Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Источник
«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных». 11-й класс
Разделы: Математика
Класс: 11
Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.
– повторить известные способы решения показательных уравнений;
– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;
– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;
– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;
– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;
– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;
– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
– формировать грамотную математическую речь;
– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.
Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.
Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.
Запишите тему урока: “Решение показательных уравнений”, но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.
2. Актуализация знаний.
Устная работа с классом.
1)  =32; | 5)  = – 25; |
2)  =81; | 6)  ; |
3)  = ; | 7)  = ; |
4)  =27; | 8)  . |
3. Постановка проблемы.
Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду 
или 
. Последнее уравнение решить таким способом не удается.
Обратите внимание: 
. Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = 
и решить полученное квадратное уравнение.
Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.
Уточним тему урока: “Решение показательных уравнений с помощью замены переменных”.
4. Изучение нового материала.
Пусть у = 
, причем у > 0.
Уравнение примет вид 
.
Решим это уравнение: 
= –1; 
= 5.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 5; х = 1.
Решим уравнение 
.
Перепишем его в виде 
.
Далее решает ученик у доски с комментированием.
Пусть 
, причем у > 0.
3у – 8 = 
; 3
– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;
Решим это уравнение: = –
; = 3.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 3; х = 1.
Решим уравнение 
.
Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.
Перепишем уравнение в виде 
Разделим обе части уравнения на 
: 
.
Далее решает у доски ученик с комментированием.
Пусть у =
, причем у > 0.
Уравнение примет вид 
.
.
Решим это уравнение: = 1; =
.
= 1; х = 0. = 
; х = 1.
Можно было делить на 
? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =
.
5. Первичное закрепление изученного материала.
Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.
Два ученика работают за крыльями доски.
 . Перепишем в виде Пусть у +
Решим это уравнение:
Ответ: 1; 2. |  Разделим обе части уравнения на Пусть у = Уравнение примет вид Решим это уравнение:
Ответ: |
.
= 12;
: 
.
, причем у > 0.
.
.
; 
; 
= 2; х = 
.
.6. Самостоятельная работа.
Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.
7. Итог урока.
- Обсуждение результатов самостоятельной работы.
- Кто выполнил правильно все задания?
- Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
- Повторим, какие приемы использовали при решении показательных уравнений.
- Оцените свою работу на уроке.
- Вам предстоит еще раз применить полученные знания при выполнении домашнего задания: № 464(в,г), 470(в,г), 166(г) (стр. 299).
Источник
Конспект урока в 11 классе «Решение показательных уравнений с помощью замены переменных»
Разработка урока в 11 классе по теме
«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных».
Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.
– повторить известные способы решения показательных уравнений;
– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;
– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;
– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;
– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;
– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;
– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
– формировать грамотную математическую речь;
– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.
Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.
Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.
Запишите тему урока: «Решение показательных уравнений», но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.
Устная работа с классом.
1) 
=32; 5) 
= – 25;
2) 
=81; 6) 
;
3) 
=
; 7) 
=
;
4) 
=27; 8) 
.
Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду 
или 
. Последнее уравнение решить таким способом не удается.
Обратите внимание: 
. Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = 
и решить полученное квадратное уравнение.
Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.
Уточним тему урока: «Решение показательных уравнений с помощью замены переменных».
4. Изучение нового материала.
Пусть у = , причем у > 0.
Уравнение примет вид 
.
Решим это уравнение: 
= –1; 
= 5.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 5; х = 1.
Решим уравнение 
.
Перепишем его в виде 
.
Далее решает ученик у доски с комментированием.
Пусть 
, причем у > 0.
3у – 8 = 
; 3
– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;
Решим это уравнение: = –
; = 3.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 3; х = 1.
Решим уравнение 
.
Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.
Перепишем уравнение в виде 
Разделим обе части уравнения на 
: 
.
Далее решает у доски ученик с комментированием.
Пусть у =
, причем у > 0.
Уравнение примет вид 
.
.
Решим это уравнение: = 1; =
.
= 1; х = 0. = ; х = 1.
Можно было делить на 
? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =
.
5. Первичное закрепление изученного материала.
Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.
Два ученика работают за крыльями доски.
Перепишем в виде 
.
Пусть , причем у > 0.
у +
= 12;
+ 27 = 12у;
– 12у +27 = 0.
Решим это уравнение: = 3; = 9.
= 3; х = 1. = 9; х = 2.
Разделим обе части уравнения на 
: 
.
Пусть у =
, причем у > 0.
Уравнение примет вид
.
Решим это уравнение: = – 1; =
.
не удовлетворяет условию у > 0.
= ; = 
; 
= 2; х = 
.
Ответ: .
Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.
Обсуждение результатов самостоятельной работы.
Кто выполнил правильно все задания?
Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
Повторим, какие приемы использовали при решении показательных уравнений.
Оцените свою работу на уроке.
Вам предстоит еще раз применить полученные знания при выполнении домашнего задания:
Источник
