Решение стереометрических задач разными способами

Решение стереометрической задачи тремя различными способами
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

Здесь представлено на трех файлах моё решение решение задачи С2 (вариант 13) из пособия «МАТЕМАТИКА. Подготовка к ЕГЭ-2011» под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова. Эта-же задача встречается в пособиях по подготовке к ЕГЭ-2012 у других авторов. Материал с этих файлов я скопировала со своей презентации, которую, к сожалению, загрузить не удалось.

Скачать:

Вложение	Размер
reshenie_stereometricheskoy_zadachi_tremya_razlichnymi_sposobami_1_sposob.docx	1020.14 КБ
reshenie_stereometricheskoy_zadachi_tremya_razlichnymi_sposobami_2_sposob.docx	491.88 КБ
reshenie_stereometricheskoy_zadachi_tremya_razlichnymi_sposobami_3_sposob.docx	482.11 КБ

Предварительный просмотр:

Решение стереометрической задачи тремя различными способами
(математика подготовка к ЕГЭ 2011 под. ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Калабухова
вариант 13, С2)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Через сторону основания АВ и середину бокового ребра SE проведено сечение. Найдите тангенс угла между

прямой АЕ и плоскостью проведенного сечения.

Первый способ решения

ММ 1 перпендикуляр к плоскости основания.

ММ 1 = — средняя линия.

Проведем М 1 N ||АЕ.

Угол МNM 1 – искомый угол.

∆АМ 1 В – проекция ∆АМВ на плоскость основания.

М 1 N = ; => tg(M 1 NM ) = = = .

Предварительный просмотр:

Решение стереометрической задачи тремя различными способами
(математика подготовка к ЕГЭ 2011 под. ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Калабухова
вариант 13, С2)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Через сторону основания АВ и середину бокового ребра SE проведено сечение. Найдите тангенс угла между прямой АЕ и плоскостью проведенного сечения.

Второй способ решения Координаты точек пирамиды

A(0;0;0), B(1;0;0), C , D , F , S , М .

Синус угла между прямой l и плоскостью ax + by + cz + d = 0

определяется по формуле:

l(x 1 ;y 1 ;z 1 )- направляющий вектор прямой l, n(a;b;c) – вектор нормали

В нашей задаче АЕ(0; ; 0) – направляющий вектор прямой АЕ.

Координаты вектора нормали можно найти двумя способами.

Заданная плоскость проходит через три точки A(0;0;0), B(1;0;0), М .

Для точки А(0;0;0): a∙0 + b∙0 + c∙0 + d = 0, => d = 0;

Для точки B(1;0;0): a∙1 + b∙0 + c∙0 + 0 = 0, => а = 0;

Для точки М : a∙ + b∙ + c∙ + 0 = 0, => b= — .

Подставим полученные значения в уравнение плоскости и получим:

— y + z = 0 – уравнение плоскости, проходящее через точки А, В и М.

Следовательно, n(a;b;c) = n (0; — 0),

Предварительный просмотр:

Решение стереометрической задачи тремя различными способами
(математика подготовка к ЕГЭ 2011 под. ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Калабухова
вариант 13, С2)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Через сторону основания АВ и середину бокового ребра SE проведено сечение. Найдите тангенс угла между прямой АЕ и плоскостью проведенного сечения.

Третий способ решения Координаты точек пирамиды

A(0;0;0), B(1;0;0), C , D , F , S , М .

Синус угла между прямой l и плоскостью ax + by + cz + d = 0

определяется по формуле:

l(x 1 ;y 1 ;z 1 )- направляющий вектор прямой l, n(a;b;c) – вектор нормали

В нашей задаче АЕ(0; ; 0) – направляющий вектор прямой АЕ.

Координаты вектора нормали можно найти двумя способами.

Заданная плоскость проходит через три точки A(0;0;0), B(1;0;0), М .

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ),

после вычисления этого определителя получается уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0 ,

где а, b и с – координаты вектора нормали к плоскости.

x 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 x 3 , y 3 , z 3

=0 =…= — +

Источник

Различные методы решения стереометрических задач и их использование в КИМах ЕГЭ

Описание презентации по отдельным слайдам:

ШКОЛЬНАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ СЕКЦИЯ “Математика” Тема: «Различные методы решения стереометрических задач и их использование в КИМах ЕГЭ » Автор: Шаймерденова Нурия учащаяся 11 класса ГБОУ СОШ с. Черноречье Научный руководитель: Кузнецова Елена Николаевна, учитель математики

Объект исследования: стереометрические задачи. Предмет исследования: Различные методы решения стереометрических задач; Применение этих методов для решения задачи 16 при подготовке к ЕГЭ по математике; Цель – рассмотреть различные методы решения стереометрических задач, чтобы помочь своим одноклассникам справиться с заданиями 16 ЕГЭ по математике . Задачи: Изучить теоретические вопросы методов решения различных стереометрических задач; Ознакомить учащихся класса с данным вопросом и, по возможности, постараться научить их решать данные задания; Подготовить памятку для учащихся. Гипотеза: предполагаю, что для успешного решения стереометрических задач КИМ ЕГЭ по математике необходимо правильно уметь подбирать тот или иной метод.

Алгебраический метод Поэтапно-вычислительный метод (метод прямого счета) Метод составления уравнений Геометрический метод и метод геометрических преобразований Метод дополнительного построения Метод замены Векторный метод Координатный метод Стереометрические задачи на комбинацию геометрических тел

Задачи по стереометрии — прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики. Решение стереометрической задачи чаще всего сводится к решению планиметрических задач. Поэтому, решая задачи по стереометрии, всё время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы, вспоминать формулы, необходимые для решения. При решении стереометрических задач ещё в большей мере, чем в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии, применяются векторный и координатный методы, дифференцирование и интегрирование. Таким образом, стереометрические задачи способствуют творческому овладению всей совокупностью математических знаний.

В задании 16 ЕГЭ чаще всего требуется найти угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости. Наиболее удобным для решения и менее затратным по времени является векторно-координатный метод. Для его применения необходимо умение правильно выбрать систему координат, и знать основные формулы для нахождения величин.

Для решения задач требуется пространственное воображение, знание планиметрии, а также алгебры и тригонометрии. Если среди данных или искомых имеются углы, то без использования тригонометрических функций, как правило, не обойтись. Кроме того, применение тригонометрии часто позволяет упростить вычисление. Еще одним методом для решения стереометрических задач является координатно-векторный. Этот метод позволяет во многом упростить геометрические построения и преобразования, а также сэкономить время, так необходимое на экзамене. Данная работа призвана помочь учащимся в решении задачи 16 ЕГЭ по математике 2015 года.

Спасибо за внимание!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 812 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 286 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1233408

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Москве запустили онлайн-проект по борьбе со школьным буллингом

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Стереометрия. Классификация и методы решения

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми.

2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах

3) Векторно-координатный способ

1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость)

2) Векторно-координатный способ

3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости

1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника

2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.

Источник

Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».

Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».

Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.

способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;

развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;

воспитывать умение планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.

ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку

Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа «С2», можно использовать данный материал для организации итогового повторения.

I. Организационный момент .

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание. Рассмотрим разные методы решения этих задач.

II. Актуализация знаний.

Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

III. Тренировочные упражнения .

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти расстояние от точки D ₁ до прямой PQ , где P и Q – середины соответственно ребер A ₁ B ₁ и BC .

1 способ (поэтапно-вычислительный)

Пусть D ₁ H PQ , где H PQ , R — середина ребра AB . Найдем D ₁ H .

ΔBRQ — прямоугольный, QR =

ΔPQR — прямоугольный, PQ =

Δ DCQ — прямоугольный, DQ =

Δ D ₁ DQ — прямоугольный, D ₁ Q =

D ₁ P = DQ =

В треугольнике D ₁ PQ по теореме косинусов ; ; .

D ₁ H= D ₁ P

D ₁ H = = .

Ответ: .

2 способ (координатный).

Учитель задает вопрос: Как еще можно найти длины сторон в треугольнике D ₁ PQ ?

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А.

Найдем координаты точек P (0; 0.5; 1), Q (0.5; 1;0), D ₁ (1;0;1), тогда

PQ = , D ₁ Q = , D ₁ P =

Далее решение аналогично 1 способу. В треугольнике D ₁ PQ по теореме косинусов ; ; .

D ₁ H= D ₁ P

D ₁ H = = .

Ответ: .

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите расстояние от точки C ₁ до плоскости AB ₁ C .

1 способ (поэтапно-вычислительный)

Так как прямая A ₁ C ₁ параллельна АС, то прямая A ₁ C ₁ параллельна плоскости AB ₁ C . Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A ₁ C ₁ до плоскости AB ₁ C . Например, расстояние от центра О ₁ квадрата A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ до плоскости AB ₁ C равно h .

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О ₁ на прямую В ₁ О, где О – центр квадрата ABCD . Прямая О ₁ Е лежит в плоскости ВВ ₁ D ₁ D , а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О ₁ Е АС и О ₁ Е – перпендикуляр к плоскости AB ₁ C , а О ₁ Е = h .

Так как В ₁ О ₁ = , О ₁ О = 1, то ОВ ₁ = .

S _ΔABC = О ₁ Е В ₁ О= В ₁ О ₁ О ₁ О или h , откуда h = .

Ответ: .

2 способ (метод объемов)

Рассмотрим пирамиду С ₁ В ₁ АС и найдем ее объем двумя способами.

V = S _{ΔACC 1} В ₁ О ₁ = S _{ΔACB 1} h ; S _{ΔACC 1} = ; В ₁ О ₁ = ; S _{ΔACB 1} = .

h = .

Ответ: .

3 способ (координатный)

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С

С(0;0;0), В ₁ (1;0;1), А(1;1;0), С ₁ (0;0;1). Составим уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С и В ₁ . Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0. Получим систему или

Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0

По формуле находим расстояние от С ₁ до плоскости AB ₁ C :

d =

Ответ: .

V. Домашнее задание.

В тетраэдре ABCD , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD .

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF .

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ , ребра которого равны 4, а точки E и F — середины ребер AB и B ₁ C ₁ соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3 PD . Найдите расстояние от точки A ₁ до плоскости треугольника EPF .

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD .

Источник

Типы задач	Методы решения
Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями	4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения) 5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры 6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям
Расстояние от точки до плоскости	1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость) 2) С помощью метода объемов 3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми	1) По определению (как длину их общего перпендикуляра) 2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая. 3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник