Решение определений способом свойств

Основные правила составления определения понятия.

Одно и то же математическое понятие может быть определено различными способами. Например, такое простейшее понятие, как «треугольник», в разных учебниках по математике определяется по-разному:

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев»;
Многоугольник, имеющий три стороны, называется треугольником;
Если А, В и С — любые три точки, не лежащие на одной прямой, то объединение трех отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником.

Все эти определения, как и ранее приведенное, правильные. Однако иногда, воспроизводя определения, имеющиеся в учебнике, или строя определения самостоятельно, ученики и, не только они, допускают разные ошибки. Чтобы строить и воспроизводить определения математических понятий правильно, нужно знать основные требования к логическому определению понятий.

Рассмотрим эти требования, попутно указывая наиболее часто встречающиеся ошибки в определении математических понятий.

Определения должны быть научно правильными.

Это означает, что, определяя то или иное понятие, надо это сделать так, чтобы не исказить научный смысл этого понятия. Так, например, смысл понятия «отношение» (в математике) состоит в том, что оно есть какое-то число. Между тем иногда это понятие определяют так: «Отношение есть сравнение двух чисел или величин посредством деления». Но сравнение есть некоторый процесс, а не число. В данном случае неверно выбрано родовое понятие и тем самым искажен научный смысл определяемого понятия. Другой пример. Иногда приходится слышать от ученика такое определение: «Абсолютной величиной, или модулем числа, называется это число без знака». Получается, что существуют какие-то числа без знака, но таких чисел (кроме нуля) математика не знает: в математике рассматриваются лишь положительные, отрицательные числа и нуль, других чисел нет. Если число написано без знака, то это положительное число, а не какое-то «беззначное». Поэтому приведенное определение неверное.

Определения не должны содержать «порочного круга».

Один ученик на вопрос, что такое умножение, например, ответил: «Умножением называется действие отыскания произведения». Когда же его спросили, а что такое произведение, он с уверенностью заявил, что это результат умножения. Следовательно, у этого ученика получается, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение через понятие умножения. Получается «порочный круг» в определении. Ясно, что такой способ определения является грубо ошибочным. Еще пример ошибки «порочного круга» в определении: «Угол называется прямым, если его стороны перпендикулярны» и «Прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы». Схему этих двух определений можно изобразить так.

Как видим, эти определения действительно образуют «порочный круг». Следовательно, строя определения математических понятий, надо следить за тем, чтобы они не образовали друг с другом «порочного круга».

Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие.

Как бы ни было построено определение математического понятия, в нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию. Нарушение этого требования приводит к различным ошибкам. Так, например, иногда учащиеся, формулируя определения, вовсе не указывают родовое понятие. На вопрос, какие фигуры называется равновеликими, они отвечают: «Это если две фигуры имеют равные площади». Что означает «это», можно лишь догадываться. Или: на предложение сформулировать определение равнобедренных треугольников, иногда можно услышать такой ответ: «Это такие, у которых две стороны равны». Такая небрежность в формулировке определений недопустима. Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не ближайшее родовое понятие, а более широкое. Вот пример такого определения: «Параллелограмм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны». В этом определении указано не ближайшее для параллелограмма родовое понятие — «четырехугольник», а более далекое, более широкое — «фигура». И тем самым это определение становится неверным, ибо фигурой, у которой противоположные стороны параллельны, может быть не только параллелограмм, но и, например, правильный шестиугольник. Или другой пример. Давая определение диаметра круга, ученик сформулировал его так: «Диаметр круга есть прямая, проходящая через центр круга». Ученик указал в качестве родового понятия прямую, а ведь диаметр — это не вся прямая, а лишь отрезок прямой.

Определение не должно быть тавтологией, т. е. повторяющей в иной словесной форме ранее сказанное.

Сущность такой ошибки заключается в том, что понятие определяется через само себя. Вот примеры тавтологии в некоторых определениях: «Сложением называется действие, при котором числа складываются»(здесь сложение определено через понятие «складывание», что одно и то же). «Фигура А называется симметричной фигуре В, если они расположены симметрично относительно оси симметрии» (здесь «симметричные фигуры» определены через понятие «фигуры, расположенные симметрично»). Ясно, что такие определения являются грубо ошибочными.

Определение должно быть достаточным.

Это означает, что в определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия. Если же это требование нарушается, то под определение можно подвести не только объекты определяемого понятия, но и другие объекты. Так, например, иногда ученики дают такоеопределение смежных углов: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Недостаточность этого определения становится очевидной, если взглянуть на рисунок. На нем изображены две пары углов, сумма которых равна 180°, но они не смежные. Ошибка здесь в том, что указано лишь одно свойство смежных углов, оно недостаточно для их определения. Можно было бы, например, так определить их: «Смежными называются два угла, имеющие общую сторону, которые расположены в разных полуплоскостях от этой общей стороны и в сумме составляют 180°».

Например, медиану треугольника определили следующим образом: «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам». Очевидно, что и в этом определении указано недостаточное число признаков медианы. Поэтому под это определение подходят не только медиана треугольника, но и средняя линия (ведь и она делит сторону треугольника пополам) и вообще любой отрезок, делящий сторону треугольника пополам. Для построения правильного определения медианы треугольника надо добавить еще и такой признак: «Медиана выходит из вершины треугольника». Тогда получаем такое правильное определение: «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны».

Определение не должно быть избыточным.

Это означает, что в определении не должно быть указано лишних признаков, являющихся следствием других признаков определяемого понятия. Например, весьма часто встречается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны между собой». Это определение явно избыточное, ибо достаточно равенства двух смежных сторон параллелограмма для того, чтобы были равны все его стороны. Следовательно, правильнее определять ромб следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны». Вот другой пример: «Диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр круга». Здесь первый признак «наибольшая» является следствием второго признака «проходящая через центр», а второй является следствием первого. Поэтому правильное определение такое: «Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга» или: «Диаметром крута называется наибольшая хорда».

Мы указали лишь основные требования к определению математических понятий и привели примеры ошибок, возникающих при нарушении этих требований. Для того чтобы избежать таких ошибок, надо знать эти требования, учитывать их при формулировании тех или иных определений, учиться строить правильные определения.

Источник

Определение понятий. Способы определения понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определить понятие – это значит дать способ, позволяющий отделить объекты, охватываемые данным понятием, от всех других объектов изучения в зависимости от присущих им существенных свойств. Таким образом, определение (лат. «definitio» – «определение») понятий – логическая операция , в процессе которой раскрывается содержание понятия.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой указываются существенные (отличительные) свойства объекта изучения, достаточные для распознавания этого объекта, т.е. в процессе которой раскрывается содержание понятия либо устанавливается значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

По способу раскрытия свойств определяемого понятия различают неявные и явные определения. К неявным определениям относятся невербальные определения, к явным — вербальные определения (лат. слово «verbalis» означает «словесный»).

Невербальное определение – это определение значения понятия путём непосредственной демонстрации предметов или указания контекста, в котором применяется то или иное понятие.

Невербальные определения понятий используются в начальном курсе математики, так как младшие школьники обладают преимущественно наглядным мышлением, и именно наглядные представления о математических понятиях играют для них основную роль в обучении математике.

Невербальные определения разделяются на остенсивные (лат. слово «ostendere» – «показывать») и контекстуальные определения.

Остенсивное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается путём демонстрации объектов (указания на объекты).

1. Понятия «треугольник», «круг» «квадрат», «прямоугольник» в дошкольном образовательном учреждении определяются с помощью демонстрации соответствующих моделей фигур.

2. Таким же способом показа можно определить в начальном курсе математики понятия «равенство» и «неравенство».

3 · 5 > 3 · 4 8 · 7 = 56

15 – 4 18 17 – 5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

При ознакомлении дошкольников с новыми математическими понятиями в основном используются остенсивные определения.

Однако это не исключает в дальнейшем изучения их свойств, то есть формирования у детей представлений об объёме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл водимого понятия.

1. Понятия «больше», «меньше», «равно» в начальном курсе математики определяются с помощью указания контекста (больше на 3 – это значит столько же и ещё 3).

2. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, которые даются во 2 классе. В учебнике математики после записи + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим число неизвестное число буквой х (икс): х + 6 = 15 – это уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, т.к. 9+6=15. Объясни, почему числа 0,5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Иногда встречаются определения, сочетающие контекст и показ.

1. Нарисовав прямые углы, имеющие разное расположение на плоскости, и сделав надпись: «Это – прямые углы», учитель знакомит младших школьников с понятием «прямой угол».

2. Примером такого определения может служить следующее определение прямоугольника. На рисунке дается изображение четырехугольников и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это – прямоугольники».

Таким образом, на начальном этапе обучения учащихся математике чаще всего используются невербальные определения понятий, а именно, остенсивные, контекстуальные и их сочетание.

Необходимо отметить, что невербальные определения понятий характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение понятий путем показа или через контекст не всегда указывает на свойства, существенные (отличительные) для данных понятий. Такие определения только связывают новые термины (понятия) с некоторыми объектами или предметами. Поэтому после невербальных определений необходимо дальнейшее уточнение свойств рассмотренных понятий и изучение строгих определений математических понятий.

В средних и старших классах, в связи с развитием языка и накоплением достаточного запаса математических понятий, на смену невербальным определениям приходят вербальные определения понятий. При этом все большую роль начинают играть не наглядные представления о математических понятиях, а их строгие определения. Они основываются на свойствах, которыми обладают определяемые понятия.

Вербальное определение – перечисление существенных (отличительных) свойств данного понятия, сведенных в связное предложение.

В начальном курсе математики изучаемые понятия располагают в таком порядке, чтобы каждое последующее понятие можно было определить, опираясь на ранее изученные их свойства или ранее изученные понятия. Поэтому некоторые математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятия: «множество», «точка», «прямая», «плоскость». Они являются основными, базисными или неопределяемыми понятиями математики. Определение понятий можно рассматривать в виде процесса сведения одного понятия к другому, ранее изученному, и, в конечном счете, к одному из основных понятий.

Например, квадрат есть особый ромб, ромб – особый параллелограмм, параллелограмм – особый четырехугольник, четырехугольник – особый многоугольник, многоугольник – особая геометрическая фигура, геометрическая фигура – точечное множество. Таким образом, мы дошли до основных неопределяемых понятий математики: «точка» и «множество».

В этой последовательности понятий каждое понятие, начиная со второго, является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объёмы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения:

с: «параллелограмм», d: «четырехугольник», e: «многоугольник»,

f: «геометрическая фигура», q: «точечное множество». Наглядно объемы этих понятий можно изображать и на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 7).

Рассмотрим основные способы вербальных определений понятий.

I. Определение через род и видовое отличие – самый распространенный вид явных определений.

Например, определение понятия «квадрат».

«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Проанализируем структуру этого определения. Сначала указано определяемое понятие — «квадрат», а затем приведено определяющее понятие, в котором можно выделить две части: 1) понятие «прямоугольник», которое является родовым по отношению к понятию «квадрат»; 2) свойство «иметь все равные стороны», которое позволяет выделить из всевозможных прямоугольников один вид – квадрат, поэтому это свойство называют видовым отличием.

Видовым отличием называются свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемое понятие из объема родового понятия.

Следует иметь в виду, что понятия рода и вида относительны. Так, «прямоугольник» – это родовое к понятию «квадрат», но видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Кроме того, для одного понятия может существовать несколько родовых. Например, для квадрата родовыми являются ромб, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура. В определении через род и видовое отличие для определяемого понятия принято называть ближайшее родовое понятие.

Схематично структуру определений через род и видовое отличие можно представить следующим образом (рис. 8).

Определяемое понятие

Родовое понятие

Видовое отличие

Очевидно, что определяемое понятие и определяющее понятие должны быть тождественны, т.е. их объёмы должны совпадать.

По данной схеме можно строить определения понятий не только в математике, но и в других науках.

Следующие способы определения понятий являются частными случаями определения через род и видовое отличие.

II. Генетическое или конструктивное определение, т.е. определение, в котором видовое отличие определяемого понятия указывает на его происхождение или способ образования, построения (греч. слово «denesis» – «происхождение», лат. слово «constructio» – «построение»).

1. Определение понятия «угол».

«Углом называется фигура, образованная двумя углами, исходящими из одной точки». В этом примере понятие «фигура» является родовым, а способ образования этой фигуры – «образована двумя лучами, исходящими из одной точки» — является видовым отличием.

2. Определение понятия «треугольник».

«Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков».

В этом определении указано родовое понятие по отношению к треугольнику – «фигура», а затем видовое отличие, которое раскрывает способ построения фигуры, являющейся треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком.

III. Индуктивное определение или определение понятия с использованием формулы, позволяющей сформулировать общее отличительное свойство данного понятия (лат. слово «inductio» – «наведение» на рассуждение от частного к общему).

Например, определение понятия «функция прямой пропорциональности».

«Функцией прямой пропорциональности называется функция вида «y=kx, где xÎR, k≠0». В этом примере понятие «функция» — родовое понятие, а формула «y=kx, где xÎR, k≠0» — видовое отличие понятия «функция прямой пропорциональности» от других видов функций.

Рассмотренные способы определения понятий позволяют наглядно изобразить виды определения понятий на следующей схеме (рис. 9).