Решение логических задач графическим способом 6 класс

Логические задачи и графы
методическая разработка (6 класс) по теме

Занятие для математического кружка в 5-6 классах «Логические задачи и графы».

Скачать:

Вложение	Размер
zanyatie_2._logich_zadachi_i_grafy_s_resheniyami_dlya_uchitelya.doc	42 КБ

Предварительный просмотр:

Занятие 2. Логические задачи и графы .

1. Разминка 1: На грядке сидели 4 воробья. К ним прилетели еще 2 воробья. Кот Васька подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на грядке? ( ни одного, остальные разлетелись )

1. Разминка 2: Чем больше из нее берешь, тем больше она становится. Что же это такое? ( яма )

Теория графов находит применение в различных областях современной математики, особенно в экономике. При решении логических задач часто бывает трудно запомнить многочисленные условия, данные в задаче, и установить связь между ними. Решать такие задачи помогают графы, дающие возможность наглядно представить отношения между данными задачи. Познакомимся с основными понятиями теории графов.

Прежде всего, стоит сказать, что графы, о которых идет речь, к аристократам былых времен никакого отношения не имеют. Наши графы имеют корнем греческое слово «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах биография, график, голография. Рассмотрим понятие графа на примере. Решим задачу 3.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой схеме – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще Галиной; Виктор – с Галей, Димой и Еленой; Галина – с Андреем и Борисом; Дмитрий – с Виктором; Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение: Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников изобразим точками по первым буквам имени. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем соединять изображающие их точки отрезками. Такие схемы и называются графами. Точки А, Б, В, Г, Д, Е – вершины графа, соединяющие их отрезки – ребрами графа. Заметьте, что точки пересечения ребер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают маленькими кружочками, а не точками. Ребра же зачастую удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Число игр, проведенных к настоящему моменту равно числу ребер, т.е. 7 игр (рис.1). Чтобы найти число игр, которое осталось провести, постоим еще один граф с теми же вершинами, но ребрами будем соединять тех участников, которые еще не сыграли друг с другом
(рис.2). Ребер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.

1. Из города А в город В ведут 3 дороги, а из города В в город С – четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

Представим условие задачи в виде графов. Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С 4 разными способками. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из А в С через В можно проехать 3 · 4= 12 способами.

1. Клоуны Бам, Бим, Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли тоже были этих трех цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были синие, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима?

Красные туфли Бам красная рубашка

Синие туфли Бим синяя рубашка

Зеленые туфли Бом зеленая рубашка

Ответ: Бом – синяя рубашка и зленные туфли

Бам – зеленая рубашка и синие туфли.

1. Три друга после школы едут домой на различном транспорте: автобусе, троллейбусе, трамвае. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку». Кто на чем ездит домой?

Итак, Леша ездит на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе.

Источник

Решение логических задач графическим способом

Тип урока: комбинированный.

Цель и задачи урока:

• познакомить обучающихся с графическим способом решения логических задач,
• закрепить полученные знания при решении логических задач,
• повысить степень восприятия информации.

Требования к знаниям и умениям:

• Обучающиеся должны знать: способы решения логических задач.
• Обучающиеся должны уметь: применять свои знания при решении логических задач.

Обеспечение: мультимедийный комплект, презентация «Решение логических задач графическим способом» (Приложение 1).

План

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Сообщение нового материала.
4. Первичное закрепление.
5. Подведение итогов.

– На прошлых уроках мы познакомились с различными способами решения логических задач.
– Какие способы решения логических задач вы знаете?
Ответ:
— табличный
— с помощью системы уравнений
– Рассматривая алгебру высказываний, мы сопоставляли ее с алгеб­рой чисел. Обратимся к сравнению еще раз. В школьной алгебре для решения уравнений и систем уравнений широко используется графиче­ский метод.
При решении логических задач очень часто полезно вычертить «дерево логических условий». Это «дерево» выражает в виде простого чертежа логическую взаимосвязь между данными высказываниями.
«Вырастим» логические деревья на простых приме­рах. Выращивание любого дерева начинается с рассмотрения исходной формулы.
Дизъюнкции (логической сумме) на логическом дереве будет соответствовать «разветвление» ветвей.
Конъюнкции (логическому произведению) на выращиваемом дереве будет соответствовать «следование» ветвей друг за другом (Приложение 1).

Задание 1. Построим логические выражения в виде простейших деревьев:

Построение происходит на доске одним из обучающихся. Результат проверяется с помощью демонстрации решения в презентации (Приложение 1).

Задание 2. Решите задачу.

В соревнованиях по информатике на первенство колледжа участвуют Аня, Валя, Тамара и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

1) Аня будет второй, Даша – четвертой,
2) второй будет Тома, Даша – третьей,
3) первой будет Тома, Валя – второй,

По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое – ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?

Запишем каждое высказывание в буквенном виде:

1) Аня будет второй, Даша – четвертой
2) второй будет Тома, Даша – третьей
3) первой будет Тома, Валя – второй

Учтем, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое – ложно, получим:

Для решения данной задачи составим систему уравнений:

Поскольку между строками матрицы стоит операция конъюнкция каждое уравнение будет «вырастать» из предыдущего. Построим дерево и проанализируем полученные варианты (Приложение 1).

Анализ решения проводится с помощью электронной презентации (Приложение 1)

В качестве домашнего задания обучающимся предлагается решить задачи по индивидуальным карточкам (вариантам) и придумать свою логическую задачу.

Подведение итогов урока

– На сегодняшнем уроке мы актуализировали знания по теме «Решение логических задач» и научились решать задачи графическим способом.

Источник

Графический способ решения логических задач

Графический способ решения логических задач

Если в задаче фигурирует не два, а больше мно­жеств, то ее решение с помощью таблицы может за­метно усложниться, в этом случае приходится пользо­ваться несколькими таблицами. Рассмотрим графичес­кий способ решения задач. Договоримся элементы множеств изображать точками плоскости. Если по ус­ловию задачи между двумя элементами этих множеств есть соответствие, то будем соединять такие элементы сплошной линией. Если же между двумя элементами множеств соответствия нет, то будет соединять их пун­ктирной линией. При наличии взаимно однозначного соответствия каждый элемент одного из множеств бу­дет соединяться сплошной линией только с одним эле­ментом другого множества, а с остальными элемента­ми он будет соединяться пунктирными линиями.

Задача 1. У трех подружек — Ксюши, Насти и Оли — новогодние карнавальные костюмы белого, синего и фиолетового цветов, и шапочки тех же цве­тов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у нее не был белым. Как были одеты девочки?

Множество костюмов Множество шапочек.

Будет изображать множество подружек, шапочек и костюмов кругами, а элементы множеств — точками, помещенными в эти круги.

Костюм и шапочка Насти одного цвета. Костюм и шапочка Ксюши не фиолетового цвета. Оля в белой шапочке. Костюм у Оли не белый.

Из условия (2) ясно, что костюм и шапочка Ксюши не фиолетовые, поэтому соединяем элементы множеств — и — пунктирными линиями. Из условия (3) — Оля в белой шапочке, поэтому соединя­ем сплошной линией элементы множества — . Из условия (4) — у Оли костюм не белый, поэтому соединяем пунктирной линией элемен­ты множеств — .Видим, что Ксюша не в фиолетовой шапочке и не в белой (в белой — Оля), значит, Ксюша в синей шапочке. Соединяем сплошной линией элементы мно­жеств — . Так как в бе­лой шапочке Оля, в синей шапочке Ксюша, то сплош­ной линией следует соединить элементы множеств — . Итак, Настя в фиолетовой шапочке. По условию (1) костюм и ша­почка у Насти одного цвета, поэтому соединяем сплош­ной линией элементы множеств — фиоле­товый костюм>

Теперь видно, что Оля в синем костюме: она не в белом (условие 4) и не в фиолетовом (в фиолетовом костюме Настя), а Ксюша в белом костюме.

Таким образом, Настя в фиолетовом костюме и шапочке, Ксюша в синей шапочке и белом костюме, а Оля в синем костюме и белой шапочке.

Задача 2. Три друга — Алеша, Сергей и Денис — купили щенков разной породы: щенка ротвейлера, щенка колли и щенка овчарки. Известно, что: щенок Алеши темнее по окрасу, чем ротвейлер, Лесси и Гриф; щенок Сергея старше Грифа, ротвейлера и овчарки; Джек и ротвейлер всегда гуляют вместе. У кого ка­кой породы щенок? Назовите клички щенков.

Решение. Заметим, что соответствие взаимно од­нозначное.

Выделяем ключевые условия.

Щенок Алеши не ротвейлер, его зовут не Лес­си и не Гриф, так как по условию

задачи он темнее по окрасу, чем ротвейлер, Лесси и Гриф.

Щенка Сергея зовут не Гриф, это не ротвейлер и не овчарка. Ротвейлера зовут не Джек.

В данной задаче следует рассматривать на плоско­сти три множества: множество мальчиков, множество кличек и множество пород собак. Каждое из множеств

содержит три элемента.

Так как щенок Алеши не ротвейлер, его зовут не Лесси и не Гриф (условие 1), то следует соединить пунктирными линиями элементы множеств — , — , — . Как видно, щенка Алеши зовут не Лесси и не Гриф, следовательно, его зовут Джек. Со­единяем соответствующие элементы сплошной лини­ей. Так как щенка Сергея зовут не Гриф, он не ротвейлер и не, овчарка (2), соединяем пунктирными линиями элементы множеств — , — , — .

Множество пород собак Множество кличек собак

Теперь видно, что у Сергея щенок породы колли. Соединяем соответствующие элементы сплошной ли­нией. Кличка щенка Сергея не Гриф (2) и не Джек (мы уже знаем, что Джеком зовут щенка Алеши), значит, сплошной линией соединяем элементы мно­жеств — , то есть щенка Сергея зовут Лесси. Очевидно, что щенка Дениса зовут Гриф. Так как у Алеши не ротвейлер (1) и не колли (колли у Сергея), значит, у Алеши овчарка. Понятно, что в этом случае ротвейлер у Дениса.

Задача 3. Три друга — Алеша, Боря и Володя — учатся в различных школах Санкт-Петербурга (в школах № 000, 141 и 164). Все они живут на различ­ных проспектах (проспект Энтузиастов, проспект Наставников, проспект Косыгина). Причем один из них любит математику, второй — биологию, а тре­тий — химию. Известно, что:

Алеша не живет на проспекте Энтузиастов, а Борис не живет на

мальчик, живущий на проспекте Энтузиастов, не учится в школе №

мальчик, живущий на проспекте Наставников, учится в школе № 000

и любит математику;

Володя учится в школе № 000; ученик школы № 000 не любит химию.

В какой школе учится каждый из друзей, на ка­ком проспекте он живет и какой предмет любит?

Решение. Здесь следует рассмотреть четыре мно­жества: множество друзей, множество проспектов, множество школ и множество школьных предметов. Каждое из множеств содержит три элемента.

Из условия (1): Алеша не живет на проспекте Эн­тузиастов, а Борис не живет на проспекте Наставни­ков. Соединяем пунктирными линиями элементы множеств — , — . Из условия (2) ясно, что мальчик, живущий на проспекте Энтузиастов, не учится в школе № 000, поэтому соединяет пунктир­ной линией элементы множеств — . Из условия (3) ясно, что мальчик, живущий на проспекте Наставников, учит­ся в школе № 000 и любит математику, поэтому со­единяем сплошными линиями элементы множеств: — , — , — . Из условия (4) — Володя учится в школе № 000. Соединяем сплошной линией элементы множеств — . Из условия (5) — ученик школы № 000 не любит хи­мию. Соединяем пунктирной линией элементы мно­жеств — .

Теперь видно, что ученик школы № 000 любит биологию (он не любит химию по условию и не любит математику — этот предмет любит ученик школы № 000). Соединяем сплошной линией элементы мно­жеств — . Очевидно, что ученик школы № 000 любит химию. Соединяем сплошной линией соответствующие элементы. Заме­чаем, что ученик школы № 000 живет на проспекте Косыгина (по условию 2 он не живет на проспекте Энтузиастов и не живет на проспекте Наставников, так как там живет ученик школы № 000 — условие 3). Соединяем сплошной линией элементы множеств — . Очевидно, что ученик школы № 000 живет на проспекте Энту­зиастов, и, значит, соответствующие элементы мож­но соединить сплошной линией.

Множество друзей Множество проспектов

Множество школ Множество школьных предметов

Теперь видно, что ученика школы № 000 зовут Володя, он живет на проспекте Косыгина и любит химию. Соединяем сплошной линией элементы множеств — , — . Так как Алеша не живет на проспекте Энтузиастов и не живет на проспекте Ко­сыгина, то, значит, он живет на проспекте Наставни­ков и, значит, учится в школе № 000 и любит мате­матику. Становится очевидным, что Боря живет на проспекте Энтузиастов, учится в школе № 000 и лю­бит биологию.

Источник