Решение сфероидических треугольников по способу аддитаментов

Решение сферического треугольника по теореме лежандра и способу аддитаментов

РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТЕОРЕМЕ

ЛЕЖАНДРА И СПОСОБУ АДДИТАМЕНТОВ

Треугольник триангуляции 1-го класса

Определить координаты точки С.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

При помощи программы Prima решаем обратную геодезическую задачу и определяем длину стороны с:

Таблица 1

Решение обратной геодезической задачи

2. Теорема Лежандра утверждает: если стороны плоского и сферического треугольника соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Если обозначить А, В, С углы сферического треугольника, полученные из измерений, а — сферический избыток и вычислить:

; ; ;

;

(вычисляется по средней широте),

то А / , В / , С / есть углы плоского треугольника, стороны которого равны соответственно сторонам сферического треугольника.

Вычисление сферического избытка выполняется в таблице 2.

Таблица 2

Вычисление сферического избытка

3. Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра выполняется в таблице 3.

Стороны плоского треугольника вычисляем по теореме синусов, используя уравненные углы плоского треугольника и известную сторону.

4.Решим сферический треугольник по способу аддитаментов, принимая следующее утверждение:

если углы плоского треугольника равны соответствующим углам сферического, то стороны плоского треугольника меньше соответствующих сторон сферического на величину аддитамента.

Для сторон треугольников меньше 100 км аддитаменты вычисляются по формулам:

K =1/6 R 2 (значение длин сторон берется в км, аддитаменты получаем в м).

Вычисления производим в таблице 4.

По известной стороне сферического треугольника находим аддитамент и сторону плоского треугольника: S _{плоского}= S _{сферического}-А.

Применяя теорему синусов, по известной стороне плоского треугольника и по углам находим значения недостающих сторон плоского треугольника. Вычисляем аддитаменты найденных сторон и определяем стороны сферического треугольника по формулам: S _{сферического}=Sплоского+А.

5. Вычисляем азимуты направлений АС и ВС, используя уравненные углы сферического треугольника и азимут направления АВ.

6. Используя программу Prima решаем прямую геодезическую задачу и вычисляем широту и долготу точки С от двух исходных точек (А и В).

Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра

Источник

2.2. Решение треугольников по способу аддитаментов.

Сохраняя прежние обозначения для сферического треугольника ABC имеем:

.

Раскладывая и в ряд и ограничиваясь первыми 2-мя членами разложения, будем иметь

или в логарифмическом виде:

(2.4)

lg(1 + x) = μ x — μ +…,

где μ – переходный модуль от натуральных к десятичным логарифмам.

. (2.5)

Величины называются аддитаментами и обозначаются соответственно A_b, A_a.

(2.6), (2,7)

Пусть имеем цепь треугольников рис. 2.3, тогда

. (2.8)

Если в логарифм исходной стороны a ввести поправку — A_a, т.е. вычислить lg a΄=lg a — A_a и с этим новым значением a΄ исходной стороны вычислить стороны треугольников, рассматривая их сферические углы как углы плоских треугольников, то получим:

. (2.9)

Отсюда вытекает следующий порядок вычислений сторон сферических треугольников по способу аддитаментов:

1) из логарифма исходной стороны вычитается ее аддитамент и таким образом вычисляется 1ga‘,

2) с исправленным значением логарифма исходной стороны решаются треугольники как плоские без изменений сферических углов, т. е. определяются lg b‘, lg c‘, lg d‘;

3) вычисленные значения lg b‘, lg c‘, lg d‘ исправляют соответственными аддитаментами по формулам (2.9) и получают искомые значения сторон треугольников триангуляции.

Радиус шара, необходимый для вычисления аддитаментов, теоретически должен иметь свое, значение для каждого треугольника, а именно: он должен быть равен среднему радиусу кривизны для средней широты треугольника. Однако практически при вычислении треугольников по способу аддитаментов достаточно получить радиус для некоторой средней точки триангуляции, расстояние которой от крайних треугольников не должно превышать некоторого предела, зависящего от точности вычислений. Найдем это расстояние.

Определим изменение аддитамента в зависимости от изменения R:

.

Поставив условие, чтобы ошибка в аддитаменте, обусловленная неточностью принятой широты, не превышала 0,5 единицы 8 знака логарифма (т.е. ), и положив, что s =50 км (А_s=45·10 -7 ) получим:

Следовательно, составив таблицу аддитаментов для какой-либо широты, средней для данной триангуляции, мы можем пользоваться этой таблицей для решения треугольников, отстоящих на 5° по широте к северу и югу от точки с данной широтой. Другими словами, в пределах пояса, ограниченного параллелями, шириной в 1000 км, мы можем не считаться с изменением R₁, если только аддитаменты вычислены для средней широты взятого пояса.

.

В семизначных логарифмических таблицах на каждой странице внизу приводятся величины:

где А_x — аддитамент аргумента х, выраженного в секундах, следовательно,

.

Таким образом, если стороны треугольников выразить в угловой мере, то аддитаменты можно вычислять, пользуясь указанными логарифмическими таблицами.

Рассмотрим пример решения треугольника по способу аддитаментов.

Источник

Лабораторная работа: Решение сфероидических треугольников

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего

«СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ» (ГОУ ВПО «СГГА»)

Кафедра высшей геодезии

Лабораторная работа №2

Решение сфероидических треугольников.

ст.гр. АГ-41 Телеганов Н.А.

1. Кратко изложить основные положения теории замены сфероидического треугольника сферическим при заданных искажениях эле­ментов треугольника с приведением необходимых чертежей и окончательных формул.

2. Описать последовательность решения сферических треуголь­ников с применением теоремы Лежандра и по способу аддитаментов.

Решить треугольники своей сети по способу аддитаментов, а затем, используя вычисленные стороны, решить эти же треугольники как линей­ные с применением теоремы Лежандра.

1. Что такое сфероидический треугольник?
2. При каких размерах сторон сфероидические треугольники можно решить как сферические, если требуется определить элементы треугольника с точностью 1·10 -6 ?
3. В чем отличие решения сфероидических и сферических треугольников?
4. Что такое аддитамент стороны, и как он вычисляется?
5. Сформулировать теорему Лежандра и привести формулу перехода от угла сфероидического треугольника к плоскому при больших сторонах.
6. Как вычисляется сферический избыток ε при сторонах меньших и больших 90 км?

Каковы возможные теоретические пределы изменения ε?

Решение сфероидических треугольников

Виды геодезических треугольников и условия замены сфероидических треугольников сферическими

Треугольники на любой поверхности, образованные геодези­ческими линиями называются геодезическими . Однако, такое общее название треугольников (по виду сторон, образующих их) не всегда является удобным. Так, например, на плоскости треуголь­ник, образованный прямыми линиями, есть геодезический, на сфе­ре, образованный дугами больших кругов, так же является геоде­зическим и т. д. Гораздо удобнее треугольники, стороны которых есть геодезические линии, называть по принадлежности их к по­верхности: на плоскости — плоские , на сфере — сферические , на эллипсоиде — сфероидические .

Для образования сфероидического треугольника на поверх­ности эллипсоида необходимо в каждое непосредственно измерен­ное горизонтальное направление ввести поправку за переход от азимута нормального сечения к азимуту геодезической линии. Вводить поправки в измеренные стороны не следу­ет, т.к. сторона после ее редуцирования на эллипсоид будет представлять собой нормальное сечение, длина которого с очень высокой точностью равна длине, соответствующей геодезической линии.

Решение сфероидических треугольников представляет собой сложную задачу. Сложность этой проблемы обусловлена переменной кривизной поверхности эллипсоида.

Так, если взять два сфероидических треугольника с одина­ковыми сторонами, но расположенных под разными широтами по­верхности эллипсоида, то соответствующие их углы, в общем слу­чае, равны не будут. Аналогично не будут равны и стороны треу­гольников, расположенных под разными широтами, у которых углы и одна (исходная) сторона соответственно равны.

Поэтому, сфероидические треугольники решать без учета из­менения кривизны нельзя. Однако, в теории математики отсутс­твует специальный математический аппарат, позволяющий решать треугольники в замкнутом виде на любой поверхности, подобно тому, как это сделано для плоскости и сферы.

Поверхность земного эллипсоида по своей форме близка к сфере (α=1:300), и поэтому, можно ожидать, что элементы сфероидического треугольника будут мало отличаться от соответс­твующих элементов сферического треугольника с надлежаще подоб­ранным радиусом шара. Причем, очевидно, эти различия будут прямо пропорциональны размерам треугольников: чем меньше длины сторон треугольников, тем меньше их искажения и наоборот.

Найдём наибольшие размеры сторон сфероидического треугольника, при которых замена его сферическим будет вызывать ошибки в элементах треугольника, не превышающие наперед заданной величины.

Решение этой задачи выполним с использованием отображения части поверхности эллипсоида на шар, радиус которого примем равным среднему радиусу кривизны эллипсоида

в некоторой точке О (рис. 1),

выбранной в центре отображаемого участка поверхности эллипсои­да, ограниченного геодезической окружностью радиуса S_o .

Приняв точку О за полюс системы полярных координат S_o и А, отобразим часть поверхности эллипсоида на шар таким обра­зом, чтобы полярные координаты точки Q ₁ ‘ на шаре не изменя­лись.

Тогда, при таком способе изображения линейные искажения в точке Q ₁ ‘ в направлении Q ₁ ` o ` (дуги большого круга) будут от­сутствовать, а в перпендикулярном направлении Q ₁ ` Q <sub>2</sub> ` (дуги ма­лого круга) будут наибольшими.

Обозначая длины элементарных дуг Q ₁ Q ₂ и Q ₁ ` Q ₂ , . как этопоказано на рис 1, можно найти наибольшие относительные линейные искажения ΔS:S, как:

(1)

Здесь m — величины, представляющие собой в общем случае некоторые функции полярных координат. В геодезии эти величины называют приведенной длиной геодезической линии.

На шаре (рис. 2) при­веденной длине дуги большо­го круга ( с полюсом в точ­ке О’) будет соответство­вать радиус кривизны ге­одезической окружности (ма­лого круга ). Поэтому, для шара, непосредствен­но из чертежа (рис. 2), можно написать

(2)

Для поверхности эллипсоида приведенная длина геодезичес­кой линии m_э не имеет такой простой геометрической интерпрета­ции как для сферы, поэтому, полагая, что m_э есть функция длины геодезической линии S_o , можно написать:

Очевидно f(o) = m₀ есть приведенная длина геодезической линии, вычисленная для точки 0 (рис. 1) и, тогда:

(3)

Для получения производных приведенной длины геодезической линии по длине S_o можно воспользоваться формулой (2), в ко­торой для поверхности эллипсоида следует радиус считать вели­чиной переменной.

Дифференцируя выражение (2) по S_o последовательно, на­ходим:

В этих формулах через «к» обозначена полная кривизна по­верхности эллипсоида.

(4)

Приведенная длина геодезической линии и ее производные в формуле (3) должны вычисляться по аргументам точки 0, для которой S_o = 0. Но при S_o = 0 , m₀ как функция расстояния S_о , очевидно, также должно быть равно нулю, а производные примут следующие значения:

Подставляя производные в формулу приведенной длины (3), находим

(5)

По этой формуле, вообще говоря, можно вычислять приведен­ную длину геодезической линии для любой поверхности, а не только поверхности эллипсоида вращения. Для этого достаточно знать только полную кривизну поверхности и ее производные.

Так, например, для плоскости К₀ = 0 и, поэтому, приведен­ная длина для плоскости равна самой длине линии.

Для сферы К_о = 1 / R_o 2 , а производные полной кривизны бу­дут равны нулю, отсюда для сферы имеем:

(6)

Если в формуле приведенной длины дуги большого круга (2) си­нус заменить рядом, то, с точностью до членов пятого порядка малости, получим формулу (6).

Для получения формулы приведенной длины геодезической ли­нии поверхности эллипсоида вначале найдем производную полной кривизны:

Продифференцировав формулу полной кривизны (4) по широ­те, а затем умножив полученное равенство на выражение производной dB/dS, находим

Подставив производную К₀ ‘, а также полную кривизну по­верхности эллипсоида (4) в выражение (5), получаем оконча­тельно формулу вычисления приведенной длины геодезической ли­нии на поверхности эллипсоида

(7)

Имея выражения для приведенных длин геодезических линий сферы и поверхности эллипсоида вращения, нетрудно теперь полу­чить по формуле (1) относительные линейные искажения.

Подставляя в числитель формулы (1) выражения (6) и(7) , а в знаменателе с достаточной точностью можно ограни­читься m_э

Из этой формулы видно, что наибольшие линейные искажения будут при Во = 45° и Ао = 0°. Следовательно,

Формула (8) позволяет установить размеры области по­верхности эллипсоида, ограниченной геодезической окружностью, в пределах которой линейные искажения при отображении ее на сферу не могут превзойти наперед заданных величин.

Если, ориентируясь на точность первоклассных геоде­зических построений, принять (ΔS/S)max -8 , то по формуле (8) находим радиус геодезической окружности, равный 133 км. А так как вписать в окружность радиуса 133 км можно треугольник со сторонами порядка 250-270 км то, следовательно, сфероидические треугольники со сторонами, не превышающими 270 км, можно решать как сферические, при этом относительные иска­жения их элементов не будут превышать 1*10 -8 . Радиус сферы, при решении таких треугольников, следует принимать равным среднему радиусу кривизны для центра тяжести сфероидического треугольника.

Решение сферических треугольников

Решение сферических треугольников, с точки зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необ­ходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии.

В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать тре­угольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона (триангуляция), либо три стороны (триллатерация). Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии.

Выражая стороны сфери­ческого треугольника (рис.3) в частях радиуса сферы:

при заданных углах А, В, D и стороне а , находим:

Название: Решение сфероидических треугольников Раздел: Рефераты по математике Тип: лабораторная работа Добавлен 17:37:25 08 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 788 Комментариев: 19 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

(10)

Если в треугольнике известны все стороны, то на основании теоремы косинуса стороны, будем иметь:

(11)

(12)

Совершенно очевидно, приведенные алгоритмы — это не единственный путь решения сферических треугольников. Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными дан­ными.

На практике решение треугольников непосредственно по фор­мулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том слу­чае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется в ручную — не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредствен­но, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Действительно, в этом случае приходится с большой степенью точности вычислять ряд вспомогательных вели­чин (R, a/R, sin (a/R), sin (b/R)), которые в конечном итоге не нужны.

Для решения малых сферических треугольников с использова­нием настольной вычислительной техники разработаны два спосо­ба: способ аддитаментов и способ решения сферических треуголь­ников c применением теоремы Лежандра.

Суть способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сфери­ческого треугольника, и измененной (на аддитамент) исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плос­кого треугольника стороны поправок (аддитаментов).

Рассмотрим теоретические основы этого способа.

Полагая, что стороны сферического треугольника — малые величины (S 1/2 углы сферичес­кого и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А — А’):

(20)

И тогда из (19) с учетом (20), находим

Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

( формула Герона )

После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

(21)

Мож­но по аналогии написать формулы для разностей (В — В’) и (D— D’):

(22)

Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), нахо­дим для треугольника:

(23)

С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:

(24)

которые и выражают теорему Лежандра.

Если при разложении синусов в ряд удер­живались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

(25)

Где

Источник