Решение с2 математика координатным способом

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным способом

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (790 кБ)

Содержание презентации и методические рекомендации

№ пп	Слайд презентации	Методические рекомендации
1	Титульный слайд. Авторские данные	Вступительное слово учителя.
2	Содержание презентации	Содержание презентации является планом проведения уроков, а так же позволяет использовать отдельные фрагменты при повторении.

Очерчивает круг решаемых задач. 3 Куб в системе координат Фронтальное повторение: определение координат точки, вектора в пространстве.

Кнопка “домой” позволяет вернуться к содержанию. 4 Вспомним основные формулы Фронтальное повторение: нахождение координат вектора, длины вектора, середины отрезка по известным координатам точек. 5-7 Формулы и методы решения Знакомство с формулами:

• угол между прямыми;
• угол между прямой и плоскостью;
• угол между двумя плоскостями;
• расстояние от точки до плоскости;
• деление отрезка в заданном отношении.

Кнопка “домой” в слайде № 7 позволяет вернуться к содержанию. 8-11 Координаты вершин многогранников Новый материал:

Выработка навыков определения координат вершин многогранников в координатной системе. В каждом случае основание многогранника рассматривается отдельно.

Определены координаты вершин следующих правильных многогранников:

Кнопка “домой” в слайде №11 позволяет вернуться к содержанию. 12-17 Примеры решения задач Новый материал. Комментированное решение задач с четким определением этапов

Слайд №12 – нахождение угла между прямыми в кубе: нахождение координат вершин куба. Управляющая кнопки “вспомним?” дает возможность перейти на слайд №8, где определены координаты вершин куба, и вернуться обратно;

Определение координат векторов, (кнопка “вспомним” переходит на слайд №4)

Определение косинуса угла между прямыми по формуле (кнопка “вспомним” переходит на слайд №5)

Слайд № 13 – нахождение угла между прямой и плоскостью в правильной шестиугольной призме:

Нахождение координат вершин (кнопка “вспомним” переходит на слайд №9);

Нахождение координат вектора;

Разбор алгоритма определения координат нормального вектора к плоскости;

Нахождение угла между прямой и плоскостью (кнопка “вспомним” переходит на слайд №5)

Слайд №14 – нахождение угла между прямой и плоскостью в правильной четырехугольной пирамиде:

Нахождение координат вершин (кнопки “вспомним” переходят на слайды №4,10);

Нахождение уравнения плоскости, координат вектора нормали;

Нахождение угла между прямой и плоскостью (кнопка “вспомним” переходит на слайд №5)

Слайд № 15 – нахождение расстояния от точки до прямой в кубе:

Определение координат вершин куба;

Нахождение координат основания перпендикуляра по формуле деления отрезка в заданном отношении (кнопка “вспомним” переходит на слайд №7)

Нахождение длины перпендикуляра. (кнопка “вспомним” переходит на слайд №4)

Слайд № 16 – нахождение расстояния от точки до плоскости в правильной шестиугольной призме:

Определение координат вершин;

Нахождение уравнения плоскости, координат нормали;

Нахождение расстояния по формуле (кнопка “вспомним” переходит на слайд №6)

Слайд №17 – нахождение расстояния между прямыми в кубе:

Рассмотрение искомого расстояния как расстояние между прямой и плоскостью;

Нахождение координат нормали;

Нахождение расстояния от точки до плоскости по формуле.

Кнопка “домой” в слайде № 17 позволяет вернуться к содержанию.

Использованная литература.

1. И.Беликова. “Задание С2: решаем методом координат”. Приложение “Математика”, №20/2010.
2. “ЕГЭ-2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов.” Под ред .А.Л.Семенова, И.В.Ященко – М., Национальное образование – 2011.
3. Материалы пробных ЕГЭ через систему СтатГрад, 2011, 2012 гг.

Источник

Решение задач С2 методом координат

Описание презентации по отдельным слайдам:

Дорофеева Лилия Ильинична учитель математики МБОУ СОШ №6, г.Нижнекамск Республики Татарстан Решение задач С2 методом координат

Единичный куб z x y A (1; 0; 0) A1 (1; 0; 1) B (1; 1; 0) B1 (1; 1; 1) C (0; 1; 0) C1 (0; 1; 1) D (0; 0; 0) D1 (0; 0; 1)

Правильная треугольная призма c a х у z O

Прямоугольный параллелепипед z x y с b a A (a; 0; 0) A1 (a; 0; c) B (a; b; 0) B1 (a; b; c) C (0; b; 0) C1 (0; b; c) D (0; 0; 0) D1 (0; 0; c)

Прямоугольная шестиугольная призма z y x a b C B A a a D E F C(a; 0;0) C1 (a; 0;c) F (- a; 0;0) F1 (- a; 0;c)

Правильная четырёхугольная пирамида z y x a h

Правильная шестиугольная пирамида z x y C (a; 0;0) a h

Правильная треугольная призма х у z H a с

Правильная треугольная пирамида х y O z H h

Угол между прямой и плоскостью Прямая а образует с плоскостью угол . Плоскость задана уравнением: ах+ву+сz+d=0 и — вектор нормали, Синус угла определяется по формуле:

Угол между прямыми Вектор лежит на прямой а, Вектор лежит на прямой в. Косинус угла между прямыми а и в:

Угол между плоскостями 1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана уравнением: и ее вектор нормали плоскость задана уравнением и ее вектор нормали . Косинус угла между плоскостями:

Расстояние от точки до плоскости Расстояние h от точки до плоскости , заданной уравнением ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:

Примеры решения задач 1. В единичном кубе найти угол между прямыми и х y z Введем систему координат и найдем координаты точек A (0; 0; 0), B (1; 0; 0) , B1 (1; 0; 1) , C1 (1; 1; 1) Находим координаты направляющих векторов прямых и по формуле 1. Косинус угла между прямыми определяется по формуле 1.1:

х z y 2.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью Плоскость совпадает с плоскостью грани ; зададим ее с помощью точек Уравнение плоскости примет вид Вектор нормали : Синус искомого угла: Введем систему координат и находим координаты нужных точек. Найдем координаты вектора Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости

3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD, где Е- середина ребра SC х y z Координаты точки Е определим по формуле 3: Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0 Из того, что следует, что d=0, b+d=0 и : Отсюда получим, что и уравнение плоскости ADS примет вид: . Вектор нормали Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2

х y z 4.В единичном кубе А… ,найти расстояние от точки А до прямой Находим координаты точек , вектора Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК. Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении , то координаты точки К определяются по формуле 1.5: К

5.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости х y z Координаты точек Подставив координаты точек в общее уравнение плоскости получим систему уравнений: Уравнение плоскости примет вид: Вектор нормали: Вычислим расстояние h от точки А до плоскости по формуле 1.4:

6.В единичном кубе , найти расстояние между прямыми и х y z При параллельном переносе на вектор прямая отображается на прямую . Таким образом, плос-кость содержит прямую и параллельна прямой . Расстояние между прямыми и находим как расстояние от точки В до плоскости Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости . Так как Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0.. Вектор нормали Расстояние h от точки до плоскости находим по формуле

Литература: 1.Каталог задач: www.problems.ru 2.Образовательный портал»Физ/мат класс»: www.fmclass.ru 3.Открытый банк задач: www.mathege.ru 4.Федеральный институт педагогических измерений: www.fipi.ru

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 807 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 603 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: 90303043040

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минобрнауки учредит именные стипендии для студентов из малочисленных народов

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В 16 регионах ввели обязательную вакцинацию для студентов старше 18 лет

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Метод координат в задачах С2

Приведение метода координат

при решении задач С2 варианта ЕГЭ

Покрова Людмила Николаевна,

3.Варианты расположения системы координат……………………………………………..6

5.Алгоритмы решения задач на нахождение расстояний в пространстве……9

5.1 Расстояние между двумя точками…………………………………………………..9

5.2 Расстояние от точки до прямой……………………………………………………. 9

5.3 Расстояние от точки до плоскости………………………………………………….10

5.4 Расстояние между скрещивающимися прямыми………………………….11

6.Алгоритмы решения задач на нахождение углов в пространстве…………….12

6.1 Угол между двумя прямыми…………………………………………………………..12

6.2 Угол между прямой и плоскостью………………………………………………..…13

6.3 Угол между двумя плоскостями………………………………………………….…..15

Для учеников старших классов самой насущной проблемой является подготовка к Единому государственному экзамену. Причем не все ученики уверенно решают задания части С, а некоторые и не берутся за их решение. В аналитических материалах ЕГЭ по математике, представленных на сайте Министерства образования и науки Челябинской области, приведены результаты решения заданий С1- С6 за 2010-2012 годы (в %).[1]

Уметь решать уравнения и неравенства

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Уметь решать уравнения и неравенства

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Уметь решать уравнения и неравенства

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Анализ таблицы показывает снижение уровня выполнения заданий части С, но особенно низкие показатели по решению заданий С2 и С4 в которых надо решить геометрическую задачу. При решении задания С2 ученику чаще всего необходимо найти либо расстояние (между прямыми, прямой и плоскостью, от точки до плоскости и т.д.), либо углы (между прямыми, прямой и плоскостью и между плоскостями).

Мы провели опрос среди учеников нашего класса. Каждый ответил на три вопроса:

1.Беретесь ли вы за решение задания С2?

2.Всегда ли вам удается решить его?

3.Что вызывает у вас затруднения?

Из 27 учащихся класса 17 берутся за выполнение задания, и только 7 всегда доходят до ответа. Остальные сталкиваются с различными проблемами: одни не видят отрезков и углов, другие не могут свести стереометрическую задачу к планиметрической, третьи делают ошибки при нахождении необходимых для решения элементов.

В курсе геометрии применяются различные способы решения задач – как универсальные (можно использовать не только в геометрии) — поэтапно-вычислительный, метод введения переменной, метод координат, графический и т.д., но и геометрические – метод треугольников, метод площадей, метод подобия, метод геометрических построений и т.д.

В школьном курсе геометрии большое внимание уделяют поэтапно–вычислительному методу, но его применение требует от учеников не только достаточного объема теоретических знаний и способов их применения, но и интуиции, догадок, дополнительных построений. При этом способ решения координально меняется в зависимости от вида многогранника, а также фигуры, лежащей в его основании. С помощью поэтапного вычисления решается много задач С2 , но встречаются и такие, которые вызывают затруднение. В таком случае метод координат наиболее выигрышный, так как при его применении решение задачи во многом алгоритмизировано, и при изменении многогранника меняются только значения координат, а алгоритм решения остается прежним. Поэтому в большинстве случаев упрощается поиск способа и само решение задачи.

Координатный метод решения задач позволяет решить задачи не только математики, но и физики, астрономии. Но в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.

Так как мы ученики 11 класса и для нас важны результаты ЕГЭ, то пытаемся изучить как можно больше методов решения, которые помогут нам при выполнении заданий части С и одним из них на наш взгляд, является метод координат.

Метод координат и его применение к решению задач геометрии.

Применение метода координат к решению задач типа С2 ЕГЭ.

изучить историю появления метода координат;

раскрыть содержание метода координат, обобщить основные формулы;

составить алгоритмы решения задач и показать их поэтапное применение;

подобрать задания, позволяющие отработать каждый из алгоритмов;

составить рекомендации для начинающих решать задачи методом координат.

Для решения поставленных перед собой задач изучим литературу по данной теме, осуществим поиск способов решения заданий на нахождение расстояний и углов в пространстве и составим алгоритмы их решения.

1. История метода координат

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла еще в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского ( около 601- 546 до н.э ) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, использую прямоугольные проекции.
Более чем за 100 лет до н.э греческие ученые Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известно географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.
Идея изображать числа в виде точек, а точкам числовые обозначения зародилось в далёкой древности. Первоначальное применение координат связанно с астрономией и географией, с потребностью определять положение святил на небе неопределенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идей прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга современного метода координат принадлежит Французскому математику Рене Декарту. До наших времен дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставшим обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)- того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовом на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, которой каждое место получала номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в Парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарта впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также- Декартова система координат.

Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатные методы только на плоскости. Координатный метод трехмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

2. Система координат

Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. [2] Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, параболическая, цилиндрическая, сферическая и др.

Но наиболее используемая – прямоугольная система координат(так же известная как декартова система). Ею и пользуются для решения задач.

Декартова прямоугольная система координат задается с помощью:

точки – начала координат,

трех взаимно перпендикулярных прямых называемых осями координат ( Ох – ось абсцисс , Оу – ось ординат и О z – ось аппликат) на каждой прямой выбрано направление положительных чисел,

плоскостей хОу, хО z , уО z –координатных плоскостей.

Положение любой точки в пространстве определено с помощью трех чисел – величин проекций на координатные оси. Числа называют координатами точки.

Источник