Решение одной задачи разными способами для 8 класса

Урок одной задачи — 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

На уроке рассматривается решение одного квадратного уравнения, но десятью способами, а затем по анологии можно решить и кубическое уравнение.

Скачать:

Вложение	Размер
urok_odnoy_zadachi.doc	39 КБ

Предварительный просмотр:

Урок одной задачи — 8 класс

Цель: Формирование личности, способной думать и отстаивать свое мнение.

Воспитание самостоятельности и умения самовыражения себя и понимания других.

Закрепить ранее полученные знания и восполнить пробелы.

Сегодня на уроке мы научимся решать всего одно уравнение, но несколькими способами.

Уравнение 3х 2 + 2х – 1 = 0

1 способ; по общей формуле:

2 способ: по формуле с четным коэффициентом:

3 способ: по теореме Виета:

3х 2 + 2х – 1 = 0 , разделим на 3

х 2 + 2/ 3 х — 1/3 = 0,

х 1 = — 1, х 2 = 1/3 .

4 способ: Из условия: если а + с = в, то х 1 = = 1, х 2 = — с/а

3х 2 + 2х – 1 = 0, где а = 3, в = 2, с – 1, тогда х 1 = — 1, х 2 = 1/3 /

5 способ: выделение полного квадрата

3х 2 + 2х – 1 = 0 , разделим на 3

х 2 + 2/3 х – 1/3 = 0,

( х 2 + 2*х*1/3 + 1/9 ) – 1/9 – 1/3 = 0,

( х + 1/3 ) 2 – 4/9 = 0,

( х + 1/3 – 2/3 ) ( х + 1/3 + 2/3 ) = 0,

( х – 1/3 ) ( х + 1 ) = 0,

х – 1/3 = 0 или х + 1 = 0,

6 способ: метод переброски старшего коэффициента

3 х 2 + 2 х – 1 = 0, умножим на 3

9 х 2 + 6 х – 3 = 0,

(3х) 2 + 2*3х – 3 = 0,

Пусть 3х = у, тогда у 2 + 2у – 3 = 0,

Но а + в + с = 0, значит, у 1 = 1, у 2 = с/а, т.е. у 2 = — 3.

Вернемся к подстановке:

7 способ: приведение к виду [ f ( x ) ] 2 = [d ( x ) ] 2

3x 2 + 2 х – 1 = 0,

4 х 2 = х 2 – 2х + 1,

( 2х 2 ) = ( х – 1 ) 2 , I 2х I = I x – 1 I,

2х = х – 1 или 2х = 1 – х,

2х – х = — 1, 2х + х = 1,

х = — 1 3х = 1 разделим на 3

8 способ: разложение на множители способом группировки:

3 х 2 + 2х – 1 = 0,

3х 2 + 3х – х – 1 = 0,

( 3х 2 + 3х )* ( х + 1 ) = 0,

3х ( х + 1 ) – ( х + 1 ) = 0,

( х + 1 )*( 3х – 1 ) = 0,

х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0,

х = — 1, 3х = 1 разделим на 3,

9 способ: уменьшение степени уравнения

подбором находим, что х = — 1 — корень данного уравнения

Разделим 3х 2 + 2х – 1 = 0 на ( х – х 1 )

( 3х 2 + 2х – 1 ) : ( х + 1 ) = 3х – 1

Данный трехчлен разложим на множители:

3х 2 + 2х – 1 = ( х + 1 )*( 3х – 1 )

( х + 1 )*( 3х – 1 ) = 0

х 1 = — 1, х 2 = 1/3

10 способ: графический

3х 2 + 2х – 1 = 0 разделим на 3,

х 2 + 2/3х – 1/3 = 0,

Построим графики двух функций: у = х 2 и у = -2/3 х + 1/3

Получим две точки пересечения графиков: А (0, 1/3 ) и В ( — 1, 1 )

Х 1 = — 1, Х 2 = 1/3

Итог: Сколько способов мы теперь знаем?

А какие способы узнали только сегодня на уроке?

Кубическое уравнение можно тоже решать несколькими способами:

1. способ группировки,
2. выделение формул: ( а + в ) 3 , ( а – в ) 3 ,
3. выделение формул: а 3 + в 3 , а 3 – в 3 ,
4. уменьшение степени уравнения путём деления на ( х – х 1 ), где х 1 найден среди делителей свободного члена и проверен подстановкой в уравнение
5. графический,
6. метод переброски старшего коэффициента.

Решить кубические уравнения:

х 3 – 3х 2 – х + 3 = 0,

х 2 ( х – 3 ) – ( х – 3 ) = 0,

( х – 3 )*( х 2 – 1 ) = 0

х – 3 = 0 или х 2 – 1 = 0

х = — 1, х = 1. Ответ: — 1, 1, 3.

6х 3 + 7х 2 – х – 2 = 0,

у(-1) = — 6 + 7 – 1 = 0,

Разделим 6х 3 – 3х 2 – х + 3 на (х + 1) и получим 6х 2 + х – 2

Решим данное уравнение и получим: х 1 = — 2/3, х 2 = 1/2

Ответ: — 1, — 2/3, 1/2

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок одной задачи. 5 класс

Федеральный государственный образовательный стандарт предполагает формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию, самосов.

Урок одной задачи. Урок по геометрии в 9 классе, включающий все пройденные темы.

Одна и та же задача решается различными способами группами ребят. Каждая группа может воспользоваться только теми теоремами, которые разрешено данной группе использовать.

Интегрированный урок «Урок одной задачи, не лишенной здравого смысла, с использованием двух подходов к ее решению» (геометрия и информатика, 8 класс)

Материал содержит разработку урока и презентацию.Два взгляда на одну проблему, два взгляда с разных сторон, но объединенные одной идеей. Великая мудрость и искусство. Решение задачи в компьютерном и г.

Урок одной задачи. Решение уравнений 8 класс

Конспект урока по теме «Решение уравнений» в 8 классе с расширенным изучением математикиТема: « Решение уравнений»Цели:показать обучающимся различные способы решения одной и той же задачиспособс.

Разработка урока “ Урок одной задачи” 8 класс Учителя – Кононова Т. А. ТЕМА: “Тепловые процессы. Обобщающее повторение”

Наверняка опыт проведения интегрированных уроков есть у каждого учителя.Под словом «интеграция» мы понимаем объединение разных частей в одно целое, их взаимовлияние и взаимопроникновение, а также слия.

Конспект урока геометрии в 9 классе по теме: Метод координат. Урок одной задачи.

Изложение несколько спонтанного, но интересного урока.

Урок одной задачи , 11 класс

Материал для использования в проведении интегрированных уроков (алгебра, начала анализа, геометрия) в 11 классах по теме «Нахождение наибольшего значения функции различными способами».

Источник

Урок + презентация по математике для 8 класса «Решение одной задачи несколькими способами»

Выбранный для просмотра документ Приложение.docx

Приложение к уроку «Решение одной задачи разными способами»

Задачи для самостоятельной подготовки к экзаменам

1.В колбе было 140 г 10%-го раствора марганцовки. В нее долили 60 г 30%-го раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе.(16%)

2.Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки?(140г10%-го и 60г30%-го)

3.Имеется склянка 20%-го раствора кислоты и склянка 40%-го раствора кислоты:
а) Смешали 200г раствора кислоты из первой склянки и 300 г из второй. Определите массу кислоты и ее долю в полученном растворе.(160г)
б) Из первой склянки взяли 300 г раствора кислоты. Сколько граммов раствора кислоты надо долить из второй склянки, чтобы получить 32%-й раствор кислоты?(450г)
в) Верно ли, что если из второй склянки берут на 50% больше раствора кислоты, чем из первой, то полученная смесь является 32%-ым раствором кислоты?(верно)

4. Было 12 кг пресной воды. В нее добавили несколько килограммов сахара и получили 4%-й раствор. Сколько килограммов сахара было добавлено в воду?(0,5 кг)

5. Сплав из золота и серебра весом 13 кг 410 г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510 г. Определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19,3 г/см 3 , а серебра 10,5 г/см 3 .(6 кг 705г)

6. Из 20 т руды выплавляют 10 т металла, содержащего 8% примесей. Определите процент примесей в руде.(54%)

Задачи на понижение концентрации.

1.Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа, что бы содержание сахара составило 15%? (8 кг)

2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130 г)

3.Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100 г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%. (400 г)

4. Какую массу воды надо добавить к водному раствору соды массой 90 кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды? (60 кг)

5. Морская вода содержит 5% солей. Сколько килограммов чистой воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание солей в полученном растворе составило 2%? (60 кг)

6. В морской воде содержится 5% солей. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 55 кг морской для получения 4% раствора. (13,75 кг)

7. Апельсиновый сок содержит 12% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 5 кг сока, чтобы содержание сахара стало 8%? (2,5 кг)

8. Сколько килограммов воды надо добавить к 60 кг 16% соляной кислоты, чтобы получить 10% раствор этой кислоты? (36 кг)

9. Сколько килограммов 5% раствора соли надо добавить к 15 кг 10% раствора той же соли, чтобы получить ее 8% раствор? (10 кг)

10. Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, в котором содержится 40% меди? (1,5 кг)

11. В 5% раствор соли добавили 55 г соли и получили 10% раствор. Сколько граммов 5% раствора было? (990 г)

12. Требуется приготовить 100 г 10% раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% раствора нашатырного спирта?( 40г и 60 г)

Задачи на «высушивание».

1.Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки? (1,5 кг)

2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,% кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (90%)

3. Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушеных? (27 кг)

4. Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42% воды, то, сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? (53,6%)

5. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличится масса одной добытой тонны угля после того, как она две недели пролежит на воздухе? (114 кг)

6. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько килограммов свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30 кг сушеных?(90кг)

7. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? (2,5 кг)

8. Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена? (2 т)

9. На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилищах его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? (48 т)

10. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей85% воды. После выпаривания получили массу, содержащую 25% целлюлозы. Сколько килограммов воды было выпарено? (200кг)

11. Из 60% водного раствора спирта испарилась половина воды и 2/3 спирта. Каково процентное содержание спирта в получившемся растворе? (50%)

12. Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мед – 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного грамма меда? (5кг)

Задачи на смешивание растворов разных концентраций

1.При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140г 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято?(40г и 100г)

2. Один раствор содержит 20% соли, а второй – 70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100г 50% солевого раствора? (40г и 60 г)

3. Смешали 30% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? (150 г и 450 г)

4. Смешали клубничный сироп, содержащий 40% сахара, и малиновый сироп, содержащий 20% сахара. Сколько граммов каждого сиропа взяли, если получили 360 г ягодного коктейля с содержанием сахара 25%?(90г и 270г)

5. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? (12т)

6. Сколько граммов воды и 6% раствора перекиси водорода надо добавить к 36г 3% раствора перекиси водорода, чтобы получить 54 г 5% раствора перекиси водорода? (27г и 1г)

7. Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали:
а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, (11%)
б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога. (14%)

8.Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов? (60% и 34%)

9. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащей 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты в каждом растворе? (7,2 кг и0,72кг )

10. В двух сосудах находятся растворы щелочи разных концентраций. В первом сосуде находится 4 кг раствора, а во втором – 6 кг. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% щелочи. Если же слить вместе по 3 кг из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий, а % щелочи. Сколько килограммов щелочи во втором сосуде? Какие значения может принимать а? (10,5-0,24а) кг, аϵ[29 ;43 ]

11. Концентрации спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в растворе? (12% ; 24% ; 48%)

12. Индийский чай дороже грузинского на 25%. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который дороже грузинского на 20%? (4:1)

Задачи на переливание

1.В первой кастрюле был 1 л кофе, а во второй – 1 л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13 л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13 л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?(одинаково)

2. В сосуде объемом 10 л содержится 20% раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили еще один раз. Определите концентрацию соли после первой и после второй процедуры.(16%,12,8%)

3. Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и долили столько же литров воды, потом вылили столько же литров смеси. Тогда в смеси, оставшейся в сосуде, оказалось 24 л кислоты. Сколько литров кислоты вылили в первый раз?(18л)

4. Баллон емкостью 8 л наполнен кислородноазотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом, и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне осталось 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз.(2 л)

5. Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л спирта и наливают 1 л воды. После перемешивания отливают 1 л смеси и наливают 1 л воды, так поступают 10 раз. Сколько спирта останется в сосуде после десяти отливаний?(7,17 л)

6. Сколько килограммов чистого спирта останется в сосуде, если из 50 кг 80% водного раствора спирта 20 раз отлили по 1 кг раствора, каждый раз добавляя 1 кг воды?(26,7кг)

Выбранный для просмотра документ Толкачева НБ Решение одной задачи разными способами.docx

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Корниловская средняя школа»
Томского района

«Решение одной задачи разными способами»

(для учащихся основной и старшей школы)

Составитель: Толкачева Н.Б.
учитель математики
первой квалификационной категории
МБОУ «Корниловская СОШ»
Томского района

Решение одной задачи разными способами. 4-5

Список литературы. 6

Задачи на смеси часто встречаются в экзаменационных вариантах 9 и 11 классов, в олимпиадных заданиях, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают сложности при их решении.

Рассматривая ту или иную задачу, следует показывать учащимся возможность ее решения различными способами. Поиск наиболее рационального способа решения будит мысль учащегося, развивает сообразительность и уводит его от шаблона, повышает интерес учащихся к работе. Полезно одну и ту же задачу предлагать на разных стадиях обучения. Это дает возможность повторить ранее изученный материал, способствует более глубокому и прочному овладению материалом, его систематизацией, выявлению взаимных связей, сходства и различия с новым материалом.

Задачи на смеси имеют практическую направленность. Прежде чем объяснять методы решения этих задач, необходимо побеседовать с ребятами, привести примеры практического использования этих задач с разъяснением понятия концентрация.

Решая задачи данного типа, нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Решение таких задач разными способами следует начинать с 8 класса параллельно с курсом химии. Для большей наглядности обучения используется разное оформление решений и заполнение таблиц.

Учащиеся моих классов не боятся задач на смеси и сплавы, встречая их в экзаменационных работах, так как владеют разными способами их решения.

Из учебных пособий по подготовке к экзаменам ГИА и ЕГЭ в приложении собраны задачи на изменение концентрации веществ в смесях. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки учащихся.

Конкурсный урок «Решение одной задачи разными способами»

(с использованием интерактивной доски)

Цель : Наглядно показать несколько способов решения одной задачи.
Задачи:
Образовательные:
Используя 4 разных способа, показать обучающимся возможности неоднозначного подхода в решении задач:
— способ «таблицы»;
— метод «креста»;
— способ «прямоугольника»;
— способ «система уравнений»;
Развивающие:
Продолжить развитие метапредметных связей путем применения математических приемов при решении задач по химии.
Воспитательные:
Формирование дальнейшего развития навыков логического и творческого мышления.
Соблюдение единых требований по оформлению задач.

Оборудование:
Раздаточный материал, компьютерная презентация в программе PowerPoint , интерактивная доска, пробирки для демонстрации разных концентраций растворов. Приложение с комплектом задач для самостоятельной подготовки к экзаменам.
Дети поделены на группы.

— Здравствуйте, ребята! Сегодняшнее наше занятие я начну с эпиграфа:

Решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом несколько задач.

Скафа Е.И. (Слайд 1)

— Наверное, вы поняли, что мы будем решать задачи, применяя объяснительно-иллюстративный метод решения одной задачи несколькими способами. (Слайд 2)
Я предлагаю вам сейчас задачу, которую мы решим разными способами. Прочитаем текст задачи. (Слайд 3)
— Как вы думаете, на каком уроке вы будете решать задачи подобного типа?
— Действительно, на уроках химии.
— В математике их еще называют «задачи на смеси и сплавы» эти задачи включены в ГИА и ЕГЭ, а так же их можно встретить в олимпиадных заданиях и поэтому их нужно научиться решать.
— В нашей задаче раствор медного купороса – это смесь веществ (медного купороса и воды) (Демонстрация опыта с использованием медного купороса и воды)
Медный купорос – это твердое вещество синего цвета.
Вода – растворитель.
— Я приготовила два раствора 10% и 30%.
В одной колбе раствор менее насыщенный – это 10%, а этот раствор 30% более насыщенный.
— Насыщенность цвета связана с концентрацией.
Концентрацией называется отношение массы растворенного вещества к массе раствора.
Самое время перейти от теории к практике.
— 1.Решим задачу используя табличный способ. (Слайд 4)
На столе у вас листы, в которых вы будете сегодня работать.
Заполним вместе таблицу.
— 2. Правило креста составим схему (Слайд 5)
— В левой колонке запишем % содержание в имеющихся растворах.
Посередине — % содержание в полученном растворе.
Вычитаем из большего числа меньшее и записываем по диагонали.
Сделаем вывод: Что в растворе всего 20 частей.
Найдем массы растворов 200:(20*14)=140 ч. 200:20*6=60
— 3. Правило прямоугольников (Слайд 6)
— Внутри подпишем название компонентов, сверху подпишем процентное содержание элементов, под прямоугольником укажем массу сплава, в результате получим следующую модель.
— 4. Алгебраический способ . (Слайд 7)
Решим систему двух уравнений
Работа в группах.
Выберите координатора.
— Вам предстоит решить задачу в группе одним из способов (вытягивают), оформить задачу на листе и доказать ее решение у доски. (Слайд 8)
— (Я в это время вывешиваю на доску название способов решения).
— Защита у доски.
— С какими способами мы сегодня познакомились?
Итог урока :
— На столе лежат листочки. Я прошу ответить вас на поставленные вопросы:

— Какой способ решения задач вы знали до сегодняшнего урока?

— Каким будете пользоваться?
Конец урока:
— Помните, что решая маленькие задачи, вы готовитесь к решению больших и трудных. (Слайд 9) Встретив задачи такого типа, вы будете их решать. Желаю вам успеха! Спасибо за урок!

Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. Математики,/ М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – М.: Просвещение, 1994г.

ЕГЭ- 2014. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко.- М.: Издательство «Национальное образование», 2013г.

Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов/ сост. Г.И. Ковалёва, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка — Волгоград: Учитель, 2007г.

Математика. ЕГЭ-2007. Вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. – Ростов-на-Дону: Легион, 2006. (Серия «В помощь ученику»)

Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы. / Н.И. Прокопенко.-М.: Чистые пруды,2010.

Семенов А.В. ГИА выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие./ А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2012.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989г.

Источник