Решение одного тригонометрического уравнения различными способами

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Источник

Решение одного тригонометрического уравнения различными способами

Рейтинг: / 1
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Буинска РТ»

Исследовательская работа по
математике

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Автор:
Халитов Айрат,
ученик 10 класса

Руководитель:
Камалова Эльмира Вазыховна,
учитель математики
первой квалификационной категории

Введение 2
Основная часть…………………………………………………………………… 3
Немного теории: 3
1-Й СПОСОБ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА. 4
2-Й СПОСОБ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ. 5
3-й способ. Введение вспомогательного угла. 6
4-Й СПОСОБ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ. 7
5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций. 8
6-Й СПОСОБ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ. 9
7-Й СПОСОБ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ TG Х (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ: 10
8-Й СПОСОБ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ. 11
Заключение 12
Использованная литература: 13

Введение
Слова известного французского писателя Э.Золя : «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного; в вечном усилии познать больше» являются девизом моей жизни.Особенно мне нравятся уроки математики.
В этом учебном году на уроках математики мы изучали тригонометрические уравнения. Мы узнали о нескольких методах решения этих уравнений:
1) метод замены переменной;
2)метод разложения на множители;
3)универсальная подстановка.
Выполняя домашнее задание, я заинтересовался вопросом: существуют ли другие методы решения тригонометрических уравнений?
В кабинете математики я увидел подшивки старых газет «Математика», в которых прочитал о других методах решения тригонометрических уравнений.
В данном проекте я вам хочу рассказать о 8 способах решения одного тригонометрического уравнения, о которых я узнал.
Целью моей работы является изучение разных способов решения тригонометрических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Ознакомиться с дополнительной литературой по данной теме.
Систематизировать знаний по теме.
Провести опрос в классе.
Проанализировать данные опроса.
Методами исследования являются опрос, сравнение, анализ и обобщение. Тему исследования, считаю, достаточно актуальной, поскольку эти знания помогут нам при подготовке к ЕГЭ: несколько заданий в части В и С связаны с тригонометрическими уравнениями.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
НЕМНОГО ТЕОРИИ:

Тригонометрическое уравнение-это уравнения, в которых переменные содержатся под знаками тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

При решении тригонометрических уравнений необходимо помнить следующие моменты:
При решении тригонометрических уравнений нельзя сокращать на переменную величину, это может привести к потере корней уравнения. Необходимо каждый множитель исследовать на решение.
При решении тригонометрических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (О.Д.З.).
При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появляться посторонние корни. Необходима отборка полученных решений, но это сложно, поэтому по возможности нужно обходиться без этой операции.
Потеря корней уравнения может произойти и от замены тригонометрических функций через тангенс tg x/2=t( универсальная тригонометрическая подстановка). Функция tg (х/2) не существует для х/2 = π/2 + πn, т.е. х ≠ π + 2πn. Но sin x и cos x определены в этих точках. Поэтому необходимо всегда проверять корни х = π + 2πn на решение отдельно

1-й способ. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
Рассмотрим уравнение sin x – cos x =1.
Разложим левую часть по формуле двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:
sin x = 2sin cos ; cos x = cos2 – sin2 ; 1 = sin2x + cos2 x.
2sin cos – cos2 + sin2 = sin2 + cos2
2sin cos – 2cos2 = 0
cos (sin – cos ) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos = 0; или sin – cos = 0 – это однородное уравнение первой
=  /2 + k; степени. Делим обе части уравнения на cos (cos 0),
x =  + 2k, k Z; т.к. если cos = 0, то sin =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.)
Получим: tg = 1, sin /cos =1
sin = cos
= + n;
x = +2n; n Z.
Ответ: x =  + 2k, k Z , x = +2n , n Z.

2-й способ. Разложение левой части уравнения на множители.
sin x – cos x =1.
sin x — (1 + cos x) = 0;
1 + cos x = 2 cos2 ;
sin x= 2 sin cos ;
2 sin cos — 2 cos2 = 0;
cos (sin – cos ) = 0. Далее так, как в первом способе.

3-й способ. Введение вспомогательного угла.
sin x – cos x =1.
В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х вынесем за скобки, получим
(sin x — cos x ) = 1;
sin x — cos x = ;
sin x cos — cos x sin = ; (по формуле sin cos — cos sin = sin ( — ) )
sin (x — ) = ;

1) x — = + 2n; x = + 2n, n Z;
2) x — = + 2k; x =  + 2k, k Z.
Ответ: x = + 2n, n Z; x =  + 2k, k Z.
4-й способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

sin x – cos x =1.
Запишем уравнение в виде:
sin x – sin( — x )=1.
Применим формулу разности двух синусов:
sin  — sin  = 2 sin (+ )/2 cos ( — )/2.
2 sin (x — ) cos = 1;
2 sin (x — ) = 1;
sin (x — ) = ;
Далее так, как в третьем способе.

5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
sin x – cos x =1.
sin2x + cos2 x=1; sin x = ±√(1- cos^2 x) ;
sin x – cos x = 1 => ±√(1- cos^2 x) — cos x=1;
±√(1- cos^2 x) = 1 + cos x;
Возведём в квадрат обе части уравнения,после некоторых упрощений получим:
2cos2 x + 2cos x = 0; cos x (cos x +1) = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos x =0; или cos x + 1 = 0;
x = + 2k, k Z; cos x = — 1 ;
x =  + 2n, n Z.
При решении уравнения обе части возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.
Выполним её:
Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений:
x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z; x =- + 2m, m Z
Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим:
x =- + 2m, m Z
Левая часть: sin (- + 2m) – cos (- + 2m) = sin (- ) – cos (- ) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1.
Следовательно, x =- + 2m, m Z – постороннее решение.
Ответ: x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z.
6-й способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

sin x – cos x = 1
(sin x – cos x)2 = 1^2;
sin2x – 2sin x ∙ cos x + cos2 x = 1;
1 — 2 sin x cos x = 1; (2 sin x cos x = sin 2x – формула двойного угла)
sin 2x = 0;
2x = k;
x = k, k Z;
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
x = 2k, k Z;
x = + 2n, n Z;
x = + 2m, m Z;
x =- + l, l Z;
После проверки понятно, что первое и четвёртое решения — посторонние.
Ответ: x = + 2m, m Z , x = + 2n, n Z.
7-й способ. Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:
sin x = (2tg )/(1 + tg² ); cos x = (1 – tg² )/(1 + tg² ); tg x = (2tg )/(1 – tg² ) .
sin x – cos x =1
(2tg )/( 1 + tg² ) – (1 – tg² )/(1 + tg² ) = 1.
Умножим обе части уравнения на 1 + tg2 (1 + tg² ≠0, т.к. tg² ≥0.)
2tg – 1 + tg² = 1 + tg² ;
2tg = 2; tg = 1;
(sin )/(cos ) =1; sin = cos
= + n;
x = + 2n; n Z.
ОДЗ первоначального уравнения — всё множество R.
При переходе к tg из рассмотрения выпали значения, при которых tg не имеет смысла, т.е. x =  + 2k; k Z . Следует проверить, не является ли x =  + 2k; k Z решением данного уравнения.
Левая часть: sin( + 2k) – cos(π + 2k) = sin π – cos  = 0 – (-1) = 1
Правая часть: 1.
Значит, x =  + 2k; k Z является решением данного уравнения.
Ответ: x =  + 2k; k Z , x = + 2n; n Z.
8-й способ. Графическое решение.

sin x – cos x =1
На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения.
у = sin х – график: синусоида.
у = (соs х + 1) – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Ответ: x =  + 2n; n Z; x = + 2k; k Z.

После проделанной работы я убедился в том, что существует не один метод решения тригонометрического уравнения. Проведя опрос в классе, я узнал, что в среднем (около 50%) мои одноклассники предпочитают три метода решения тригонометрических уравнений — метод замены переменной, графический и разложение на множители.37% знают 4 метода, а 13% — только 2.

У меня возникло желание познакомить с другими методами и своих одноклассников. Когда я показал свой проект на элективном занятии классу, ребята были удивлены тем, что существует столько методов решения одного тригонометрического уравнения. Я думаю, что это занятие можно считать практическим выходом моей исследовательской работы.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.