Решение неравенства алгебраическим способом

При х 4 график расположен выше прямой у = 6. Поэтому решениями неравенства (8) являются все х такие, что х 4.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Функциональные неравенства

Перейдем к изучению неравенств между функциями от одного или нескольких переменных. Задачи о таких неравенствах распадаются на два больших класса. В одних задачах требуется дока­зать, что в той или иной области, где заданы две функции, их зна­чения удовлетворяют заданному неравенству. Мы будем говорить в этом случае, что неравенство выполняется в этой области тожде­ственно. Такие задачи называют задачами на доказательство не­ равенств.

Иной вид имеют задачи второго типа. Здесь задано неравенство между функциями и надо найти все значения аргумента (или аргументов, если функции зависят от нескольких переменных), для которых это неравенство выполняется. Такие задачи мы будем называть задачами на решение неравенств.

Теория неравенств во многом напоминает теорию уравнений. Существенным отличием является то, что уравнение, как правило, имеет конечное множество решений. Решения же неравенств с одним неизвестным заполняют целые промежутки на числовой оси. Для неравенств со многими неизвестными мы получаем в качестве решений области на плоскости, в пространстве и т. д.

Понятия системы неравенств и совокупности неравенств определяются точно так же, как и для уравнений. Именно, мы будем го­ворить, что задана система неравенств

если надо найти все значения х, при которых выполняются в с е эти неравенства. Если же надо найти все значения х, при которых выполняется хоть одно из неравенств то говорят, что задана совокупность неравенств (с одним неизвестным). Совокупность неравенств обозначают так:

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы теории функциональных неравенств.

Следствия из неравенств

Пусть дана система неравенств

Мы будем говорить, что неравенство

является следствием системы неравенств (1), если оно имеет место для любого х, удовлетворяющего всем неравенствам (1). Иными словами, если выполняются все неравенства (1), то должно выпол­няться и их следствие (2 ).

Это определение можно сформулировать следующим образом. Обозна­чим через множество точек, в которых выполняется неравенство а через М — множество точек, где выполняется неравенство (2). Неравенство (2) является следствием системы неравенств (1), если М содержит пересечение всех множеств

В самом деле, пересечение множеств состоит из чисел, удовлетво­ряющих всем неравенствам (1). Поэтому если (2) — следствие системы неравенств (1), то оно выполняется во всех точках этого пересечения. А это и означает, что

Чаще всего приходится пользоваться следующими утверждения­ ми о следствиях из неравенств.

Теорема:

Если на некотором множестве А выполняются неравенства

то на А имеет место и неравенство

Доказательство. Пусть а — число из множества А. Тогда справедливы числовые неравенства

Следовательно, имеет место неравенство:

Оно показывает, что при выполняется неравенство (5). Значит, (5) является следствием из (3) и (4).

Точно так же доказывается следующая

Теорема:

Пусть на некотором множестве А выполняются неравенства

Тогда на этом множестве имеет место и неравенство

Равносильные неравенства

Введем следующее определение.

Определение:

называются равносильными, если каждое число, удовлетворяющее неравенству (1), удовлетворяет и неравенству (2), а каждое число, удовлетворяющее (2), удовлетворяет и (1) (в частности, если множества решений обоих неравенств пусты).

Иными словами, два неравенства равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Для установления равносильности двух неравенств применяют­ся следующие теоремы.

Теорема:

Пусть функция определена при всех допустимых значениях х. Тогда неравенства

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что из f (а)

а из (5) следует f(а)

В самом деле, (6) получается из (7) прибавлением к обеим ча­стям функции —

Из этого следствия вытекает, что любое неравенство f(х) 0 .

Точно так же доказывается следующая

Теорема:

равносильны. Равносильны и неравенства

Наконец, докажем следующую теорему.

Теорема:

Пусть функция ср (х) определена при всех допусти­мых значениях х и положительна. Тогда неравенства

Доказательство. Пусть а — число, удовлетворяющее нера­венству (12): f(а)

Это показывает, что а удовлетворяет неравенству (13), а потому (13) являет­ся следствием (12). Точно так же доказывается, что (12) является следствием (13). Для этого достаточно умножить обе части неравенства (13) на положительное число

Если же функция ф (а) определена для всех допустимых значе­ний х и отрицательна, то неравенство f(x)

В общем случае приходится разбивать множество допустимых значений на три подмножества: точек х , где точек х, где и точек х, где

Мы доказывали теоремы о равносильности для неравенства с одним переменным. Эти теоремы остаются верными и для неравенств с несколькими переменными.

Доказательство неравенств

Для доказательства неравенств применяют один из следующих двух путей.

1) Исходят из неравенства, которое надо доказать, и последовательно заменяют его равносильными неравенствами, пока не дойдут до очевидного неравенства. Так как на каждом шагу полу­чалось неравенство, равносильное данному, то тем самым справед­ливость данного неравенства доказана.

2) Исходят из какого-нибудь очевидного неравенства и заменяют его неравенствами-следствиями до тех пор, пока не придут к дока­зываемому неравенству. Мы знаем, что неравенство равносильно неравенству Поэтому доказательство неравенства сводится к доказательству того, что раз­ность левой и правой частей неравенства положительна. Для этого стараются представить эту разность в виде суммы или произведе­ния заведомо положительных выражений.

Рассмотрим следующий пример. Доказать неравенство

Это неравенство равносильно неравенству

Перепишем левую часть в виде

Так как, очевидно то неравенство (*) доказано.

Далее докажем, что дробь , где х > 0, а >0, увеличивается, если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же положительное число b. Иными словами, докажем, что при х > 0, а > 0, b > 0 выполняется неравенство

Для этого составим разность левой и правой частей неравенства:

Приведя дробит к одному знаменателю, получаем:

Так как правая часть этого равенства заведомо положительна, то неравенство (**) доказано.

Теперь приведем пример на использование второго способа доказательства неравенства. Докажем, что для любого действительного числа х имеет место неравенство

причем знак равенства получается лишь при х =1 .

Будем исходить из очевидного неравенства

имеющего место при любом действительном х, причем равенство в формуле (2) может иметь место лишь при х = 1 .

Раскроем скобки в выражении (2). Мы получим неравенство Но при любом значении х можно прибавить к обеим частям неравенства число 2х, а потом разделить обе части полученного неравенства на 2 (см. п. 2). Выполнив эти операции,

получаем доказываемое неравенство (1), где знак равенства имеет место лишь при х = 1 .

Линейные неравенства

Перейдем теперь к методам решения неравенств. Начнем с простейшего случая — линейного неравенства с одним неизвестным. Такое неравенство имеет вид ах+ b > 0 или ах+b 0. В случае, когда b — положительное число, это неравенство справедливо для всех значений х, а в случае, когда b — отрицательное число, оно не имеет места ни при одном значении х.

Рассмотрим более интересный случай, когда Не те­ряя общности, можно считать, что а > 0. Если а 0 можно заменить равносильным неравенством Зх — 8 0 число (—b). Мы получим равносильное неравенство ах >—b. Далее, разде­лив обе части неравенства ах > —b на а, получим неравенство (напомним, что мы условились считать а положительным числом).

Итак, неравенство ах +b >0, где а — положительное число, равносильно неравенству . Точ­но так же неравенство ах+b 0. Ее графиком является пря­мая линия, образующая острый угол с осью Ох и пересекающая эту ось в точке (см. (рис. 9).

Ясно, что слева от точки — функция у = ах +b отрицательна, а справа от этой точки — положительна.

К неравенствам рассмотренного вида сводится решение более общих неравенств

В самом деле, неравенство (1) равносильно

К решению линейных неравенств сводится решение систем и совокупностей линейных неравенств. Чтобы найти решение систем линейных неравенств, надо решить каждое из них, а потом взять пересечение получившихся множеств. При решении совокупности линейных неравенств надо решить каждое из них и взять сумму получившихся множеств.

Пример:

Решить систему неравенств:

Решением первого из них является x > 3, второго х

Сначала решим систему неравенств:

Так же, как и в примере 1, получаем промежуток 1

является промежуток 3 Решение неравенств второй степени

Перейдем теперь к решению квадратных неравенств, то есть неравенств вида

Мы можем, не теряя общности, считать, что а > 0.

Мы покажем сейчас, что решение неравенств второй степени сводится по сути дела к решению квадратных уравнений. При этом возможны различные случаи, в зависимости от знака дискрими­нанта квадратного уравнения

а) Пусть D > 0. В этом случае, как мы знаем, квадратное урав­нение (2) имеет два различных действительных корня Будем считать, что Имеет место соотношение

Значит, неравенство равносильно неравенству

Сомножитель положителен при и отрицателен при , сомножитель положителен при и отри­цателен при Иными словами, первый сомножитель меняет знак лишь при переходе через точку а второй — лишь при пере­ходе через точку Поэтому произведение меняет знак лишь при переходе через одну из этих точек.

Иными словами, на каждом из промежутков

квадратный трехчлен имеет постоянный знак.

Легко найти, какой именно знак имеет трехчлен на каждом промежутке. Если то тем более а потому оба сомножителя отрицательны. Но тогда их произведение положительно. Поскольку мы предположили, что и а > 0 , то получаем: при квадратный трехчлен положителен. При переходе через точку сомножитель становится положительным, а сомножитель остается отрицательным. Значит, на промежутке квадратный трех­член принимает отрицательные значения. Наконец, при оба сомножителя положительны, и по­ тому выполняется неравенство

Итак, мы доказали следующее утверждение: если квадратный трехчлен где а > 0, имеет два различных действи­тельных корня то неравенство выполняется на промежутках а неравенство — на промежутке

б) Пусть D = 0. В этом случае квадратный трехчлен имеет два совпадающих корня Следовательно, его можно записать в виде

Но положительно при и равно нулю при Итак, при а > 0 и D =0 неравенство выпол­няется на промежутках (то есть на всей числовой прямой с «выколотой» точкой ), а неравенство не выполняется ни в одной точке числовой оси.

в) Наконец, рассмотрим случай, когда D

По условию имеем Так как а > 0, то для всех зна­чений х трехчлен явля­ется суммой двух положительных слагаемых и и пото­му положителен при всех значениях х.

Итак, если D 0, то неравенство выполняется для всех значений х, а неравенство не выполняется ни для одного значения х.

Полученные результаты допуска­ ют простое геометрическое истолкова­ние. Рассмотрим функцию При а>0 графиком этой функции является парабола с осью, параллельной оси Оу, обращенная ветвями вверх.

Если В > 0, то эта парабола пересекает ось в двух точках (рис. 10, а). Ясно, что заключенная между этими точками часть параболы лежит ниже оси Ох, а слева от и справа от парабола лежит выше оси Ох.

Если D = 0, то парабола касается оси Ох в некоторой точке Слева и справа от этой точки она лежит выше Ох (рис. 10, б).

Наконец, при D 0 па­рабола не пересекает оси Ох и расположена выше нее. Поэтому для всех значений х выполняется нера­венство (рис. 10, б).

К неравенствам второй степени сводятся неравенства вида

Умножив обе части неравенства на , получим равносиль­ное неравенство второй степени:

Пример:

Это неравенство равносильно неравенству

Корнями функции (2х — 3) (Зх — 7) являются числа и . Они разбивают ось на промежутки Выясняя знак 2х — 3 и Зх — 7 на этих промежутках, устанавливаем, что ответ имеет вид:

Приведем пример задачи, сводящейся к решению квадратных неравенств.

Задача:

Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Ско­рость течения реки равна 1 км/ч. В каких пределах должна лежать собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов?

Решение. Пусть v — собственная скорость лодки. Тогда ее скорость по течению реки равна v + 1, а против течения реки равна v — 1. Поэтому время движения лодки равно

По условию имеем:

Должно выполняться неравенство v > 1 , так как иначе лодка не смогла бы идти против течения. Поэтому неравенство (*) равносильно неравенству

Итак, мы получили систему неравенств

то есть систему неравенств

Корнями_ уравнения являются числа а уравнения — числа Первое неравенство выполняется на отрезке а второе —при условии или Но мы знаем, что . Поэтому получаем систему неравенств:

из которой окончательно получаем:

Решение алгебраических неравенств высших степеней

Мы видели, что решение квадратичного неравенства свелось по сути дела к решению квадратного уравнения. Корни этого уравнения разбивали числовую ось на промежутки, где квадрат­ный трехчлен сохранял постоянный знак. После этого было доста­точно отобрать те промежутки, где выполняется требуемое неравен­ство.

Точно так же решение неравенства вида

сводится к решению алгебраического уравнения

точнее говоря, к отысканию действительных корней этого уравнения. Чтобы осуществить это сведение, нам понадобится следующее утверждение, которое будет доказано в главе V (см. стр. 238): лю­бой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители первой и второй степеней, причем множители второй степени не имеют действительных корней.

Поэтому неравенство (1) можно записать так:

не имеют действительных корней и потому положительны на всей числовой оси (см. п. 2). Поэтому, отбрасывая эти множители, мы приходим к равносильному неравенству

А теперь заметим, что множитель отрицателен при и положителен при Иными словами, этот множитель меняет знак лишь при переходе через точку а Значит, если расположить действительные корни многочлена

в порядке возрастания, то на промежутках

многочлен f(х) сохраняет постоянный знак. Поэтому достаточно выбрать на каждом из промежутков (5) «пробную точку» и найти знак многочлена f(х) в этой точке. Тот же знак многочлен будет иметь и на всем промежутке. Вместо подсчета значения в «пробной точ­ке» можно подсчитать число положительных и отрицательных со­множителей в разложении (4).

Совокупность промежутков, на которых f(х) принимает положительные значения, дает решение неравенства f(х) >0 , а сово­купность промежутков, в которых f(х) принимает отрицательные зна­чения — решение неравенства f(х)

Найдем сначала корни уравнения

Это биквадратное уравнение. Решая его, получаем корни:

Найденные корни разбивают действительную ось на проме­жутки

На промежутке выберем «пробную точку»—6 , на проме­жутке (—5, —3) — точку —4, на промежутке (—3, 3) — точку 0, на (3, 5) — точку 4 и на — точку 6 . Мы имеем:

Отсюда вытекает, что решение неравенства (4) состоит из промежутков . Это решение можно записать так:

решаются точно так же. Именно, умножим числитель и знаменатель на один и тот же множитель Тогда знаменатель станет неотрицательным. Поэтому неравенство (5) равносильно неравенству

которое решается описанным выше образом.

Пример:

Это неравенство равносильно следующему:

находим их корни:

Расположим эти корни в порядке возрастания. Полученные числа разбивают действительную ось на промежутки:

Методом «пробных точек» находим, что решение неравенства (6) состоит из промежутков:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник