Решение текстовых задач логическим способом

Как решать логические и математические задачи

Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.

Решаем логические задачи

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

• метод рассуждений;
• с помощью таблиц истинности;
• метод блок-схем;
• средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
• графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
• метод математического бильярда.

Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):

• метод последовательных рассуждений;
• разновидность метода рассуждений — «с конца»;
• табличный способ.

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .

Разложи карандаши в описанном порядке.

Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.

• Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
• Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
• Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
• Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.

• графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
• определяем порядок их выполнения;
• в таблице фиксируем текущие состояния.

Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.

Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!

Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.

Источник

VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2016

ЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ (НА МАТЕРИАЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ)

§1. Возникновение логического способа решения 4

§ 2. Суть логического способа решения текстовых задач 5

§ 3. Примеры текстовых задач, решаемые логическим способом 9

Список литературы 23

Введение

«Сколько раз я говорил вам, отбросьте все невозможное, тогда то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни казался» – Шерлок Холмс.

Суть логического метода решения текстовых задач состоит в рассуждениях. В данной работе приведены примеры на каждый вид текстовых задач, решаемых логическим методом.

Задача – некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой). Исследование задач удобно осуществлять с помощью логических рассуждений.

Объект: текстовая задача.

Предмет: логический способ решения текстовых задач.

Целью курсовой работы является рассмотрение и описание логического метода решения текстовых задач.

Задачи курсовой работы.

1. Охарактеризовать суть логического способа решения.

2. Рассмотреть этапы решения задачи.

3. Рассмотреть задачи на переливание.

4. Рассмотреть задачи на взвешивание.

5. Рассмотреть задачи на переправы.

6. Рассмотреть задачи на разъезды.

7. Рассмотреть задачи на дележи.

8. Рассмотреть задачи на движение.

9. Рассмотреть задачи, решаемые с помощью логических уравнений.

Методы исследования: анализ литературы, логический метод решения задач, систематизация, абстрагирование, конкретизация.

Работа состоит из введения, основной части (три параграфа), заключения, списка литературы (15 источников).

§1. Возникновение логического способа решения

Логика как наука появилась лишь в IV в. до н.э. благодаря великому греческому ученому Аристотелю (384 – 322гг. до н.э.). В дальнейшем эту науку стал развивать ирландский математик Дж. Буль (1815 – 1864гг.). В своих работах «Математический анализ логики» (1847г.) и «Законы мышления» (1854г.) Дж. Буль изложил мысль, которая заключалась в следующем: одно и то же алгебраическое уравнение может выражать вопросы геометрии, физики, теории чисел, механики и любой другой науки при разном разъяснении букв, входящих в уравнение. Если суждения или высказывания обозначать буквами, то уравнениями, которые получаются, можно разрешать вопросы истинности и ложности высказываний. Так возникла «алгебра логики» или «алгебра Буля». В дальнейшем алгебру логики развивали такие ученые, как П. С. Порецкий (1846 – 1907гг.), Бертран Рассел (1872 – 1970гг.), И. И. Жегалкин (1860 – 1947гг.), П. С. Новиков (1901 – 1975гг.), П. С. Эренфест (1880 – 1933гг.). [4, с. 23]

В алгебре логики высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Условимся истинность высказывания обозначать единицей (1), ложность – нулем (0), а само высказывание – «а». Любое высказывание «а» либо а=1, либо а=0.

Правила логических высказываний:

Сложение. Сумма двух высказываний а и b(записывается так а+b) является истинным (1), если хоть одно из высказываний истинно.

Сумма двух высказываний а и b(записывается так а+b) является ложным (0) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Умножение. Произведение двух высказываний а и b (записывается так аb) является истинной (1) тогда и только тогда, когда оба высказывания истины.

Произведение двух высказываний а и b (записывается так аb) является ложным (0), если хоть одно из высказываний ложь. [6, с. 23]

В данном параграфе изложены имена прародителей логики как науки и вследствие зарождения основных логических правил, с помощью которых зародился логический способ решения текстовых задач.

§ 2. Суть логического способа решения текстовых задач

Текстовой задачей является описание некоторой ситуации (явления или процесса) на естественном и/или математическом языке с условием установить наличие или отсутствие какого-либо отношения между компонентами данной задачи или определить вид этого отношения. Либо дать количественную характеристику какого-то элемента заданной ситуации, либо установить последовательность требуемых действий. Иными словами, текстовая задача это словесная модель конкретной ситуации, явления, процесса, события и т.п. Как и в любой модели, в текстовой задаче рассказываются не все явления или события, а лишь их количественные и функциональные характеристики.

Пример 1. Расстояние между городами А и В равно 195 км. В одно и то же время из обоих городов навстречу друг другу выходят два мотоциклиста и едут до встречи 3 часа; после встречи мотоциклист из города А тратит на прохождение от места встречи до города В на 13/14 ч больше, чем второй мотоциклист, едущий из города В в город А. Определить скорость каждого мотоциклиста. [9, с. 23]

В задаче описывается движение двух мотоциклистов. Любое движение следующими величинами: скоростью, временем и путем (пройденным расстоянием). В данной задаче известно, что мотоциклисты проехали одинаковое расстояние, равное 195 км. Также указано время движения мотоциклистов до встречи. Еще известно, что один из мотоциклистов был в пути на 13/14 часа больше, чем другой. Требуется найти количественные характеристики скоростей движения двух мотоциклистов.

Основа текстовых задач состоит в том, что в них косвенно указывается какие действия необходимо выполнить для получения ответа на вопрос задачи.

В любой текстовой задаче можно выделить:

1) числовые значения величин, называющиеся данными, известными (их должно быть не менее двух);

2) систему функциональных зависимостей, связывающая искомые данные и данные между собой;

3) вопрос или требование, на который надо найти ответ.

Числовые данные и количественные и качественные характеристики данных величин задачи, называются условиями задачи. Обычно в задаче не одно, а несколько условий, которые называются элементарными.

Требование или вопрос могут быть изложены как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их тоже может быть несколько. Величину, которую требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин называют неизвестными или искомыми.

Чтобы выявить структуру задачи необходимо выделить ее условия и требования, иными словами, построить высказывательную модель задачи. Высказывательная модель задачи – система взаимосвязанных условий и требований.

Пример 2. Выделим условия и требования в задаче «Имеются три банки вместимостью 11; 7 и 5 литров. Одиннадцатилитровый сосуд полон кваса, а остальные пусты. Как, с помощью нескольких переливаний, и пользуясь только имеющимися банками, отмерить 8 литров кваса? »

1) имеются банки вместимостью 11; 7 и 5 л;

2) банки вместимостью 5 и 7 л пустые;

3) банка вместимостью 11 л полна кваса;

4) можно использовать только имеющиеся банки;

5) в результате переливаний в одиннадцатилитровом сосуде должно быть 8 литров кваса.

1) указать последовательность переливаний, в результате которых получится 8 л кваса.

В результате решения задачи получается ответ на вопрос или требование задачи. В широком смысле слова решить задачу значит раскрыть зависимости между величинами, которые заданы в условии задачи, а также определить последовательность применения общих положений математики: правил, логических рассуждений; применить подходящие действия и получить ответ на требование задачи.

Текстовую задачу можно решать различными методами: алгебраическим, арифметическим, геометрическим, практическим, логическим и др. [15, с. 24] Рассмотрим логический метод решения текстовых задач.

Решить задачу логическим методом это значит найти ответ на вопрос задачи. Обычно, используя логический метод, не делают никаких вычислений, все основывается на логических рассуждениях. План решения задачи обычно осуществляется устно, реже письменно. Для получения ответа на вопрос задачи строится алгоритм, представленный в виде блок-схемы, словесно и т.д.

Пример 3. Из девяти монет одна фальшивая (она легче остальных). Как за два взвешивания на чашечных весах определить фальшивую монету? [3, с. 23]

Решение. Алгоритм нахождения ответа оформим в виде блок-схемы (рис. 1).

В данном параграфе было рассмотрено определение текстовой задачи, на примере выделены условия и требования в текстовой задаче. Также был раскрыт логический способ решения текстовой задачи.

Рис. 1. Блок – схема решения задачи на нахождение фальшивой монеты

Положить на чаши весов по три монеты

Фальшивая монета (более легкая) на чаше, которая выше

Весы в равно- весии?

Из более легкой стопки положить на весы по одной монете на каждую чашу

Положить на две чаши весов по одной из оставшихся монет

Весы в равно- весии?

§ 3. Примеры текстовых задач, решаемые логическим способом

В своей работе я выделила семь видов текстовых задач, решаемых логическим методом. Это задачи:

решаемые с помощью логических уравнений.

Задачи на переливания.

В задачах из этой группы обычно дается определенное количество жидкости, сосуды, чаще всего их три. Требуется с помощью переливаний и имеющихся сосудов получить определенное количество жидкости либо в одном из сосудов, либо равное количество в нескольких.

Как правило задачи на переливание решаются практическим методом или общими рассуждениями. Построим общий алгоритм для решения задачи на переливания.

Пример 4. Пусть имеются три сосуда объемом а,b и с литров, причем а>b>с, а=b+c. Сосуд наибольшего объема полон жидкости, которую необходимо разлить на две равные части. Введем обозначения: х и у – количество жидкости, которое содержится после каждого переливания в первом и втором сосудах соответственно. Тогда в третьем сосуде останется а – х – у литров жидкости. Числа х, у, а – х – у целые и удовлетворяют неравенствам:

На координатной плоскости хОу отметим точки, удовлетворяющие записанным условиям. Получился параллелограмм АВСD (рис. 2).

Точка В (а;0) показывает как была распределена жидкость изначально, а искомому распределению жидкости отвечает точка М(а/2;а/2). Процесс переливаний, которые проводились от распределения В до

Рис. 2 распределения М, представляют собой ряд точек

параллелограмма АВСD. Если соединить отрезками любые две соседние точки, то можно получить ломанную с началом в точке В и концом в точке М.

Видно, что распределению когда второй сосуд пустой отвечает отрезок АВ, а когда он полный – отрезок СD. Распределению когда третий сосуд пуст отвечает отрезок ВС, а когда полон – отрезок АD. Таким образом, вершины ломанной лежат на контуре параллелограмма АВСD.

При каждом переливании жидкости, количество ее в одном сосуде остается неизменным, возможны следующие случаи:

1) если в первом сосуде количество жидкости не меняется, то отрезок, соединяющий точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен оси Оу;

2) если во втором сосуде количество жидкости не меняется, то отрезок, соединяющий точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен оси Ох;

3) если третий сосуд не участвует в переливании жидкости, то в первых двух сосудах сохраняется количество жидкости х+у. Это значит, что отрезок, который соединяет точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен отрезку ВС, в частности если третий сосуд полон, то отрезок является подмножеством отрезка АD, а если пуст – отрезка ВС.

Таким образом, любой отрезок ломанной линии либо параллелен оси Ох, либо параллелен оси Оу, либо параллелен отрезку ВС. Если третий сосуд полный (х+у=b), то переливание из первого сосуда во второй сосуд прекращается, когда х=0 и у=b, а переливание из второго сосуда в первый прекращается, когда х=b и у=0. Этим случаям соответствуют точки D и А. Аналогично можно установить, что если какой-либо отрезок ломаной линии является подмножеством стороны параллелограмма АВСD, то его конец обязательно совпадет с какой либо точкой, А, В,С или D.

Начальному моменту переливания соответствует точка В(а;0), а конечному – точка М(а/2;а/2), следовательно, если соединить точки В и М ломаной линией, вершины которой совпадают с контуром параллелограмма АВСD, а каждый отрезок этой ломаной либо параллелен одной из двух координатных осей, либо параллелен отрезку ВС. При том, если какой-либо отрезок ломаной является частью параллелограмма, то его конец должен совмещаться с его вершиной. [3, с. 23]

Используя систему координат можно с легкостью решать задачи на переливание жидкостей. Также можно использовать таблицу для получения ответа на требование задачи.

Пример 5. Имеются два сосуда объемом 3 л и 5 л. Как при помощи этих сосудов налить 4 л воды из водопроводного крана? [12, с. 23]

Решение. Поиск ответа на вопрос задачи начнем с конца. Необходимо, чтобы получилось 4 л воды. Для этого можно из 5-литрового сосуда отлить 1 литр воды. Это возможно сделать если в 3-литровом сосуде будет 2 литра воды. А это количество воды можно получить отлив из 5-литрового сосуда 3 литра воды. Рассмотрим процесс переливания воды в таблице 1, а.

Поиск ответа на вопрос можно было бы начать с доливания 1 литра воды к имеющимся 3 литрам воды. Рассмотрим процесс переливания воды в таблице 2, б.

Источник