Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Источник

Алгебра. 9 класс

Вспомним основные понятия.

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Вспомним основные виды графиков.

y = kx + b, где k и b – некоторые числа

, где a, b, c и d – некоторые числа, с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

, где n – некоторое чётное число

, где n – некоторое нечётное число

y = x n , где n – некоторое чётное число

y = x n , где n – некоторое нечётное число

Решим несколько задач.

Решите графическим способом систему уравнений

Приведём уравнения к виду, удобному для построения графиков.

Сначала первое уравнение:
x 2 + y 2 = 5 + 2x + 4y;
x 2 – 2x + 1 – 1 + y 2 – 4y + 4 – 4 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 – 5 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 10.

Теперь второе уравнение:
2x = y – 5;
y = 2x + 5.

Теперь построим графики уравнений на одной координатной плоскости.

Используя чертёж найдем координаты точек пересечения графиков. Получим две точки: А(0; 5) и B(–2; 1).

Подставим найденные значения переменных, чтобы убедиться, что мы нашли точные, а не приближённые решения системы.

Определите, сколько решений может иметь система уравнений в зависимости от значений b

Графиком первого уравнения системы является парабола с вершиной в точке (0; –3).

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом b.

Построим в одной системе координат график первого уравнения и возможные варианты графика второго уравнения, начиная с маленького радиуса окружности и постепенно его увеличивая.

Таким образом, в зависимости от значения b система может не иметь решений, может имеет 2, 3 или 4 решения.

Источник

Графический способ решения систем уравнений (9 класс)

Выбранный для просмотра документ графический способ решения систем уравнений.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Французский писатель Анатоль Франс «Учиться можно только весело … Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

Тест Проанализируйте уравнения. Выберите, уравнение, соответствующее данному графику:

y=x+1 y+1=0 y=1 xy=1 2

xy=-1 x+y=2 х²+y²=25 xy=1 3

Проверь себя: y=-x²+1 у = — 1 xy=1 у=|х| х²+y²=1

Решить систему уравнений

Графический способ решения систем уравнений.

Задание 1. Решить графически систему уравнений. 1. 2. Построим графики функций в одной системе координат. 3. Составим таблицы значений функций. х -3 -2 -1 0 1 2 3 у 9 4 1 0 1 4 9 х 0 -3 у 3 -3

Задание 1. Ответ: ( -1; 1); (3; 9) А В х 0 -3 у 3 -3 х -3 -2 -1 0 1 2 3 у 9 4 1 0 1 4 9

Задание 2. Решить графически систему уравнений. 1. 2. Построим графики функций в одной системе координат. 3. Составим таблицы значений функций. х -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 х 0 -3 у -3 0

Задание 2. Ответ: решений нет х -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 х 0 -3 у -3 0

Задание 3. Решить графически систему уравнений. Подробно х 0 3 у 3 -3 х -4 -2 -1 1 2 4 у 0,5 1 2 -2 -1 -0,5

х – любое действительное число. 1. 2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. a > 0 3. Найдём координаты вершины параболы 4. Дополнительные точки: М ( 2; -1) х 0 1 2 3 4 5 у 3 0 -1 0 3 8

Решить графически системы уравнений 1 2 3

Самостоятельно. Решить графически систему уравнений. Проверка (2) Ответ: ( -3; 4); (3; 4); (-1; 4,9); (1; 4,9)

Самостоятельно. Решить графически систему уравнений. Проверка (2) Ответ: решений нет

Самостоятельно. Решить графически систему уравнений. Проверка (2) Ответ: (2; 4)

Рефлексия: Мизинец – Мне сейчас … Безымянный – Я хочу … Средний – Я буду… Указательный – Чего я жду от урока… Большой – Мне интересно …

Домашнее задание: Выполнить дома: №418, №421 (а,б)

Выбранный для просмотра документ урок в 9 а классе Графический способ решения систем уравнений.docx

Тип урока: урок нового знания

Тема урока: Графический способ решения систем уравнений

— дидактические: организация деятельности учащихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний по теме « Графический способ решения систем уравнений »; обобщение и углубление знаний, умений учащихся применять графические способы решения уравнений и систем уравнений и их комбинаций;

— развивающие: развитие логического мышления, культуры графического построения, наблюдательности, памяти, умения анализировать, сравнивать и делать выводы;

— воспитательные: средствами учебного занятия создать условия, способствующие формированию умения искать пути выхода из затруднения.

— предметные: освоение учащимися новой темы « Графический способ решения систем уравнений » и применение её при решении задач;

— метапредметные (регулятивные – Р, коммуникативные – К, познавательные – П): умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы;

— личностные (Л) – установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

Оборудование: м ультимедийный проектор, экран, компьютер, электронные презентации для устной работы и изучения новой темы, выполненная в Microsoft Power Point,

(указать цель на каждом этапе)

(с указанием форм деятельности)

Формируемые УУД (конкретные)

1. Мотивация к учебной деятельности

выработка на личностно значимом уровне положительного самоопределения ученика к деятельности на уроке

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело … Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Перед вами лежит листок бумаги. Обведите на нём свою руку. Продолжите предложения, характеризующие ваше эмоциональное состояние в данный момент:

Мизинец – Мне сейчас …

Безымянный – Я хочу …

Средний – Я буду…

Указательный – Чего я жду от урока…

Большой – Мне интересно …

Организация рабочего места, постановка перед собой целей

-действовать, запоминать, усваивать

К: планирование учебного сотрудничества

2. Актуализация знаний (5-7 мин) Цель: формулирование цели и темы урока

Повторение: Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

В тетрадях записать уравнение, которое соответствует данному графику.

Взаимопроверка: обменяться тетрадями и проверить. Слайд 8

Решить систему уравнений:

Уравнения какой степени входят в систему уравнений?

В 7 классе мы рассматривали системы уравнений первой степени с двумя переменными. Теперь займёмся решением систем, составленных из двух уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени, а другого второй степени.

Вспомним, что решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

Тема нашего урока «Графический способ решения систем уравнений»

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению систем уравнений с помощью графиков.

Источник