Решение логарифмических уравнений графическим способом

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Источник

Разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений

Презентация к уроку

Цель:

• повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений (потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический);
• расширить представления учащихся о функционально-графическом методе решения логарифмических уравнений;
• акцентировать внимание учащихся, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
• формирование у учащихся умений: сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
• усиление прикладной направленности курса алгебры и начала анализа.

Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе “Алгебра и начала анализа 11” автора А.Г.Мордковича.

Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.

I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали очень сложную тему “Логарифмы”. Что вы уже знаете по этой теме:

1) определение логарифма,

2) свойства логарифмов,

3) логарифмическая функция,

4) логарифмические уравнения,

5) методы решения логарифмических уравнений.

Найдите блок “Блиц опрос” на рабочих листах.

1. Блок “ Блиц опрос”.

1)Вычислить значение выражения.

2) Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение

3) Сопоставить функцию и график. (Приложение 1. Рис.1,2,3,4)

Среди перечисленных функций найти:

А) ограниченную и снизу, и сверху;

Б) монотонно возрастающую.

5) Решите уравнения.

Аристотель говорил , что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом.

Звучит музыка. (Историческая справка)

Вы знаете — открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах “Пифагора-Архита”. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.

И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.

В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – . является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство. Давайте в этом убедимся

Найдите на рабочем листе блок “Звукоизоляция”.

С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент звукоизоляции.

D – коэффициент звукоизоляции.

р₀ – давление звука до поглощения

р – давление звука, прошедшего через стену

A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ

Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то

т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.

Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический. Мы работаем с блоком №III.

Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.

Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму (Приложение 1.Рис.5). Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.

Слайд “Функционально-графический метод решения” (3 разновидности)

1. Использование графических иллюстраций (Приложение 1. Рис.6).

Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа)

2. Использование свойства монотонности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.

y=log₅ (5 x – 4) функция возрастает при x > log₅ 4,

y = 1 – x функция убывает при любом x.

Если x = 1, то log₅ (5 – 4) = 1 – 1, 0=0.

3. Использование ограниченности функций. Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений

<	f(x)=A,
	g(x)=A.

log₃ ((2x-5) 2 +9) = 2-sin 2 6x

Оценим левую часть уравнения (2х-5) 2 +99

В силу возрастания функции y=logt имеем log((2x-5) 2 +9)2.

Оценим правую часть уравнения

0 sin 2 6x 1, -1-sin 2 6x 0, 12-sin 2 6x 2.

<	log3 ((2x-5) 2 +9)2,
	2-sin 2 6x2;

<	log3 ((2x-5) 2 +9)=2,
	2-sin 2 6x=2.

Проверка: 2-sin 2 62.5=2, 2-sin 2 15=2, 2=2 – верно.

Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа “Самостоятельная работа”. Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты.

Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.

Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….

1. 3 x =10-log₂x
2. log₅x=
3. log₂((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5x
4. log₃x=-|x-1|
5. log_0,2(2x-1)=2x 2 -x-16
6. log₅((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8x

Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.

Домашнее задание.

А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:

Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?

y=3 x возрастает на (0;+),

y=10-log₂x убывает на (0;+).

Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что

При х=2, получим 3 2 =10-log₂2?

2. log₅x =

y= , D(y):x0.

Ответ: 5 Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.

3. log₂ ((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5x.

Оценим (x-2) 2 +4, т.к. (x-2) 2 0, то (x-2) 2 +4 4, в силу возрастания функции

у= log₂ t, имеем log₂ ((x-2) 2 +4) 2;

<	log2 ((x-2) 2 +4)2,
	2-sin 2 5x 2;
<	log2 ((x-2) 2 +4)=2,
	(x-2) 2 +4=2;
<	x=2,
	Проверка при х=2.

2-sin 2 10=2,

4. Пример (Приложение1.Рис.7). log₃x=-|х-1|

y= log₃x, D(y)=(0;+ ).

x=1 . Проверкой убеждаемся, что х=1 является корнем уравнения.

2x-1>0, 2x>1, x>.

Функция y= log_0.2 (2x-1) – убывает на (;+). Рис.7

Функция y=2x 2 -x-16 – возрастает на (;+).

Т.к. x₀= – вершина параболы и 2 -3-16, log_0.25=-1, -1=-1.

6. log₅((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8x.

Оценим левую часть уравнения. (4x-5) 2 0, (4x-5) 2 +2525.

Учитывая, что у=log₅t возрастает, имеем log₅((4x-5) 2 +25) 2

Оценим правую часть. -1 — sin 2 8x 0, 1 2- sin 2 8x 2. Приходим к системе

<	log5 ((4x-5) 2 +25)2,
	2-sin 2 8x2;
<	log5 ((4x-5) 2 +25)=2,
	2-sin 2 8x=2.

Решаем одно из уравнений системы.

log₅ ((4x-5) 2 +25)=2, (4x-5) 2 +25=25, 4x-5=0, х=1,25.

При х=1,25 другое уравнение обращается в верное равенство.

Итог.

Мы сегодня разобрали детально 3 разновидности функционально-графического метода. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.

2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.

Предлагаю решить вам следующую задачу.

Задача.Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?

Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:

С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5.Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.

Ответ: примерно 476 лет.

Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ?140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва.

Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.

Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.

Источник