Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»
Муниципальное учреждение «Отдел образования администрации муниципального района Мишкинский район
Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное
Учреждение Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Тема: 10 способов решения квадратных уравнений
Выполнила: ученица 9 В класса
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Руководитель: учитель математики
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Алексеева Гузель Фанавиевна
Мишкино 2017 год
Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..стр.4
Определение квадратного уравнения………………………………. стр.7
Способы решения квадратных уравнений…………………………. стр.8
Разложение на множители левой части……………………………. стр.10
Метод выделения полного квадрата…………………………………стр.10
Решение квадратных уравнений по формуле…………………. стр.11
Решение уравнений с использованием теоремы Виета………. стр.11
Решение уравнений способом «переброски»…………………. стр.12
Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….стр.13
Графическое решение квадратного уравнения……………………. стр.13
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….стр.14
Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)….стр.15
Геометрический способ решения квадратных уравнений…………стр.15
Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………. стр.16
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрала тему «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность темы: на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Плюс выбранная тема мне очень интересна.
Цель работы: выявить способы решения уравнений второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;
2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;
3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
4) Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;
5) Провести кружок для одноклассников.
Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;
анализ полученной информации;
сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.
Время исследования: с 12 октября 2016 года по 20 декабря 2016 года.
Исторические сведения о квадратных уравнениях.
Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Квадратные уравнения в древнем Вавилоне
В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.
Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
XIII-XVII ввКвадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.
Квадратные уравнения в ИНДИИ
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).
2.Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).
Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.
3.Способы решения квадратных уравнений
Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.
Источник
