Решение логических задач матричным способом

Занятия. Знакомство с биографией Эйлера. Презентации и решение задач на компьютере

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Интегрированное занятие математического кружка (математика + информатика) в 5-м классе по теме «Решение задач с помощью кругов Эйлера. Решение логических задач матричным способом. Решение задач с помощью графов».

МКОУ Лицей №1 им. А.Блока

Тип урока: Интегрированный

Оборудование: Компьютерный класс, проектор, презентацииMicrosoftOffice.

Используемые педагогические технологии: Технология опережающего обучения; здоровьесберегающие технологии;

Конкурсные задачи по математике МАДИ (ТУ), Москва 1994 г.

В царстве смекалки, Е.И. Игнатьев, Москва «Наука», 1984г.

Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях

5-8 классы, Москва «Глобус»,2008 г.

Познакомить с задачами, которые не входят в школьную программу 5 класса.

Закрепить навыки работы с графическим редактором Paint (стандартная программа MicrosoftWindows).

Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в познавательную деятельность.

Продемонстрировать связь математики и информатики.

Демонстрационный материал ( приложение 1,2,3) :

Презентация «Решение задач с помощью кругов Эйлера».

Презентация «Решение логических задач матричным способом».

Презентация «Решение задач с помощью графом».

Знакомство с биографией Эйлера.

Презентации и решение задач на компьютере.

Учитель: Добрый день, тема нашего сегодняшнего занятияпознакомиться, и научится решать очень интересные задачи. Решать их особым способом придумал великий математик Леонард Эйлер. Кто же он такой?

Три ученика рассказывают о разных этапах жизни и деятельности великого ученого Леонарда Эйлера.

Презентация 1 (решение задач с помощью кругов Эйлера).

Учитель решает задачу с подробным объяснением.

Условие задачи

Из 27 учеников класса 16 посещают математический кружок, 10 – кружок поинформатике, 8 – спортивный кружок.Кружки по математике и информатике посещают 7 учеников, по информатике и спортивный – 3, а математический испортивный -4. Все три кружка посещает 1 ученик. Сколько посещают толькоматематический кружок? Сколько учеников класса не посещают кружки ?

Ответ: Только математический кружок посещают 6 уч. Не посещают кружков- 6 уч.

Ученики садятся за компьютеры и решают следующую задачу самостоятельно, под руководством учителя.

В подвале живут кошки, окрашенные не более, чем в 3 перечисленных цвета. Белый цвет присутствует в окрасе у 28 кошек, чёрный- у 26, рыжий – у 29, белый и чёрный – у 14, рыжий и чёрный – у 13, белый и рыжий – у 17, все три цвета – у 5. Сколько там всего кошек и сколько чисто чёрного цвета?

На пикник поехали 45 человек. Бутерброды с колбасой взяли 21 человек, с сыром – 17 человек, , с ветчиной – 19 человек, с сыром и колбасой – 7 человек, с сыром и ветчиной – 5 человек, с колбасой и ветчиной – 6 человек. Все три вида бутербродов взяли 2, а несколько вместо бутербродов прихватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой только пирожки?

Каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 13 девочек, из них 4 блондинки и одна блондинка любит математику. Всего в классе 8 учеников-блондинов, математику из них любят 3, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 19, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Презентация 2 (решение логических задач матричным способом).

Решение логических задач матричным способом.

Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова.

На одной из них было чёрное платье, на другой – красное, на третьей – белое.

Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилии». Кто в каком платье был одет?

Источник

Способы решения логических задач при изучении начального курса математики

1. Решение логических задач с помощью таблиц истинности.

2. Решение логических задач с помощью логических уравнений.

3. Решение логических задач с помощью графов.

4. Матричный метод решения логических задач.

5. Решение логических задач общими рассуждениями.

Первые два способа в начальной школе не используются. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача: В одном подъезде живут четверо ребят: Андрей, Боря, Ваня и Гриша. Расположи ребят по росту, если известно, что Боря не самый высокий, но он выше Андрея и Гриши, а Андрей не выше Гриши.

Решение третьим способом – с помощью графов.

Построим граф с вершинами А, Б, В, Г: Б выше А, Б выше Г, Г выше А (А не выше Г). Так как Боря на самый высокий, то В выше Б.

А Б

Ребята по росту расположатся так: Ваня самый высокий, далее следуют Боря, Гриша, Андрей.

Задача: Приглашая к себе Таню, подруга сказала: «Ты легко найдешь нашу квартиру. Когда войдешь в наш дом, то увидишь коридор, а в нем – три одинаковые двери, ведущие в квартиры Кольцовых, Огурцовых и нашу. Наша дверь не самая левая, но левее двери Огурцовых». Вечером Таня пришла в дом, где жила ее подруга. Она задумалась, какая же дверь ведет к подруге?

Решение четвертым способом — матричным.

Построим таблицу, в которой зафиксируем все условия задачи и выводы из них, чтобы получить следствия.

Кольцовы	Огурцовы	Подруга Тани
Левая	+	Левее О., не самая левая
Средняя
Правая

Кольцовы	Огурцовы	Подруга Тани
Левая	+	Левее О., не самая левая
Средняя
Правая	Правее подруги Тани +

Кольцовы	Огурцовы	Подруга Тани
Левая	+	Левее О., не самая левая
Средняя	+
Правая	Правее подруги Тани +

Последовательность рассуждений отражена в таблицах. Следовательно, квартира подруги Тани находится посередине.

Задача: Три брата – Ваня, Саша и Коля – учились в разных классах одной школы. Ваня был не старше Коли, а Саша – не старше Вани. Назови имя самого старшего из братьев, среднего и младшего.

Решение пятым способом – общими рассуждениями.

Ребята все разного возраста. Поскольку Ваня не старше Коли, то Коля старше Вани. Так как Саша не старше Вани, то Ваня старше Саши. Из двух предложений следует, что Коля старше Вани, а Ваня старше Саши. Следовательно, старший брат – Коля, средний брат – Ваня, а младший брат – Саша.

Существует еще один тип логических задач – арифметические ребусы.

Задача: Восстановите цифры в примере:

. . 4Последняя цифра множителя 6, т.к. первое промежуточное

хпроизведение четырехзначно. Цифры множимого могут быть только

2 3 . 0 или 5. Первая цифра 5, потому что в этом случае в результате вторая

. . 2 4 цифра не получится 1. Значит, множимое 504, множитель 236.

1 . . .Ответ: множимое – число 504, множитель – число 236.

Источник

Решение логических задач матричным способом

Из анализа специальной литературы мы выделяем несколько различных способов решения логических задач:

• Метод рассуждений;
• Метод таблиц;
• Метод блок-схем;
• Метод графов;
• Метод кругов Эйлера.

Остановимся отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.

Метод первый: Метод рассуждений

Идея метода состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Например. Возраст мамы и дочки в сумме составляет 98 лет. Дочь родилась, когда маме было 22 года. Сколько лет маме и дочке? Решение: так как разница в их возрасте 22 года (именно в этом возрасте у мамы родилась дочь), то 98 – 22 =76 (лет). Это удвоенный возраст дочери, тогда 76 : 2 = 38(лет). Значит, матери 98 – 38 = 60 (лет).

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение: Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский .

Метод второй: Метод таблиц

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. [5]

Идея метода: оформлять результаты логических рассуждений в виде таблицы.

2)возможность контролировать процесс рассуждений;

3)возможность формализовать некоторые логические рассуждения.

Задача 2 . Данным способом можно решить, известную многим загадку Эйнштейна.

5 разных человек в 5 разных домах разного цвета, курят 5 разных марок сигарет, выращивают 5 разных видов животных, пьют 5 разных видов напитков.

Вопрос:1) Кто выращивает рыбок?

2)Норвежец живет в первом доме.

3)Англичанин живет в красном доме.

4)Зеленый дом находится непосредственно слева от белого.

5)Датчанин пьет чай.

6)Тот, кто курит Rothmans, живет рядом с тем, кто выращивает кошек.

7)Тот, кто живет в желтом доме, курит Dunhill.

8)Немец курит Marlboro.

9)Тот, кто живет в центре, пьет молоко.

10)Сосед того, кто курит Rothmans, пьет воду.

11)Тот, кто курит Pall Mall, выращивает птиц.

12)Швед выращивает собак.

13)Норвежец живет рядом с синим домом.

14)Тот, кто выращивает лошадей, живет в синем доме.

15)Тот, кто курит Philip Morris, пьет пиво.

16)В зеленом доме пьют кофе.

Метод третий: Метод блок-схем

Этот метод используют в основном для задач, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов. [4]

Идея метода: описать последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния.

Задача 3 . Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение. Перечислим все возможные операции, которые могут быть использованы нами, и введем для них следующие сокращенные обозначения: НБ — наполнить больший сосуд водой из-под крана; НМ — наполнить меньший сосуд водой из-под крана; ОБ — опорожнить больший сосуд, вылив воду в раковину; ОМ — опорожнить меньший сосуд, вылив воду в раковину; Б→М — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд не опустеет или меньший сосуд не наполнится; М→Б — перелить из меньшего в больший, пока меньший сосуд не опустеет или больший сосуд не наполнится. Выделим среди перечисленных команд только три: НБ, Б→М, ОМ. Кроме этих трех команд рассмотрим еще две вспомогательные команды: Б = 0 ? — посмотреть, пуст ли больший сосуд; М = З ? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд.

В зависимости от результатов этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному из двух ключей — «да» или «нет». Такие команды в программировании принято называть командами «условного перехода» и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.

Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После Б→М будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы.

Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы.

Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.д. Таким образом, действуя по приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.

Метод четвертый: метод графов.

Граф — множество точек, изображенных на плоскости (листе бумаги, доске), некоторые пары из которых соединены отрезками. Точки называют вершинами графов, а отрезки — ребрами графов. Выделяя из словесных рассуждений главное — объекты и отношения между ними, графы представляют изучаемые факты в наглядной форме.

Примеры решения логических задач с использованием графов подкупают своей наглядностью и простотой, избавляют от лишних рассуждений, во многих случаях сокращают нагрузку на память. С одной стороны, графы позволяют проследить все логические возможности изучаемой ситуации, с другой, благодаря своей обозримости, помогают в ходе решения задачи классифицировать логические возможности, отбрасывать неподходящие случаи, не доводя до полного перебора всех случаев.
Идея метода: выявление и последовательное исключение логических возможностей, задаваемых условиями задачи.

Задача 4. Три ученицы — Аня, Варя и Клава — на первомайской демонстрации были: одна в крас­ном, другая в белом, третья в синем платье. В вы­сказывании: Аня была в красном платье, Варя не в красном, Клава не в синем — одна часть верна, а две неверны. В каком платье была каждая из уче­ниц?

Решение: Будем исходить из двух возможно­стей: Аня была в красном платье (Ак) и Аня была не в красном (то есть в белом или синем) и изобра­зим эти возможности: первую ребром Ак, а вторую двумя ребрами Ас и Аб, исходящими из одной точки. Если Аня была в красном платье, то в синем могла быть или Варя, или Клава. По­этому к ребру Ак присоединим 2 ребра Вс и Кс. Путь АкВс закончим Кб, а путь АкКс закончим Вб. Но из двух получившихся путей условию задачи ни один не удовлетворяет.

Обратимся ко второй возможности. К ребру Ас присоединим два ребра Вк и Кк, так как в красном платье в этом случае могла быть Варя или Клава. Такие же два ребра присоединим к Аб. Закончить каждый из получившихся путей очень просто: нуж­но присоединить последовательно ребра Кб, Вб, Кс и Вс. Имеем четыре логические возможности, но условию задачи удовлетворяет лишь путь АсВкКб, а остальные три пути — не удовлетворяют. Значит, Аня была в синем платье, Варя — в красном, а Кла­ва—в белом.

Метод пятый: метод кругов Эйлера.

Упростить решение многих логических задач помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определенным свойством. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Тип задач: Метод кругов Эйлера позволяет графически решать математические задачи, основанные на применении теории множеств.

Формальный способ решения подобных задач:

1. Выделить в тексте задачи рассматриваемые свойства объектов.

2. Заполнить круги Эйлера-Венна, проанализировав соответствие объектов и присущих им свойств.

3. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором соответствие объектов и свойств является истинным.

4. Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Преимущества и недостатки данного способа:

Необязательность знания формул и законов алгебры логики

Не подходит для решения сложных задач

Не обладает универсальностью, т.е. предназначен для определенного класса задач

Задача 5 . Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.

1.Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение: Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают.

Источник