Урок- мастер-класс «Решение задач стереометрии векторно-координатным методом»
Открытый урок — мастер класс в 11 информационно-технологическом профильном классе по теме:
«Векторно-координатный метод решения задач
1) рассмотреть векторно-координатный метод с применением скалярного произведения векторов для решения задач на нахождение углов
2) показать преимущество этого метода по сравнению с традиционными методами;
3) показать эффективность использования этого метода на экзамене.
Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация, 13 нетбуков.
Ход урока: Класс разделен на 4 разноуровневые группы обучающихся.
У учащихся на нетбуках презентация по теме для использования при
Учитель: При подготовке к ЕГЭ по математике, задача С 2 вызывает у учащихся много вопросов. Сегодня мы хотим показать, что использование векторно-координатного метода решения задач такого типа упрощает решение, дает возможность по новому взглянуть на возможность решить эти задачи на экзамене.
1 группа : Задания по теории: угол между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. Способы введения системы координат в кубе, треугольной призме, четырехугольной пирамиде, координаты точек.
Определение 1: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.
Определение2: Если прямая a пересекает плоскость α и не перпендикулярна плоскости α, то углом между прямой и плоскостью α называется угол между прямой a и ее проекцией на плоскость α.
Из определения угла ϕ между прямой и плоскостью следует, что 0 º ≤ ϕ ≤ 90 º. Но угол между векторами может принимать значения от 0 º до 180 º. Поэтому возможны два случая:
1) 
0
( )= + ϕ; + ϕ = —
Определение 3: Углом между плоскостями называется угол между прямыми, по которым плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, пересекает эти плоскости. ( угол ϕ)
Координаты вершин куба в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной равной единице:
А(1;0;0),В(0;0;0) , С(0;1;0),Д(1;1;0),А 1 (1;0;1),В 1 (0;0;1), С 1 (0;1;1), Д 1 (1;1;1) .
Координаты треугольной призмы в прямоугольной системе координат в
пространстве со стороной равной единице:
А( 0;0;0) , В ( 0; 1; 0), С ( ;0), А 1 ( 0; 0; 1), В 1 (0; 1; 1),С 1 (
Координаты четырехугольной пирамиды в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной основания ,равной единице:
А(1; 0; 0),В(0;0;0), С(0;1;0),Д(1;1;0), S (
Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми векторно-координатным методом:
Угол между скрещивающимися прямыми заменяем углом между направляющими векторами этих прямых , который можно вычислить по теореме о скалярном произведение векторов по формуле:
Cos φ = , где | a * в| – модуль скалярного произведения векторов , а и – длины этих векторов.
Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью векторно-координатным методом :
Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
, где – направляющий вектор прямой, — вектор нормали к плоскости, а и – длины этих векторов.
Вектор нормали к плоскости находим из условия его перпендикулярности двум непараллельным векторам плоскости. Чтобы найти координаты вектора нормали необходимо рассмотреть два скалярных произведения и приравнять их нулю.
Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями векторно- координатным методом: .
Углом между плоскостями считают угол между векторами нормали к плоскостям , который можно вычислить по формуле
= , где и –векторы нормали к плоскостям, а
– длины этих векторов
В это время учащиеся во 2, 3, 4 группах решают задачи.
2 группа : Задача1.
В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и В 1 С.
1) Введем систему координат как на рисунке.
3 группа: Задача 2.
В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью А S Д.
1) Введем систему координат как на рисунке.
Координаты ( -1; 1; 0).Найдем координаты вектора нормали ( х; у; z) к плоскости АSД. Для этого выберем в плоскости АSД два непараллельных вектора .
Координаты векторов
х =0, при z =1, х= у =0.И так ,
4 группа: Задача 3.
В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F – середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВДД1.
. Плоскость ВДД 1 – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости, поэтому – это вектор нормали к плоскости ВДД 1.
А ( 0; 0; 0;), С(1; 1; 0) , тогда = 1 ( 1; 1; 0).
2) Найдем вектор нормали 2 (х; у; z) к плоскости АЕF. Выберем в этой плоскости два непараллельных вектора и
3) Определим координаты векторов: А(0; 0; 0) , Е ( ½; 0; 1), F (0; ½; 1).
4) Запишем скалярные произведения 2 * и 2 * и приравняем их нулю
1/2х + 0у + z = 0, z = — 1/2х,
0х + ½ у + z = 0; z = — 1/2у, при х = у =1, z = — ½.
И так, вектор нормали 2 ( 1; 1 ; — ½)
5) Найдем косинус угла между 1 и 2.
Старшие в группах оформляют решение на доске. Учащиеся обсуждают решение задач, осуществляя взаимопроверку.
2. Самостоятельная работа. Решение задач из сборников ЕГЭ, С2.
3. Подведение итогов урока: И так, мы рассмотрели разнообразные виды задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. За 30 минут решили 3 вида задач, убедились, что векторно – координатный метод позволяет сэкономить время на экзамене.
4.Домашнее задание: задачи из сборника ЕГЭ, С2.
Источник
Урок «Координатно-векторный метод решения стереометрометрических задач»
КУРАГИНСКАЯ СОШ № 7
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
КООРДИНАТНО- ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ
ЧЕРВОНЕНКО ТАМАРА ЯКОВЛЕВНА
П. КУРАГИНО 2016 г.
Алгебра – не что иное как записанная
в символах геометрия,
а геометрия – это просто алгебра,
воплощенная в фигурах.
Софий Жермен (1776-1831)
Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку- аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным методом. Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии . Предложенная им система получила его имя. В геометрии применяются различные методы решения задач. В своей работе я показала решение одной из задач тремя методами. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и позволяет решить почти все виды математических и не только задач.
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАЧАЧ СВОДИТСЯ К СЛЕДУЮЩЕМУ
1. Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
2. Находим координаты необходимых для нас точек.
3. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
4. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.
1.Расстояние между точками А(
, 
),В
, 
) равно 
=
.
2.Угол между плоскостями. Если β-угол между плоскостями, заданными уравнениями 
х+
z +
=0 и 
х+
z +
=0, то
.
3.Расстояние от точки до плоскости. Если ρ- расстояние от точки 
(
, 
), до плоскости 
х+
z + D =0,то
ρ=
.
4.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
(, ),
(
, ),
(
, 
), в координатной форме:
=0;
5. Если отрезок, концами которого служат точки А(, ),В, ) разделен точкой С(х, у,
) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам
Х = 
; у=
; z=
.
Источник
