Решение квадратных уравнений способом группировки 8 класс

Урок алгебры в 8 классе «Решение квадратных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

На уроке повторяются основные способы решения квадратных уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
urok_algebry_v_8_klasse_reshenie_kvadratnykh_uravneniy.docx	64.97 КБ

Предварительный просмотр:

Урок алгебры в 8 классе « Решение квадратных уравнений»

Образовательные:
– систематизация и закрепление знаний по теме “Квадратные уравнения”;
– формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
– развитие логического мышления, способности находить оптимальное решение.

— различать способ и результат действия;

— вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета сделанных ошибок.

-проводить сравнение, классификацию по заданным критериям;

— ориентироваться на разнообразие способов решения задач.

— договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности.

Тип урока: урок комбинированный

Оборудование: написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, карточки-задания.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Блиц-опрос по теории.

– Дайте определение квадратного уравнения.
– Какие квадратные уравнения называются неполными?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх 2 + bх = 0?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх 2 + c = 0?
– Какие квадратные уравнения называются приведенными?
– Расскажите алгоритм решения квадратного уравнения.
– Назовите формулы для нахождения дискриминанта и вычисления корней квадратного уравнения.

– Правильно ли записано на доске квадратное уравнение?

1. 3х 2 + 5х – 2 = 0, где a = 3, b = 5, c = 2. Ответ: нет (с = –2).

2. х 2 – 5х = 0, где a =1, b = – 5, c = 0. Ответ: да.

3. 4х 2 + 8х + 2 = 0, где a = 4, b = 2, c = 8. Ответ: нет (b = 8, с = 2).

4. –х 2 = 0, где a = –1, b = 0, c = 0. Ответ: да.

5. 5х 2 – 3х + 7 = 0, где a = 5, b = – 3, c = 7. Ответ: да.

6. х 2 + 16 = 0, где a = 1, b = 16, c = 0. Ответ: нет (b = 0, с = 16).

– Составьте квадратное уравнение с заданными коэффициентами (на доске выписаны первые три столбика таблицы):

4. Выполнение заданий различных уровней сложности.

– Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение.

1) х 2 – 7х + 6 = 0.

Решение. Так как D = 25 > 0, то данное уравнение имеет два корня.

2) 2х 2 – 16х + 32 = 0.

Решение. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень.

Решение. Уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть равной нулю.

4) 15х 2 + 30х = 0.

Решение. Неполное квадратное уравнение вида aх 2 + bх = 0 всегда имеет два корня.

– При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение?

1) а х 2 – 6х + 9 = 0.

Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а. 36 – 36 а = 0, а = 1.

2) 4х 2 – а х + а – 3 = 0.

Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а.

а 2 – 16( а – 3) = 0, а 1 = 4, а 2 = 12.

5. Историческая справка.

Ученики выступают с сообщением о Франсуа Виете и напоминают Теорему Виета и обратную ей.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

6. Решение уравнений с применением теоремы Виета.

– Составьте приведенное квадратное уравнение:

1) х 1 = 5, х 2 = 2.

Решение. По теореме Виета х 1 + х 2 = – р, х 1 х 2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х 2 – 7х + 10 = 0.

1) х 1 = 3, х 2 = –4.

Решение. По теореме Виета х 1 + х 2 = – р, х 1 х 2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х 2 + х – 12 = 0.

– В уравнении х 2 + рх – 18 = 0 один из корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Решение. Используя теорему Виета, получаем следующие выражения:

–9 + х 2 = – р, –9 х 2 = –18. Решив второе уравнение получаем х 2 = 2. Подставив полученное значение в первое уравнение найдем р = 7.

7. Работа в группах с целью поиска способа решения уравнений вида: ах 2 + вх + с = 0 , где коэффициенты связаны соотношениями а + в + с= 0 и

Ребятам выдаются карточки с уравнениями такого вида :

1. 3 х 2 — 2х — 1 = 0
2. 12х 2 +13х -25 = 0
3. 19х 2 — 21х — 2 = 0

После совместного поиска выдвигаются гипотезы и делается вывод о способе решения таких уравнений.

7. Самостоятельная работа: Решите уравнения.

2х 8 + 5х 4 – 7 = 0

12х 2 + 15х — 17 = 0

101х 2 — х — 100 = 0

х 3 – 3х 2 – х + 3 = 0

х 3 + х 2 – х – 1 = 0

8. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Какие способы решения используются при решении квадратных уравнений?

9. Домашнее задание :

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Попробуйте решить задачу Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. С ним мы еще познакомимся позднее.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Имя этого математика нам скоро встретится.

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары:

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – .
Составим уравнение: + 12 = х

На данном этапе учащимся сообщается материал из истории возникновения квадратных уравнений, сведения об известном французском математике Франсуа Виете. (Сообщения готовили учащиеся)
Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары.

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Но комментатор Бхаскары Кришна Бхатта говорил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятая часть стаи вычитается из трех, то второе решение, а не первое удовлетворяло бы условию. Цель: закрепить умения и навыки решения квадратных уравнений различными способами.

1. Комментированное решение у доски.

№ 1. Решите уравнение .

Разложим многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ группировки и вынесения общего множителя за скобки. Уравнение примет вид:

№ 2. Решите уравнение .

Решим данное уравнение методом введения новой переменной. Пусть , тогда данное уравнение примет вид . Для решения получившегося уравнения воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

Тогда

Решим уравнение (1):

Решим уравнение (2):

Ответ: корней нет.

№ 3. Решить задачу.

Цена товара дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость была 2000 рублей, а окончательная – 1805 рублей?

Пусть цена товара дважды снижалась на х %, тогда после первого снижения товар стал стоить рублей, а после второго снижения рублей, что по условию задачи равно 1805 рублям. Составим и решим уравнение .

195 – посторонний корень

Ответ: цена товара дважды снижалась на 5%.

№ 4. Самостоятельное решение уравнений (по выбору учащихся) с последующей проверкой.

5. Итог урока. (2 мин.)

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели и решены задачи урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснения по домашнему заданию.

6. Домашнее задание.

Составьте задания к дидактической игре “Лото” по теме “Методы решения квадратного уравнения”.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Урок алгебры по теме:»Решение квадратных уравнений».

Обучение математике-кропотливая работа, а научить слабослышащего ребенка — это ответственность вдвойне. Я представляю урок, в котором, совместно с ребятами с ограниченными воз.

Конспект урока по алгебре 8 класс «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Конспект урока-практикума по алгебре с тестовыми заданиями.

Урок алгебры 8 класс «Решение квадратных уравнений».

конспект урока по алгебре 8 класс «Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом»

План конспект открытого урока по алгебре «Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом» в рамках ФГОС в 8 классе.

Алгебра 8 класс » Решение квадратных уравнений» урок-презентация

Урок-презентация по алгебре в 8 классе «Решение квадратных уравнений» с элементами: игровых технологий, цветовой-терапии, рефлексии и тестирования.Тип урока: закрепление знаний,отраб.

Источник

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
статья по алгебре (8 класс) по теме

Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений.

«В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе : с помощью дискриминанта, теорема Виетта, а так же такие методы решения, которые не изучаются в школьной программе.

В работе одно уравнение решено всеми способами, показанными в работе.

Также в работе представлен список рекомендуемой литературы, составлен дидактический материал для самостоятельного изучения всего материала работы.

Скачать:

Вложение	Размер
30971021654.doc	330 КБ

Предварительный просмотр:

Различные способы решения квадратных уравнений.

1. Введение.
2. Из истории квадратных уравнений.
3. Способы решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.
4. Метод выделения полного квадрата.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью линейки и циркуля.
9. Номограммы в решении квадратных уравнений.
10. Геометрический способ решения.
11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

1. Решение одного уравнения всеми способами.
2. Литература.
3. Приложение.

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.

1. Рассмотреть всевозможные способы решений квадратных уравнений.
2. Научиться применять эти способы решений.
3. Выявить наиболее удобные способы решений.
4. Составить дидактический материал для использования разных способов решений квадратных уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро находить рациональный способ решения.

Из истории квадратных уравнений.

Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.

Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э.. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.

В III в. н.э. квадратное уравнение х 2 — 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.

Способы решений квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2*2ах * b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b) 2 = b 2 – 4ас,

2ах + b = ± √ b 2 – 4ас

2ах = – b ± √ b 2 – 4ас

а = 2, b = -5, с = 2, D = b 2 – 4ас =(-5) 2 -4*2*2=25-16=9, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х 1 =2 , х 2 = , х 2 = 1/2

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

а =4, b= — 12, с = 9. D = b 2 – 4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D = b 2 – 4ас= 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 -3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = — 7, D

Уравнение не имеет корней.

1. Разложение левой части на множители.

х 2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 — 2х — 8 = х 2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 8 = 0.

1. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х 1 + х 2 = — р,

Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x 1 , x 2 таковы, что х 1 + х2 = — р,

х 1 · х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + рх + q = 0

1. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

х 2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 40 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х 2 + 6х – 40 = х 2 + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3) 2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –49 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 49.

Следовательно, х + 3 = 7, х 1 = 4, или х +3 = -7 , х 2 = -10.

1. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 -9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

y 1 =6 x 1 =6/2 x 1 =3
y 2 =3 x 2 =3/2 x 2 =1,5

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1 ) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Решим уравнение 2013х 2 –2014х + 1 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 1/2013.

2) Если a + c=b , то х 1 =-1, х 2 = -с/а

Решим уравнение 11x 2 +27x+16= 0

х 1 = — 1, х 2 = -16/11

Ответ: х 1 =-1, х 2 =-16/11

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1. Решение с помощью линейки и циркуля.

1. Номограммы в решении квадратных уравнений.

номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

1. Геометрический способ решения.

Решение представлено на рис.8 , где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = – 8.

у2

3у

1. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

Разделим р(х) на (х-1)

Ответ: x 1 =1, x 2 =3

Решение одного уравнения всеми способами.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

1)Решение квадратного уравнения по формуле:

D=8 2 -4*1*(-9)=64+36=100>0-действуют 2 корня

2)Разложение левой части на множители:

а)x 2 +8x-9=0 б)x 2 +8x-9=0

x 2 +9x-x-9=0 x 2 +8x-8-1=0

x 2 -x+9x-9=0 x 2 -1+8x-8=0

x-1=0 или x+9=0 x-1=0 или x+9=0

x 1 =1 x 2 =-9 x 1 =1 x 2 =-9

3)Решение по теореме Виета.

x 1 *x 2 =-9

Методом подбора находим:

4)Метод выделения полного квадрата:

x 2 +2*x* 4 + 4 2 -4 2 -9=0 x+4=±5

x 2 +2 x 4+16-25=0 x+4=5 или x+4=-5

(x+4) 2 =25 x 1 =1 x 2 =-9

5)Решение способом переброски коэффициентов.

Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.

Поэтому х 2 +8х-9=0 данным способом не решается.

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

a+b+c=0, тогда х 1 =1 х 2 = -9

7) Графическое решение:

Построим графики данных функций:

у=х 2 — парабола с центром в точки О(0:0)

у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.

Источник