Решение линейных неравенств с двумя неизвестными геометрическим способом

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Линейное неравенство с двумя переменными и его решение

Неравенство вида ax+by $ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c , где a, b, c — данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.

Например: $2x+5y \lt 6; -x+1, 5y \ge 0; \frac<1> <2>x-8y \gt 7$

Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.

Например: для неравенства $2x+5y \lt 6$

пара (-1;-2) является решением, т.к. $2\cdot(-1)+5 \cdot (-2) = -12 \lt 6$ – истина

пара (1;2) не является решением, т.к. $2\cdot1+5\cdot2=12 \not\lt 6$ – ложь

Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными

Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c является полуплоскость с границей ax+by = c .

Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.

Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.

Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.

Пересечение обозначают знаком $\cap$.

Найдём графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).

Примеры

Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит

Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)

Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.

Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.

Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.

Пусть x — количество грузовиков по 3т, y – по 5т.

По условию задачи:

$$ <\left\< \begin 3x+5y \ge 30 \\ 20x+24y \le 170 \\ x \le 5 \\ y \le 5 \end \right.> $$

Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.

Их суммарная грузоподъёмность: $3 \cdot 2+5 \cdot 5 = 31 \gt 30$ достаточна

Суммарный расход топлива: $ 20 \cdot 2+24 \cdot 5 = 160 \lt 170 $ не превышает лимит

Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т

Источник

Линейные неравенства с двумя неизвестными

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие линейного неравенства с двумя неизвестными

Неравенство $ax+by\cdot c$, где $\cdot$ один из следующих знаков $≥ ,>, ≤ ,линейным неравенством с двумя неизвестными.

Если при подстановке двух чисел в неравенство с двумя неизвестными оно становится верным, то эта пара чисел является решением этого неравенства.

Пара чисел $(0,\ \ 1)$ — решение неравенства $x-2y

Приведем теперь два свойства для понятия линейных неравенств с двумя неизвестными:

1. Одно и тоже число можно прибавлять к обоим сторонам неравенства, чтобы оно оставалось неизменным.
2. При умножении обоих частей неравенства на положительное число оно останется неизменным.
3. При умножении на отрицательное число и изменении знака на противоположный оно останется неизменным

\[x-2y >2\] \[x-2y+1 >3\] \[-3\left(x-2y+1\right)равносильны.

График линейного неравенства с двумя неизвестными

Множество точек координатной плоскости, которые являются решением какого-либо линейного неравенства с двумя неизвестными называется решением этого неравенства.

Построим решение линейного неравенства $2x-y\ge -3$

Выражаем $y$ через $x$:

Строим прямую $y=2x+3$

Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», получим решение, изображенное на рисунке $1$ ( на рисунке оно изображено серым цветом). Заметим, что прямая также входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Источник

Неравенство с двумя переменными и его решение: значение, список примеров

Содержание:

Линейное неравенство, имеющее две переменных; его функция имеет общий вид ах + bу + с меньше нулевого значения или больше 0. В качестве переменных выступают у, х. Для обозначения некоторых чисел используются буквы а, b, с. Решение неравенств с двумя переменными графическим способом предполагает использование плоскости координат. Задача – найти пару чисел, которая сделает пример верным равенством.

Неравенство с двумя неизвестными – сложный линейный пример, требующий построения графика. В большинстве случаев имеет множество вариантов решения. Например, заданы числа 2 и 1, необходимо решить выражение 5х + 2у > 4. Для этого следует подставить данные коэффициенты в пример. В итоге получается: 5*2 + 2*1 > 4, 10 + 2 больше 4. Решение допустимое.

Более легкий способ решить уравнение – построить графическую координатную плоскость. Внешний вид решения имеет определенную фигуру.

График неравенства с двумя переменными – решение

Функция имеет следующее определение: 3х — 2у + 6 > 0. Нужно определить точки на плоскости, которые подойдут для решения примера. Если 3х -2у + 6 > 0 приравнять к нулю, получится 3х — 2у + 6 = 0. Это стандартное обозначение прямой, проходящей через две области: -2,0 и 0,-3. Относим коэффициенты к области М1(Х1,У1). Эта зона заштриховывается на плоскости, она находится под 3х — 2у + 6 = 0 – прямой.

Коэффициенты М2(Х₂,У₂) попадают на прямую. Отсюда следует: 2у₂ — 3х₁ — 6 = 0, 2у₁ — 3х₁ — 6 0. Изначально строится прямая. В качестве решения выступает набор точек, расположенных над или под прямой. Чтобы понять, какая плоскость является ответом, необходимо выполнить подстановку значений в уравнение.

Графическое решение неравенств с двумя переменными – пример

Большинство неравенств с двумя неизвестными решаются графически. Необходимо выбрать, какой метод для поиска решения лучше применить. Координатная плоскость позволяет сделать рисунок, наглядно увидеть ответ. Задача – поиск двух коэффициентов, удовлетворяющих требованиям примера. Рассмотрим выражение 2у + 3х

Источник

Уравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
методическая разработка по математике (11 класс)

Разработка комплекса уроков содержит задания, аналитическое и графическое решения.Предназначена для подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Вложение	Размер
uravneniya_i_neravenstva_s_dvumya_peremennymi_i_graficheskoe_predstavlenie.doc	329 КБ

Предварительный просмотр:

Уравнения и неравенства с двумя переменными

и их геометрическое решение

2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.

2.1 Системы уравнений.

2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.

2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.

3. Неравенства и их геометрическое решение.

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными

3.2. Примеры решения систем неравенств.

4. Графический метод решения задач с параметрами.

5.Список использованной литературы.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.

В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.

1. Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f( α; β)=0

Например, для уравнения (( х +1) ) 2 + у 2 =0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1) ) 2 +0 2 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен и поэтому выражение ((-1+1) ) 2 +0 2 не имеет смысла.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнения с двумя переменными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);

б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (‌‌│ х │- 1) 2 +(│ у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);

в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

1. уравнение Ах+Ву+С=0 (А 2 +В 2 0) есть уравнение прямой (рис.1);
2. уравнение х 2 +у 2 =R 2 (R 0) есть уравнение окружности ( рис.2);
3. уравнение ху=а (а 0) есть уравнение гиперболы (рис.3,4);
4. уравнение у=ах 2 +bх+с (а 0) есть уравнение параболы (рис.5);
5. уравнение х 2 +у 2 =0 задает одну точку (0;0) (рис.6)

2.1 Системы уравнений

Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у

F 1 ( x; y)=0 и F 2 (x; y)=0

Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе — линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде

Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.

Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.

В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.

Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений

Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R= c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)

1. Примеры решения уравнений с двумя переменными

Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.

Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений

На координатной плоскости решение будет выглядеть так

Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем

у=х 2 +2х у = -х 2 +2х

х 2 +2х=0 х в =1 у в =1

Решить систему графическим способом:

В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:

у = +1

а) построим график функции у=

График функции у = +1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх :

у = — 0,5х+2 — это линейная функция, графиком которой является прямая

Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.

3.Неравенства и их геометрическое решение.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y) >0, где Z = f(x;y) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f(x;y) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f(x;у ) >0 .

Рассмотрим линейное неравенство ax+by+c >0 . Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax+by+c=0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax+by+c. Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.

Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)

Неравенству │y│+0,5 ≤ удовлетворяет множество точек плоскости (х;у), заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.

Изобразите множество решений неравенства

3.2. Примеры решения систем неравенств.

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

4. Графический метод решения задач с параметрами

Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры

1. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три различных действительных корня. Решение: построим график функции у= . Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а= 4.

1. Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.

Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5

3. Найти все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.

Источник