = 13 это множество точек координатной прямой, расположенных правее числа 8. Ответ : х  [ 8; + ∞) ρ ( х ; -5) ρ ( х ; 8) //////////////////////////// -5 8 х 13

Решение уравнения | х+4 | — | х-3 | = 1 ρ ( x , -4 ) — ρ ( x , 3 ) = 1, где ρ ( x , -4 ) > ρ ( x , 3 ) ρ (-4, 3) = 7, 7 > 1 , следовательно, точка с координатой х находиться внутри отрезка [ -4; 3 ] и такая точа одна. -3 Ответ: 0 -4 3 х ρ ( х ; -4) 0 ρ ( х ; 3)

Решение уравнения |3х-8| — |3х-2| = 6 ρ (8; 2) = 6 , ρ (3х; 8) > ρ (3х; 2) ρ (3х; 8) — ρ (3х; 2) = 6 это множество точек координатной прямой, расположенных левее числа 6. ρ (3х; 8) 3х Мне нравится

Источник

Урок по теме «Решение уравнений с модулем, используя его геометрический смысл». 9-й класс

Класс: 9

Ключевые слова: Решение уравнений с модулем

Цели урока:

• предметная:
  • формирование умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;
• метапредметные:
  • развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы,
  • развитие информационной, коммуникативной, исследовательской компетентностей;
• личностные:
  • содействовать формированию личностно-адаптивной компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию),
  • развивать внимание, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы организации и осуществления учебной деятельности:

• по источникам знаний: практические;
• по характеру мыслительных операций: индуктивные;
• по степени взаимодействия учитель-ученик: исследование объектов изучения под руководством учителя;
• относительно дидактических задач: обобщение изученного;
• относительно характера познавательной деятельности: исследовательский;
• относительно стимулирования и мотивации учебной деятельности:
• стимулирование интересов к учению: опора на неожиданность, создание ситуации новизны;
• устные и письменные;
• групповые (работа в группах);
• технические (мультимедийная аппаратура).

Оборудование: мультимедийный комплекс, компьютер, задания для групп, геометрическая модель.

Структура урока.

1. Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
2. Изучение нового материала.
   1. учебное исследование;
   2. обсуждение итогов учебного исследования;
   3. схематизация материала.
3. Домашнее задание.
4. Рефлексия. Подведение итогов.

Ход урока

I. Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности

Слайд 1. Записываем дату и тему урока.

Слайд 2. Вспомним:

Модуль числа a равен a, если a больше или равно нулю и равен –a, если a меньше нуля.

Из определения следует, что для любого действительного числа a:

Слайд 3. Решаем устно:

2. | |

3. | |

4.

5.

6.

Слайд 4. Работа устно:

Сколько корней имеет данное уравнение? Найдите их.

II. Изучение нового материала

1. Объяснение нового материала

Эти уравнения можно решить другим способом, используя геометрический смысл модуля. Давайте дадим геометрическое истолкование модуля действительного числа а?

Слайд 5. Геометрический смысл модуля:

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

1. Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5.
2. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6.
3. Модуль числа не может быть отрицательным.
4. Противоположные числа имеют равные модули:| -а | = | а |

1. Как изобразить на координатной прямой | 5 | и | -6 |?
   1. | 5 | – расстояние от начала координат О до точки В(5).
   2. | -6 | – расстояние от начала координат О до точки М(-6).
2. Почему модуль не может быть отрицательной величиной?
3. Почему противоположные числа имеют равные модули?

Слайд 6.

1. Как расположены на числовой прямой точки с координатами -4; -2; 1 и 5?
2. Как найти расстояние между точками на координатной прямой?

Слайд 7.

• Что называется расстоянием между двумя точками на координатной прямой?
• В чем состоит геометрический смысл модуля разности действительных чисел?

Слайд 8. Прочитать и объяснить словесную запись:

Записать аналитическую модель рисунка в тетради (рисунок на доске).

Слайд 9. |х-2|=3

Вопрос: в чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

Ответ: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2 (изображаем на доске)

Вопрос: Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля |х+5|=3, найдите его корни, используя координатную прямую.

Ответ: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки -5.

Корни уравнения: х=-2; х=-8.

Слайд 9. Решение уравнений с помощью геометрической интерпретации модуля:

Вопрос: Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения

Ответ: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Вопрос: Попробуйте составить план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

а) найдем расстояние между точками -5 и 2. 5+2=7.

б) т.к. х равноудалена от точек -5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2=3,5

в) найдем координату точки: -5+3,5=-1,5 или 2-3,5=-1,5

Слайд 10. Вопрос: Как решить уравнение?

Ответ: Выражение |х-5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.

Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.

Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8.

Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 23.11.2020

Источник

Модули. Применение геометрического смысла модуля при решений уравнений и неравенств

Классы: 9 , 10 , 11

Ключевые слова: модуль числа , свойства модуля , геометрический смысл модуля

Цель: Актуализировать знания школьников о смысле понятия «модуль». Учить их применять эти знания при решении уравнении, неравенств и систем уравнении с модулями.

Для того, чтобы научиться решать уравнения и неравенства с модулем, необходимо хорошо разобраться с понятием модуля, его геометрическим смыслом и свойствами.

С рассмотрения этого материала мы и начнем наше занятие.

1. Определение: Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, или число противоположное данному, если оно отрицательно.

Следовательно, при любых значениях переменной |а| есть число неотрицательное.

2. Рассмотрим основные свойства модуля, которые используются при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Свойства модуля

— Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0.

— Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|

— Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а*в|= |а|*|в|.

— Модуль частного равен частному модулей числителя и знаменателя: |а/в|=|а|/|в|, где в не равен нулю.

— Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения: |а| 2 =а 2 .

— Модуль суммы не больше суммы модулей ее слагаемых: |а+в|≤|а|+|в|.

При этом равенство |а+в|=|а|+|в| имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые одного знака или одно из слагаемых равно нулю.

— Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаками, то есть являются противоположными: |а|=|в|, если, а=в или, а=–в.

Преобразование выражений, содержащих модули

При решении уравнении и неравенств с модулем, часто приходится преобразовывать их, раскрывая знак модуля.

Рассмотрим, по каким правилам раскрывается модуль.

Из определения модуля следует: чтобы раскрыть знак модуля, надо знать знак подмодульного выражения.

Составим схему раскрытия модуля:

а) если знак подмодульного выражения неотрицателен, то знак модуля опускается: |а| =а.

б) если знак подмодульного выражения отрицателен, то подмодульное выражение умножается на (-1), то есть заменяется противоположенным выражением: |а| =-1а.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.1

а) т.к. с 0, то -7х 5;

б) |3+х|, если х 5, то х-2 > 0, поэтому |х-2|=х-2;

в) т.к. х 0, |8-х|= 8 – х, х-6 (=) 2/3 3х – 2 >(=)0, следовательно, |3[ — 2|= 3х – 2.

4. Задания для самостоятельной работы

б) |- 3/7х|, если х 2 |, если а > 0;

г) |8 + х|, если х > -7;

д) |х — 5| — |х + 4|, если -3 13.

3. Решить неравенство самостоятельно:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Решить неравенство:

7. Найдите наибольшее натуральное значение параметра с при котором решение неравенства

1. ||2х + 4| — 7| — 13 ≤ 2с 2 удовлетворяет условию х [-37; 35].

Это задание можно предложить сильным школьникам для домашней работы с последующей проверкой на уроке.

Решения и ответы:

1. Для решения уравнении используем рисунок на доске и правило: «Модуль — это расстояние»:

2. Для решения неравенства сделаем ещё два рисунка.

Значение выражения, стоящего под модулем, не должно превышать 2, значит

Значение выражения, стоящего под модулем, должно быть больше, чем 48 единиц, значит:

18 – х ≥ 48 или 18 – х ≤ -48 => х ≤ -30 или х ≥66.

Источник