- Метод интервалов, решение неравенств
- Определение квадратного неравенства
- Решение неравенства графическим методом
- Решение неравенства методом интервалов
- Плюс или минус: как определить знаки
- Решение линейных неравенств
- Основные понятия
- Типы неравенств
- Линейные неравенства: свойства и правила
- Правила линейных неравенств
- Решение линейных неравенств
- Равносильные преобразования
- Метод интервалов
- Графический способ
- Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
- Неравенства
Метод интервалов, решение неравенств
О чем эта статья:
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
 |
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня;
- D
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
- (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Источник
Решение линейных неравенств
О чем эта статья:
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.
Типы неравенств
- Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
- a > b и b > и
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
- Если а > b , то b а.
- Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.
- Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
- Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
- 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
- Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
- Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
- Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
- Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : –2 > 9 : -2 ⇒ x
Решение линейных неравенств
Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.
Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.
Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x 0 — в первом и ax > c — во втором;
- допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.
Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.
Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.
Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
- Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
- Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов это:
- введение функции y = ax + b;
- поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
- отметить полученные корни на координатной прямой;
- определение знаков и отмечание их на интервалах.
Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:
- найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
- начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
- определим знаки функции y = ax + b на промежутках.
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
- если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.
Как решаем:
- В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
- Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6
- Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.
По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
- во время решения ax + b 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
- во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
- Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
- Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
- Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
- Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Источник
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Неравенства
- Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c |
