Способы решения показательных уравнений
Разделы: Математика
Урок посвящен изучению нового материала и построен в форме лекции с элементами беседы. Показательные уравнения являются обязательным элементом подготовки выпускников, а потому достаточно часто встречаются в заданиях ЕГЭ. На последующих уроках отрабатываются рассмотренные способы решения показательных уравнений. Для более полного усвоения темы учащиеся выполняют индивидуальное задание, состоящее из 10 уравнений различных видов. Урок сопровождается компьютерной презентацией (Приложение 1).
1. Изучение нового материала
Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.
Примеры показательных уравнений:
В ходе беседы выявляется характерная особенность этих уравнений – переменная находится в показателе степени. Далее учащимся на интерактивной доске предлагается задание, направленное на «узнавание» показательных уравнений. Анимация настроена так, что при верном выборе уравнение увеличивается в размере.
Выберите показательные уравнения:
Учащиеся выбирают уравнения №№ 2, 3, 4, 6, 8, эти уравнения предлагается записать в тетрадь для решения дома.
2. Способы решения показательных уравнений
Выделяют две группы способов: графический и аналитические.
2.1. Вспомним суть графического способа решения уравнений:
- Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);
- Найти абсциссы точек пересечения графиков;
- Записать ответ.
Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2 x = 4 Построим графики функций y = 2 x , y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2.
Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.
2.2. Аналитические способы:
- Приравнивание показателей;
- Вынесение общего множителя за скобки;
- Введение новой переменной;
- Использование однородности.
Рассмотрим каждый способ подробнее и разберем на примере.
2.2.1. Приравнивание показателей.
1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.
2.2.2. Вынесение общего множителя за скобки
Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.
2.2.3. Введение новой переменной
Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.
Пример: 
Пусть 4 x = а тогда уравнение можно записать в виде:
Сделаем обратную замену:
2.2.4. Использование однородности
Определение Показательные уравнения вида 
называются однородными.
Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на 
.
Разделим обе части уравнения на 
3. Первичное закрепление материала
Учащимся предлагается выбрать способ решения для каждого из уравнений, записанных в тетради для решения дома:
Далее на интерактивной доске решаются уравнения (после решения уравнение «растворяется», и появляется новое, что очень удобно):
4. Подведение итогов урока, домашнее задание
Итоги урока: вопросы, обсуждение того, что на уроке было непонятно, что понравилось, выставление оценок за урок.
Задание на дом: конспект; выписанные 5 уравнений.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник/ Под ред. А.Г.Мордковича. – М.:Мнемозина, 2003. – 315с.
- Кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по математике, «Федеральный институт педагогических измерений», 2011.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл.сред.школы. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник. – М.:Мнемозина, 2002. – 375с.
Источник
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Источник
Показательные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)
Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.
Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.
Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.
Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам! И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера!
Показательные уравнения — коротко о главном
Показательное уравнение:
1\) называется простейшим показательным уравнением.
Свойства степеней:
| Произведение степеней | \( <^ \( <^ |
| Деление степеней | \( \frac<<^ \( \frac<<^ |
| Возведение степени в степень | \( <<\left( <^ |
Подходы к решению:
- Приведение к одинаковому основанию
- Приведение к одинаковому показателю степени
- Замена переменной
- Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных
Что такое показательные уравнения
Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:
Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2
Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:
А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:
Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).
Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:
\( \begin
Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.
Как еще это можно проверить?
А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle <<2>^<4>>=16\).
Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.
И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)
где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.
Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024=<<2>^<10>>\), тогда моя задачка запишется в виде:
\( \displaystyle <<2>^
Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:
И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.
Вот тебе еще один пример:
Но что же делать?
Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).
Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:
откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,
Давай более не будем тянуть и запишем определение:
Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.
1\) называется простейшим показательным уравнением.
В нашем с тобой случае: \( \displaystyle <<1000>^
Решаются эти уравнения сведением их к виду:
\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)
Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,
И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).
Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.
Тренировка на простых примерах
Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.
Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).
Но ничего страшного, ведь \( 81=<<3>^<4>>\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:
Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?
Правило «степени в степени», которое гласит:
Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?
Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:
для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:
поэтому уравнение \( <<2>^
Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:
| \( <<2>^ | \( 0\) | \( 1\) | \( -1\) | \( 2\) | \( -2\) | \( 3\) | \( -3\) | \( 4\) | \( -4\) |
| \( x\) | \( 1\) | \( 2\) | \( \frac<1><2>\) | \( 4\) | \( \frac<1><4>\) | \( 8\) | \( \frac<1><8>\) | \( 16\) | \( \frac<1><16>\) |
Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( <<2>^
И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА.
Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( <^<(x)>>>0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).
Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( <<2>^
А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( <^
Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:
Давай сверяться:
1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)
Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac<<<3>^<2x+1>><<3>^<2(x+2)>>><<<3>^<3x>>>=<<3>^<5>>.\)
Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:
При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.
Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:
2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( <<4>^<(3x+1)>>\) и \( <<625>^<(x/2)>>\) в виде степени одного и того же числа.
В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:
Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot <<64>^
Что же нам это дало? А вот что:
Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:
Применительно к моей ситуации это даст:
3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).
Перенесу слагаемое с минусом вправо:
Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:
Сложу степени слева и получу равносильное уравнение
Ты без труда найдешь его корень:
4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!
Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?
Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:
Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!
Источник
