Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.
Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.
Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.
Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом 
.
Пусть нужно решить систему линейных уравнений:
Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов
.
То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.
Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.
Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица свободных членов:
Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:
По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.
Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Следовательно, ответ правильный.
Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.
Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица свободных членов:
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Следовательно, ответ правильный.
Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Источник
Решение СЛАУ
Содержание:
Определители, их свойства
Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чисел 
Числа 
— элементы матрицы; 
— номер строки; 
— номер столбца.
Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом 
и вычисляемое по правилу 
Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Примеры №1:
Минором 
элемента 
определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания 
строки и 
столбца. Алгебраическим дополнением 
элемента называется число 
Например, для определителя III порядка (1.1)
Свойства определителей следуют из определения (1.1).
1°. Транспонирование: определитель не изменится, если все его строки заменить на соответствующие столбцы: 
2°. Разложение определителя по любому ряду (строке или столбцу):
определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (1.1) разложение по второму столбцу: 
3°. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на (-1).
4°. Определитель 
1) все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;
2) соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).
5°. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за знак определителя. 6°. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Аналогично определению определителя III порядка вводится определение определителя
n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.
Например, определителем IV порядка называется число, вычисляемое по правилу
Свойства 1°—6° сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 6°, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по этому ряду.
Пример 1:
Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2, 3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками. Системы линейных алгебраических уравнений их совместность, определенность.
Методы Гаусса и Крамера
Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными будем называть следующую систему:
где 
— неизвестные, 
— коэффициенты при неизвестных; 
— свободные члены. При 
система называется однородной. Решением системы (1.2) называется такая совокупность чисел 
которая при подстановке 
вместо 
в каждое уравнение системы обращает его в тождество.
СЛАУ называется совместной, если она имеет решение, несовместной — если решения нет.
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечное множество.
Две совместные системы называются равносильными, если все их решения совпадают.
Система (1.2) переходит в равносильную, если:
- а) поменять местами два уравнения;
- б) умножить любое уравнение на число
- в) прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.
Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу — матрицу из m строк и n столбцов:
Она называется основной матрицей системы, а матрица 
— расширенной:
Преобразования со строками расширенной матрицы системы, соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, — эквивалентными.
Обозначим i-ю строку матрицы А через 
Строки 
называют линейно зависимыми, если существуют числа 
что 
В противном случае строки называют линейно независимыми.
Рангом матрицы А (обозначается rang А) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Т: (Кронекера—Капелл и) Система (1.2) совместна тогда, когда rang А = rang (A | В) Доказательство см. в [1. С.97]. Для решения системы (1.2) применяется метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.
Все преобразования проводятся с расширенной матрицей. Пусть 
Тогда умножением первой строки последовательно 
и сложением соответственно со 2-й, . и m-й строками получаем матрицу 
Аналогичные преобразования производим с матрицей 
Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого вида 
причем rang (A | В) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.
Возможны три случая:
1) Получилась строка 
ей соответствует уравнение 
— система несовместна 
.
2) Число ненулевых строк г меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой строке соответствует уравнение
из которого находим неизвестное хг через и — г так называемых свободных неизвестных: 
Из уравнений, соответствующих другим строкам, последовательно находим 
, также через свободные неизвестные.
3) Если 
решение системы единственно. Последней ненулевой строке соответствует уравнение 
из которого находим неизвестное
, а далее последовательно 
Пример 2:
Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей, приходим к матрице ступенчатого вида.
Второй строке соответствует уравнение 
из которого находим 
Подставляем 
в первое уравнение системы: 
и находим 
где 
— свободное неизвестное Если 
то матрица А — квадратная и ее определитель — главный определитель системы.
При 
решение системы единственно и находится по формулам Крамера: 
В них определитель 
называется определителем неизвестного 
. и получается из определителя 
заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Выведем формулы Крамера, например, для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1-е, 2-е и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения 
затем складываем их: 
Множитель при 
— разложенный по 1-му столбцу определитель 
множители при 
и правая часть соответственно — определители: 
Таким образом, 
Формулы для 
выводятся аналогично.
Пример 3:
Находим 
Отсюда 
Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
Матрица (1.3) кратко записывается в виде 
и называется прямоугольной матрицей размерности 
Две матрицы 
одинаковой размерности 
называются равными, если 
Сложение матриц. Суммой матриц 
одинаковой размерности называется матрица 
Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам: 
Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри-цей, обозначается 0; 
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А на число 
называется матрица 
Умножение матриц. Произведением матрицы 
размерности 
на матрицу 
размерности 
(число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В) называется матрица 
Произведение матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону: 
Сочетательный и распределительный законы справедливы: 
Примеры №2:
Для квадратных матриц одинакового порядка умножение всегда возможно. Особое значение при таком умножении имеет еди- ничная матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули: 
Очевидно, что определитель единичной матрицы det Е= 1. Легко проверяется, что 
Если матрица С — АВ для квадратных матриц А и В, то 
Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.
Матрица 
называется обратной для квадратной матрицы А, если 
(1.4) Если выполняется равенство (1.4), то справедливо 
Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. 
Доказательство см. в [1. С.76]. В процессе доказательства получен вид матрицы для квадратной матрицы А порядка n: 
где 
— алгебраические дополнения элементов 
определителя 
Пример 3:
Определитель 
поэтому обратная матрица существует и 
Используя действия над матрицами, СЛАУ (1.2) в случае 
можно записать в виде 
где 
и решить при 
так называемым матричным способом 
(1.6) Равенство (1.6) получаем, умножая обе части (1.5) слева на матрицу 
.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Источник
