Решение малого треугольника по способу аддитаментов

Решение малого сфероидического треугольника

Решить треугольник – определить все его элементы: стороны и углы.

Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическим треугольником. (Вопрос о редуцировании треугольника с земной поверхности на поверхность эллипсоида рассматривается в лабораторной работе №8). Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его за сферический, в котором стороны являются дугами большого круга).

Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по способам решения малых сфероидических треугольников на примере решения треугольника наиболее простыми известными способами: по способу аддитаментов (Зольднер,1820 г.) и с использованием теоремы Лежандра (1787 г.).

В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника.

1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов

Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” — аддитаментом.

Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника:

sin a/R sin b/R sin c/R

sin A sin B sin C

Стороны a, b, c малого треугольника значительно меньше радиуса земного шара R, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем:

sin a/R = (a – a 3 / 6R 2 _СР.) = a′ = a — a 3 k = a — A_a,

sin b/R = (a – a 3 / 6R 2 _СР.) = b′ = b + b 3 k = b — A_b,

sin c/R = (a – a 3 / 6R 2 _СР.) = c′ = c + c 3 k = c — A_c,

где: в скобках –длина сторон a′, b′, c′ плоского треугольника;

A_a, B_b, C_c – аддитаменты (добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: А_а = ка 3 ; А_b = кb 3 ; А_c = кc 3 ; коэффициент К = 1/ 6R 2 _СР.

Для средней широты РФ, если R_ср. и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10 -8 . Тогда аддитаменты А будут выражаться в метрах.

Последовательность решения задачи:

1) вычислить аддитамент A_b исходной сферической стороны b как

2) вычислить длину стороны b′ плоского треугольника

3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а′ и с′;

4) по полученным значениям а′ и с′ вычислить аддитаменты этих сторон А_а и А_с;

5) определить длину искомых сферичских сторон а и c как:

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.

Источник

Лабораторная работа: Решение сфероидических треугольников

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего

«СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ» (ГОУ ВПО «СГГА»)

Кафедра высшей геодезии

Лабораторная работа №2

Решение сфероидических треугольников.

ст.гр. АГ-41 Телеганов Н.А.

1. Кратко изложить основные положения теории замены сфероидического треугольника сферическим при заданных искажениях эле­ментов треугольника с приведением необходимых чертежей и окончательных формул.

2. Описать последовательность решения сферических треуголь­ников с применением теоремы Лежандра и по способу аддитаментов.

Решить треугольники своей сети по способу аддитаментов, а затем, используя вычисленные стороны, решить эти же треугольники как линей­ные с применением теоремы Лежандра.

1. Что такое сфероидический треугольник?
2. При каких размерах сторон сфероидические треугольники можно решить как сферические, если требуется определить элементы треугольника с точностью 1·10 -6 ?
3. В чем отличие решения сфероидических и сферических треугольников?
4. Что такое аддитамент стороны, и как он вычисляется?
5. Сформулировать теорему Лежандра и привести формулу перехода от угла сфероидического треугольника к плоскому при больших сторонах.
6. Как вычисляется сферический избыток ε при сторонах меньших и больших 90 км?

Каковы возможные теоретические пределы изменения ε?

Решение сфероидических треугольников

Виды геодезических треугольников и условия замены сфероидических треугольников сферическими

Треугольники на любой поверхности, образованные геодези­ческими линиями называются геодезическими . Однако, такое общее название треугольников (по виду сторон, образующих их) не всегда является удобным. Так, например, на плоскости треуголь­ник, образованный прямыми линиями, есть геодезический, на сфе­ре, образованный дугами больших кругов, так же является геоде­зическим и т. д. Гораздо удобнее треугольники, стороны которых есть геодезические линии, называть по принадлежности их к по­верхности: на плоскости — плоские , на сфере — сферические , на эллипсоиде — сфероидические .

Для образования сфероидического треугольника на поверх­ности эллипсоида необходимо в каждое непосредственно измерен­ное горизонтальное направление ввести поправку за переход от азимута нормального сечения к азимуту геодезической линии. Вводить поправки в измеренные стороны не следу­ет, т.к. сторона после ее редуцирования на эллипсоид будет представлять собой нормальное сечение, длина которого с очень высокой точностью равна длине, соответствующей геодезической линии.

Решение сфероидических треугольников представляет собой сложную задачу. Сложность этой проблемы обусловлена переменной кривизной поверхности эллипсоида.

Так, если взять два сфероидических треугольника с одина­ковыми сторонами, но расположенных под разными широтами по­верхности эллипсоида, то соответствующие их углы, в общем слу­чае, равны не будут. Аналогично не будут равны и стороны треу­гольников, расположенных под разными широтами, у которых углы и одна (исходная) сторона соответственно равны.

Поэтому, сфероидические треугольники решать без учета из­менения кривизны нельзя. Однако, в теории математики отсутс­твует специальный математический аппарат, позволяющий решать треугольники в замкнутом виде на любой поверхности, подобно тому, как это сделано для плоскости и сферы.

Поверхность земного эллипсоида по своей форме близка к сфере (α=1:300), и поэтому, можно ожидать, что элементы сфероидического треугольника будут мало отличаться от соответс­твующих элементов сферического треугольника с надлежаще подоб­ранным радиусом шара. Причем, очевидно, эти различия будут прямо пропорциональны размерам треугольников: чем меньше длины сторон треугольников, тем меньше их искажения и наоборот.

Найдём наибольшие размеры сторон сфероидического треугольника, при которых замена его сферическим будет вызывать ошибки в элементах треугольника, не превышающие наперед заданной величины.

Решение этой задачи выполним с использованием отображения части поверхности эллипсоида на шар, радиус которого примем равным среднему радиусу кривизны эллипсоида

в некоторой точке О (рис. 1),

выбранной в центре отображаемого участка поверхности эллипсои­да, ограниченного геодезической окружностью радиуса S_o .

Приняв точку О за полюс системы полярных координат S_o и А, отобразим часть поверхности эллипсоида на шар таким обра­зом, чтобы полярные координаты точки Q ₁ ‘ на шаре не изменя­лись.

Тогда, при таком способе изображения линейные искажения в точке Q ₁ ‘ в направлении Q ₁ ` o ` (дуги большого круга) будут от­сутствовать, а в перпендикулярном направлении Q ₁ ` Q <sub>2</sub> ` (дуги ма­лого круга) будут наибольшими.

Обозначая длины элементарных дуг Q ₁ Q ₂ и Q ₁ ` Q ₂ , . как этопоказано на рис 1, можно найти наибольшие относительные линейные искажения ΔS:S, как:

(1)

Здесь m — величины, представляющие собой в общем случае некоторые функции полярных координат. В геодезии эти величины называют приведенной длиной геодезической линии.

На шаре (рис. 2) при­веденной длине дуги большо­го круга ( с полюсом в точ­ке О’) будет соответство­вать радиус кривизны ге­одезической окружности (ма­лого круга ). Поэтому, для шара, непосредствен­но из чертежа (рис. 2), можно написать

(2)

Для поверхности эллипсоида приведенная длина геодезичес­кой линии m_э не имеет такой простой геометрической интерпрета­ции как для сферы, поэтому, полагая, что m_э есть функция длины геодезической линии S_o , можно написать:

Очевидно f(o) = m₀ есть приведенная длина геодезической линии, вычисленная для точки 0 (рис. 1) и, тогда:

(3)

Для получения производных приведенной длины геодезической линии по длине S_o можно воспользоваться формулой (2), в ко­торой для поверхности эллипсоида следует радиус считать вели­чиной переменной.

Дифференцируя выражение (2) по S_o последовательно, на­ходим:

В этих формулах через «к» обозначена полная кривизна по­верхности эллипсоида.

(4)

Приведенная длина геодезической линии и ее производные в формуле (3) должны вычисляться по аргументам точки 0, для которой S_o = 0. Но при S_o = 0 , m₀ как функция расстояния S_о , очевидно, также должно быть равно нулю, а производные примут следующие значения:

Подставляя производные в формулу приведенной длины (3), находим

(5)

По этой формуле, вообще говоря, можно вычислять приведен­ную длину геодезической линии для любой поверхности, а не только поверхности эллипсоида вращения. Для этого достаточно знать только полную кривизну поверхности и ее производные.

Так, например, для плоскости К₀ = 0 и, поэтому, приведен­ная длина для плоскости равна самой длине линии.

Для сферы К_о = 1 / R_o 2 , а производные полной кривизны бу­дут равны нулю, отсюда для сферы имеем:

(6)

Если в формуле приведенной длины дуги большого круга (2) си­нус заменить рядом, то, с точностью до членов пятого порядка малости, получим формулу (6).

Для получения формулы приведенной длины геодезической ли­нии поверхности эллипсоида вначале найдем производную полной кривизны:

Продифференцировав формулу полной кривизны (4) по широ­те, а затем умножив полученное равенство на выражение производной dB/dS, находим

Подставив производную К₀ ‘, а также полную кривизну по­верхности эллипсоида (4) в выражение (5), получаем оконча­тельно формулу вычисления приведенной длины геодезической ли­нии на поверхности эллипсоида

(7)

Имея выражения для приведенных длин геодезических линий сферы и поверхности эллипсоида вращения, нетрудно теперь полу­чить по формуле (1) относительные линейные искажения.

Подставляя в числитель формулы (1) выражения (6) и(7) , а в знаменателе с достаточной точностью можно ограни­читься m_э

Из этой формулы видно, что наибольшие линейные искажения будут при Во = 45° и Ао = 0°. Следовательно,

Формула (8) позволяет установить размеры области по­верхности эллипсоида, ограниченной геодезической окружностью, в пределах которой линейные искажения при отображении ее на сферу не могут превзойти наперед заданных величин.

Если, ориентируясь на точность первоклассных геоде­зических построений, принять (ΔS/S)max -8 , то по формуле (8) находим радиус геодезической окружности, равный 133 км. А так как вписать в окружность радиуса 133 км можно треугольник со сторонами порядка 250-270 км то, следовательно, сфероидические треугольники со сторонами, не превышающими 270 км, можно решать как сферические, при этом относительные иска­жения их элементов не будут превышать 1*10 -8 . Радиус сферы, при решении таких треугольников, следует принимать равным среднему радиусу кривизны для центра тяжести сфероидического треугольника.

Решение сферических треугольников

Решение сферических треугольников, с точки зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необ­ходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии.

В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать тре­угольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона (триангуляция), либо три стороны (триллатерация). Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии.

Выражая стороны сфери­ческого треугольника (рис.3) в частях радиуса сферы:

при заданных углах А, В, D и стороне а , находим:

Название: Решение сфероидических треугольников Раздел: Рефераты по математике Тип: лабораторная работа Добавлен 17:37:25 08 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 788 Комментариев: 19 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

(10)

Если в треугольнике известны все стороны, то на основании теоремы косинуса стороны, будем иметь:

(11)

(12)

Совершенно очевидно, приведенные алгоритмы — это не единственный путь решения сферических треугольников. Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными дан­ными.

На практике решение треугольников непосредственно по фор­мулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том слу­чае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется в ручную — не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредствен­но, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Действительно, в этом случае приходится с большой степенью точности вычислять ряд вспомогательных вели­чин (R, a/R, sin (a/R), sin (b/R)), которые в конечном итоге не нужны.

Для решения малых сферических треугольников с использова­нием настольной вычислительной техники разработаны два спосо­ба: способ аддитаментов и способ решения сферических треуголь­ников c применением теоремы Лежандра.

Суть способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сфери­ческого треугольника, и измененной (на аддитамент) исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плос­кого треугольника стороны поправок (аддитаментов).

Рассмотрим теоретические основы этого способа.

Полагая, что стороны сферического треугольника — малые величины (S 1/2 углы сферичес­кого и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А — А’):

(20)

И тогда из (19) с учетом (20), находим

Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

( формула Герона )

После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

(21)

Мож­но по аналогии написать формулы для разностей (В — В’) и (D— D’):

(22)

Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), нахо­дим для треугольника:

(23)

С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:

(24)

которые и выражают теорему Лежандра.

Если при разложении синусов в ряд удер­живались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

(25)

Где

Источник