Решение системы нелинейных уравнений способом сложения

Решение системы уравнений методом сложения

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

Решаем простейшую конструкцию:

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

Теперь давайте найдем $x$:

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=. y=. $, или в виде координаты точек — $\left( . ;. \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\< \begin& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

Вычитаем уравнения друг из друга:

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

Пример № 2

\[\left\< \begin& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

Применяем метод вычитания:

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\< \begin& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

Теперь найдем $y$:

Ответ: $\left( 0;-\frac<1> <3>\right)$

Система № 2

\[\left\< \begin& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end \right.\]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

Вычитаем из первой конструкции вторую:

Теперь найдем $a$:

Ответ: $\left( a=\frac<1><2>;b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Источник

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

z = f (x , y) ,

(1)

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

f (x , y) = 0 ,

(2)

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

x 2 – 4xy + 6y 2 – – 12 y +18 = 0 .

(3)

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y) 2 + 2(y – 3) 2 = 0 .

(4)

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

sin (xy) = 2 .

(5)

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

ln (x – y) = 0 .

(6)

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

3x 2 – 8xy + 5y 2 = 0 .

(8)

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Источник