Решение нелинейных неравенств графическим способом

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

уравнение и неравенство, способы их решения;
система уравнений, система неравенств;
изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;

Глоссарий по теме

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у f(x), а нижняя – графиком неравенства у 0 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии меньшем R, те все точки и только они, расположенные внутри окружности с радиусом R и центром в точке А(а;b). Аналогично, множество решений неравенства есть множество точек , лежащих вне окружности.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

Начертим график уравнения . Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
Искомое множество решения неравенства – множество точек, лежащих на окружности и внутри окружности с центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)