Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Источник

Системы уравнений с двумя переменными

п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения

п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными

Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <4x+3y=0>& \end\right. \)
\( \mathrm \) – окружность с центром в начале координат
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm \)

Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
\( \mathrm \) – гипербола \( \mathrm \)
y – x = 4 – прямая y = x + 4

Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7

Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.

г) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
xy = 1 – гипербола \( \mathrm \)
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)

Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.

Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <\frac1x-y=1>& \end\right. \)
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm \), смещённая на 1 вниз

Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=2>& \\ \mathrm & \end\right. \)
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2

Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x

Источник

Алгебра. 9 класс

Вспомним основные понятия.

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Вспомним основные виды графиков.

y = kx + b, где k и b – некоторые числа

, где a, b, c и d – некоторые числа, с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

, где n – некоторое чётное число

, где n – некоторое нечётное число

y = x n , где n – некоторое чётное число

y = x n , где n – некоторое нечётное число

Решим несколько задач.

Решите графическим способом систему уравнений

Приведём уравнения к виду, удобному для построения графиков.

Сначала первое уравнение:
x 2 + y 2 = 5 + 2x + 4y;
x 2 – 2x + 1 – 1 + y 2 – 4y + 4 – 4 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 – 5 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 10.

Теперь второе уравнение:
2x = y – 5;
y = 2x + 5.

Теперь построим графики уравнений на одной координатной плоскости.

Используя чертёж найдем координаты точек пересечения графиков. Получим две точки: А(0; 5) и B(–2; 1).

Подставим найденные значения переменных, чтобы убедиться, что мы нашли точные, а не приближённые решения системы.

Определите, сколько решений может иметь система уравнений в зависимости от значений b

Графиком первого уравнения системы является парабола с вершиной в точке (0; –3).

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом b.

Построим в одной системе координат график первого уравнения и возможные варианты графика второго уравнения, начиная с маленького радиуса окружности и постепенно его увеличивая.

Таким образом, в зависимости от значения b система может не иметь решений, может имеет 2, 3 или 4 решения.

Источник

Урок – исследование по алгебре в 7 классе «Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (разработка+презентация)
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Предмет: алгебра.

Класс: 7.

Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными».

Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием презентации и практической работы по графическому решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

Форма: урок-исследование

Цель урока: приобретение учащимися функционального навыка исследования как универсального способа получения новых прочных знаний, развитие способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе.

Задачи:

предметные: познакомить учащихся с понятиями: система двух линейных уравнений с двумя переменными, решение системы двух уравнений; рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений (система не имеет решений – несовместна, имеет бесконечное множество решений — неопределенна); научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом; продолжить формирование графических навыков.

личностные: воспитание ответственного отношения к учению; воспитание аккуратности, трудолюбия; воспитание культуры общения.

метапредметные: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; приводить примеры, формировать умения работы с графиками.

Скачать:

Вложение	Размер
razrabotka_uroka.docx	23.17 КБ
презентация к уроку	2.11 МБ
раздаточный материал	149 КБ
рефлексия	34 КБ

Предварительный просмотр:

МОУ – СОШ с. Ямское

Краснокутского района Саратовской области

по алгебре в 7 классе

«Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

Учитель математики первой категории

МОУ –СОШ с. Ямское

Цель урока : разработка учебного дидактического материала по теме: « Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными »

Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными».

Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием презентации и практической работы по графическому решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

Цель урока : приобретение учащимися функционального навыка исследования как универсального способа получения новых прочных знаний, развитие способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе.

предметные: познакомить учащихся с понятиями: система двух линейных уравнений с двумя переменными, решение системы двух уравнений; рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений (система не имеет решений – несовместна, имеет бесконечное множество решений — неопределенна); научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом; продолжить формирование графических навыков.

личностные: воспитание ответственного отношения к учению ; воспитание аккуратности, трудолюбия; воспитание культуры общения .

метапредметные: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; приводить примеры, формировать умения работы с графиками.

В конце урока обучающиеся должны:

графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными ;

решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим методом .

Приветствие.
Отметить отсутствующих.
Проверка подготовки учащихся к уроку.

Создание доброжелательной атмосферы в классе. Проверяют готовность рабочего места.

Слайд 1. Слайд 2.

Постановка цели и задач

Сообщение темы, обучающих целей и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся.

Повторение ранее изученного материала

Организация фронтального опроса. Формулы на доске: у = 3х – 5,

у = х + 4,8.

Назовите угловые коэффициенты линейных функций.

Что является графиком линейной функции? Какие прямые образуют с осью Х острый угол? Тупой угол? От чего это зависит? Назовите координаты точки

пересечения первой прямой с осью У.

Найдите значение второй функции в точке с абсциссой 6.

Отвечают на поставленные вопросы (с места, фронтально). Оформляют суждения, отвечают на наводящие вопросы.

Изучение нового материала

Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений с двумя переменными и её графическим решением.

Научиться графически решать системы, состоящие из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Научиться, по виду графиков, определять имеет ли система единственное решение, или она не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений

В ходе фронтальной работы оформляют суждения. Понимают проблему урока. Отвечают на вопросы. Вспоминают способы решению систем уравнений. Запоминают алгоритм решения системы уравнений графическим способом.

Слайд 5. Слайд 6. Слайд 7. Слайд 8. Слайд 9.

Первичное закрепление изученного материала.

Решение системы графическим способом. Все объекты на слайде появляются последовательно по щелчку в ходе фронтального обсуждения хода построения графиков. Все объекты на слайде появляются последовательно по щелчку в ходе фронтального обсуждения хода построения графиков. Цель – подвести учащихся к самостоятельному выводу о том, что система не имеет решений.

Осваивают графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Все объекты слайда последовательно появляются после ответов учащихся и иллюстрируют их.

Актуализа-ция знаний. Закрепление изученного (групповая работа)

объяснительный; демонстрация графиков

Рассматриваются частные случаи решения систем: когда система не имеет решений (несовместна); когда система имеет бесконечное множество решений (неопределенна).

Все объекты слайда последовательно появляются после ответов учащихся и иллюстрируют их.

Слушают новый материала в сочетании с индивидуальной работой учащихся в тетрадях,

в ходе выполнения задания по частным случаям решения систем в тетрадях.

Слайд 11. Слайд 12. Слайд 13. Слайд 14.

Предлагает учащимся отдохнуть, расслабиться.

Зарядка для глаз. Наблюдают за точкой двигающей на экране.

Работа с памяткой (групповая работа)

Работа с памяткой, которая есть у каждого ученика на парте. Фронтальная работа с классом.

Учащиеся слушают, задают вопросы по необходимости

Слайд 16. Слайд 17. (Слайд 21 — если остаётся время)

Выполнение графических построений для каждого случая с последующей самопроверкой

Учащиеся выполняют работу в тетрадях и после решения задания большинством учащихся на экран выводится решение для проведения самоконтроля.

Слайд 18 Слайд 19 Слайд 20

Подведение результатов урока.

После выполнения работы и самопроверки перед учащимися ставится вопрос:

« Что нового вы узнали сегодня на уроке?»

Учитель подводит итоги работы учащихся и ставит оценки за работу на уроке.

обсуждают, что узнали и как работали – каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению, источники получения дополнительной информации.

Записывают домашнее задания, формируют понятия его выполнения.

На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:

ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
в середину сектора, если сомнения есть;
ближе к окружности, если вопрос остался не понятым

Подходят к доске и делают отметку на предложенном рисунке.1.Научился ли я решать систему графическим методом;

2. понял ли я алгоритм решения систем линейных уравнений графическим методом;

3. смогу ли я использовать при решении частные случаи;

4. могу ли я по виду системы узнать о количестве решений системы.

Учебник: «Алгебра. 7 класс» Мерзляк, Полонский, Якир. – М.:Вентана-Граф, 2017 г.
Интернет ресурсы

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Цель Научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом. Рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений. Тип урока: урок –открытие нового знани я Форма урока: урок-исследование

Какую тему мы сейчас с вами изучаем? Каким способом вы научились решать системы линейных уравнений? Необходимо ли было строить графики этих функций, чтобы решить СЛУ? А сегодня мы будем строить графики линейных функций, каким же способом мы будем решать СЛУ?

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными разработала учитель математики Гладченко М.А. МОУ-СОШ с. Ямское 7 класс 2018 г.

Давайте вспомним: 1. у = 3 х – 5 2. у = –0,5 х + 7 3. у = х + 4,8 Назовите угловые коэффициенты линейных функций. Что является графиком линейной функции? Какие прямые образуют с осью Х острый угол? Тупой угол? От чего это зависит? Назовите координаты точки пересечения первой прямой с осью У . Найдите значение второй функции в точке с абсциссой 6.

1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3 Рассмотрим два линейных уравнения: Что называют системой уравнений? Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. y – 2 x = – 3 x + y = 3

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

Способы решения систем уравнений

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом 1. Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m. 2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции. 3. Строим графики функций в одной координатной плоскости. 4. Определяем число решений: Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения; Если прямые параллельны, то нет решений; Если прямые совпадают, то бесконечно много решений. 5. Записываем ответ.

1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y y=10 — x y=x+2 у – х = 2, у + х = 10; у = х + 2, у = 10 – х ; Построим график первого уравнения х у 0 2 -2 0 у = х + 2 Построим график второго уравнения у = 10 – х х у 0 10 10 0 Ответ: (4; 6) Решение системы графическим способом Выразим у через х

Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3 у = 3 – x у = 2x – 3 x y 0 3 x y 0 3 3 0 – 3 3 A(0;3) B(3;0) C(0; – 3) D(3;3) M(2;1) X=2 у =1 Ответ: (2; 1)

Y=0,5x-1 Y=0,5x+2 x x y y 0 2 2 3 0 -1 2 0 A(0;2) B(2;3) C(0;-1) D(2;0) Решим систему уравнений : Y= 0 ,5 x+2 Y= 0,5x-1 Графики функций параллельны и не пересекаются. Говорят, что система несовместна. Ответ: Система не имеет решений.

Y=x+3 Y=x + 3 x y 0 — 3 x y 1 -1 3 0 4 2 A(0;3) B( — 3;0) C( -1 ; 2 ) D( 1 ; 4 ) Система Y=x+3 Y=x+3 Графики функций совпадают. Говорят, что система неопределенна Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Если система уравнений имеет бесконечно много решений, то она называется неопределённой. Достоинство графического способа – наглядность. Недостаток графического способа– приближённые значения переменных.

Проверим, что у нас получилось !

Зарядка для глаз

Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)

Решите систему уравнений графическим способом (памятка) Х 0 2 У у = 3 х + 4 у = 3 х — 2 х 0 -2 у у = 3 х — 2 у = 3 х + 4

1 группа Решите систему уравнений графическим способом у = 2 х — 3 у = — х + 3 2 группа у = 0,5 х + 1 у = 3 х — 4 Самостоятельная работа

Проверим, что у нас получилось ! вывод: 1) угловые коэффициенты не равны , 2) прямые пересекаются. у х х у . . . . А(2;1) . . . . . . В(2;2) У = 2х — 3 У = — х + 3 У = 0,5 х + 1 У = 3 х — 4 Ответ: А ( 2; 1) Ответ: В ( 2; 2)

Найдём координаты точек пересечения графиков 2х – 3 = — х + 3, 2х + х = 3 + 3, 3х = 6, х = 2, у = 2 • 2 — 3, у = 1. Ответ: А ( 2; 1). 3х – 4 = 0,5х + 1, 3х – 0,5х = 1 + 4, 2,5х = 5, х = 2, у = 3 • 2 – 4, у = 2. Ответ: В ( 2; 2).

Решите систему уравнений графическим способом х 0 3 у У = — 3х + 6 у = 2х — 4 х 0 1 у у = 2х — 4 у = — 3х + 6

Домашнее задание: § 26, № 1011, 1017, 1024 (доп.)

3 4 1 2 Методика «Мухомор» Научился ли я решать систему графическим методом; понял ли я алгоритм решения систем линейных уравнений графическим методом; смогу ли я использовать при решении частные случаи; могу ли я по виду системы узнать о количестве решений системы.

С п а с и б о за у р о к Б ы л о п р и я т н о с В а м и р а б о т а т ь!

Источник