Квадратные уравнения. Способы решения.
презентация к уроку по алгебре (8 класс)
Данная презентация позволяет обобщить материал по теме квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.
Презентацию можно использовать для подготовки к ОГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Способы решения квадратных уравнений | 2.2 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Способы решения квадратных уравнений Подготовила Родькина Ирина ученица 8 б класса
Цель работы: знакомство с различными способами решения квадратных уравнений. Задачи: изучить исторические сведения; приобрести новые знания; использовать различные источники информации; использовать современные информационные технологии; создать слайдовую презентацию; составить подборку задач на решение квадратных уравнений. Объект исследования : квадратные уравнения . Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений .
Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратных уравнений и как они используются в современном мире. Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
Исторические сведения Квадратные уравнения могли решать ещё 2000 лет до н.э. вавилоняне. Во всех обнаруженных текстах задачи уже были уже с решениями без каких-либо указаний.
Вклад математиков Диофант Брахмагупта Мухаммед аль – Хорезми
Вклад математиков Леонардо Фибоначчи Михаель Штифель Франсуа Виет
Учёные, изучающие квадратные уравнения Тарталья Кардано Бомбелли Жирар Ньютон Декарт
Появление значка корень √ — радикал radix – латинское «корень» r —
Квадратное уравнение и его виды Квадратное уравнение – уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где х — переменная, а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0 . Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах 2 + с = 0, где b ≠ 0; 2х 2 + 4 = 0 2) ах 2 + b х = 0, где с ≠ 0; 9х 2 – 5х = 0 3) ах 2 = 0. 6х 2 = 0
Способы решения квадратных уравнений Способ разложения на множители 7х 2 + 9х + 2 = 0 7х 2 + 7х + 2х + 2 = 0 7х (х + 1) + 2(х +1) =0 (7х +2) (х+1) = 0 7х +2 = 0 или х +1 = 0 х = –2/7 или х = –1 Ответ: –2/7; –1
Способы решения квадратных уравнений Способом выделения квадрата двучлена х 2 +4х — 12 =0 ( х 2 +4х+4) — 4 -12 =0 ( х + 2) 2 — 16 = 0 ( х+2) 2 =16 х+2 = 4 или х+2= — 4 х 1 =2; х 2 = — 6 Ответ: 2; -6 .
Способы решения квадратных уравнений По теореме Виета (обратной ) Для приведённого квадратного уравнения x 2 + px + q =0 x 1 + x 2 =- p x 1 * x 2 = q . х 2 – 5х + 6 = 0 х + х = 5, х = 2 х * х = 6 х = 3 Ответ: 2; 3 Для полного квадратного уравнения ах 2 + вх +с =0 x 1 + x 2 =-в/а x 1 * x 2 =с/а
Способы решения квадратных уравнений Используя свойства коэффициентов Пусть ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 =с/а; Если а + с = b, то х 1 = -1, х 2 = -с/а. Примеры: 1)345х 2 – 137х – 208 = 0 а + b + с = 345 –137 –208 =0, значит, х = 1, х = –208/345 2) 313х 2 + 326х + 13 = 0 а +с = 313 +13 = 326 , значит, х = –1, х = – 13/313
Способы решения квадратных уравнений Решение по формулам Где D – дискриминант Если D 0, то уравнение имеет 2 корня 1) 2х 2 – 4х + 2 = 0, D = 0, 1 корень 2) х 2 – 8х + 9 = 0 , D = 28 >0, 2 корня 3) 2 х 2 — 3х + 10 = 0, D = — 71 то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х 1 ; 0) и N( (х 2 ; 0 ) , уравнение имеет корни х 1 , х 2 х у Q M N A х 1 х 2 0
2 случай Если QA= то окружность касается оси Ох в точке М(х 1 ; 0), уравнение имеет корень х 1 . х у Q M A х 1 0
3 случай Если QA -2 ,окружность пересекает ох в двух точках, уравнение имеет 2 корня. Ответ: х=-5, х=1 . х у 0 1 -2 2 -2 -5
Пример 3 Решите уравнение х ² -4 x+ 5 =0 . Решение: -в/2а=2, (а+с)/2а=3 Q(2 ;3), А(0;1) Q А =0 then begin x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a); x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a); writeln(‘x1=’,x1,’ x2=’,x2) end e lse writeln(‘действительных корней нет’) e nd.
Заключение В процессе изучения данной темы, я ознакомилась с дополнительной литературой по истории математики, со способами решения квадратных уравнений. Рассматривала данные приёмы на конкретных примерах. Из дополнительной литературы собрала задачи на нахождение корней квадратного уравнения. Знание многих способов значительно упрощает многие вычисления, экономит время при решении задач. Однако не все способы дают точный ответ и удобны. Мною изучены не все способы решения квадратных уравнений. Хотелось показать применение современных технологий, которые, конечно, упрощают сам процесс решения. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»
Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.
Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»
Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения".
Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений
Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.
Квадратные уравнения. Способы решения
«Решение квадратных уравнений способом «переброски»
Ознакомление с одним из способов решения квадратных уравнений, который можно назвать способом «переброски».
Квадратные уравнения №1. Решения неполных квадратных уравнений.
ТКУ Квадратные уравнения. Решения неполных квадратных уравнений.. Урок №1. Алгебра 8 класс.
Квадратные уравнения. Способы решения.
Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные).
Источник
Презентация по математике «Разные способы решения квадратных уравнений»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Петрозаводского городского округа «Средняя общеобразовательная школа №9 имени И.С. Фрадкова» Разные способы решения квадратных уравнений Выполнила: Калмычкова Лия Ученица 8«а» класса Руководитель: Гапонова М.А. Петрозаводск-2019год
Актуальность темы: в основном государственном экзамене по математике есть задания, связанные с данной темой. Объект исследования: квадратное уравнение. Предмет исследования: различные способы решения квадратных уравнений. Проблема: не всегда сразу виден наиболее удобный способ решения уравнений.
Цель работы: найти различные способы решения квадратных уравнений, провести сравнительный анализ решения. собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений; освоить найденные способы решения; решить уравнения с сайта fipi. Задачи:
Гипотеза: Квадратные уравнение можно решать разными способами.
III до н.э. древнегреческий ученый Евклид – решение квадратных уравнений графически; В III в. н. э. квадратное уравнение без обращения к геометрии решил великий Древнегреческий математик Диофант; XIII век Европа, Леонардо Пизанский – формулы нахождения корней квадратного уравнения; XVI век французский математик Франсуа Виет – вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде. Исторические сведения:
Задача про обезьян (одна из задач, составленных Бхаскарой) «На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны, Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще» x = (x/8) 2 + 12. (1/64) x 2-х+12=0. x1=48,х2=16.
Квадратным уравнением называется уравнение вида где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠0. Если а=1 , — приведённое уравнение. Если b=0 или с=0: =0 неполные квадратные 0 уравнения
Квадратные уравнения Неполные квадратные Приведённые Квадратные уравнения: Методы решения По формуле корней полного квадратного уравнения По теореме, обратной теореме Виета. x(ax+b)=0 х1 =0 х2 =-b/a ax²=-c x²=-c /a х1 =√‾-c /a х2 =-√‾-c /a Разложение на множители Выразить x² Если с=0 ,то ах²+ bх = 0 Если b=0, то ах²+ с = 0
Решите уравнения: а) 4х2 – 9 = 0 ; б) 4х2 + 9 = 0; в) 3х2 – 4х = 0; г) 6х2 = 0. Образец решения: а) 4х2 – 9 = 0 1. Перенесём свободный член в правую часть уравнения: 4х2 = 9. 2. Разделим обе части получившегося уравнения на 4: х2 = 9/4. 3. Найдём корни х = 1,5 или х = — 1,5 Ответ: х1 = 1,5, х2 = — 1,5. в) 3х2 – 4х = 0 1.Разложим левую часть уравнения на множители: х(3х — 4) = 0. 2.Произведение х(3х — 4) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или 3х – 4 = 0. 3.Решаем уравнение 3х – 4 = 0 3х = 4 х = 4/3. Ответ: х1 = 0, х2 = 11/3.
Сколько корней имеет квадратное уравнение? Зависит от D Если D>0 : 2 корня Если D 11 слайд 
Рассмотрим различные способы решения уравнений
1. Разложение левой части на множители; 2. Метод выделения полного квадрата; 3.Применение формул корней квадратного уравнения; 4. С применением теоремы Виета; 5. Способом «переброски» коэффициентов; 6. Свойство делителя свободного члена; 7. Свойство коэффициентов квадратного уравнения; 8. Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу; 9. Графический способ; 10. Геометрический способ; 11. С помощью номограмм; 12. Решения квадратного уравнения с помощью Excel.
1. Разложение левой части на множители Решим уравнение: х2 + 2х – 3 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители применяя способ группировки: х2 + 2х – 3 = х2 + 3х – х – 3 = х (х + 3) – 1 (х +3) = (х + 3)(х – 1). (х + 3)(х – 1) = 0. х = -3,х = 1. Ответ: -3; 1
2. Метод выделения полного квадрата 1)Решим уравнение х2 + 2х – 3 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. х2 + 2х – 3 = х2 + 2· х ·1 + 12 – 12 – 3 = (х + 1)2 – 1 – 3 = = (х + 1)2 – 4. (х + 1)2 –4 = 0, т.е. (х + 1)2 = 4. х +1 = 2, х1 = 1, х +1 = — 2 , х2 = – 3. Ответ: -3; 1
3. Применение формул корней квадратного уравнения . Если b – чётное, k=b|2, то
Р со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минус, плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина Р в квадрате, минус q – и вот решенье небольшого уравнения. Приведённое квадратное уравнение Если а = 1, b = p, c = q
4. С применением теоремы Виета ах2 +вх +с = 0, где х1 и х2– корни уравнения: х2 + px + q = 0 Решить уравнение: х2 – 3х + 2 = 0; p=-3, q = 2 Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что х1 +х2 = 3 х1х2 = 2, не трудно догадаться, что это числа х1 = 2 и х2 = 1 Ответ: 2; 1.
5. Способ «переброски» коэффициентов Решим уравнение: 2х2 – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11y +30 = 0. С помощью Теоремы Виета легко найти его корни Ответ: 2,5; 3. Умножая обе части квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 на а, получаем уравнение а2 х2 + а bх + ас = 0. Обозначим ах через у, х = , тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0 и х2 = . Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Получаем х1 =
6. Свойство делителя свободного члена Корень уравнения, если он есть целое число, является делителем свободного члена. х2 + 5х — 14 = 0. Находим делители числа -14 начиная с меньших чисел, это 1, 2, 7, 14. Подставляя делители в уравнение получаем верное равенство при делители равном 2, значит 2 – первый корень уравнения. По теореме Виета х1* х2=с, значит, х2= -14/2 = -7. Ответ:2; -7
7. Свойство коэффициентов квадратного уравнения 1.Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а . 2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = — с/а 3. Если а =с и b = а2+1, то х1 =-а, х2 = –1/а. 4. Если а =с и b = -(а2+1), то х1 = а, х2 = 1/а 5. Если а = — с и b = а2+1, то х1 =-а, х2 = 1/а. 6. Если а = — с и b = -(а2-1), то х1 =а, х2 = –1/а. 7. Если а + в = с, то корней нет
сумма коэффициентов: Решим уравнение: 2018х2 – 2019х +1 = 0. Так как 2018+ (-2019)+ 1= 0, то по свойству 1 х1 = 1, х2 = 1/2018. Ответ: 1;1/2018.
8. Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу Решим уравнение: х2 + 2х – 3 = 0, Меньший делитель свободного члена 1 является корнем уравнения. Разделим многочлен х2 + 2х – 3 на двучлен х – 1: _ х2 + 2х – 3 х – 1 х2 — 1х х +3 _3х – 3 3х – 3 0 Уравнение принимает вид: (х – 1)( х +3) = 0 Левая часть уравнения обращается в нуль при х = -3, а также при х = 1, это означает, что числа -3 и 1 являются корнями данного уравнения. Если число n является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х — n без остатка. Число n находим методом подбора делителя свободного члена и выполняя деление многочлена х — n на многочлен P(x), получаем: (х – n)(х – m) = 0, где n и m -корни уравнения.
9. Графический метод Если в уравнении x2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = – px – q. Построим графики у = х2 и у = – px – q . у= х2 у = — рх – q х1 х х2 х 1. Если прямая и парабола пересекаются в двух точках – 2 решения; 2. Если прямая и парабола касаются — 1решение; 3. Если прямая и парабола не имеют общих точек – корней нет. 1 2 3
10. С помощью номограмм Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0
11. Геометрический способ Решим геометрически уравнения х2 + 2х – 3 = 0. Преобразуя уравнение, получаем х2 + 2х = 3. На рисунке находим «изображения» выражения х2 + 2х, т.е. к площади квадрата со стороной х два раза прибавляем площади прямоугольников со сторонами, равными 1 и х. К выражению х2 + 2х добавился квадрат площадью 1. Получаем: х2 + 2х + 1 = 3 + 1. (х + 1) 2 = 4, х + 1 = 2 и х + 1 = -2, х1 = 1 х2= -3 Ответ: — 3; 1 х 1 х 1 х2 1х 1х 1
12.Решения квадратного уравнения с помощью таблицы Excel В таблицу Excel в ячейки А, В и С вводятся коэффициенты квадратного уравнения. В ячейку D — формула дискриминанта, а в ячейки Е и F — формулы корней, результате их значения получаем автоматически.
Открытый Банк Заданий квадратные уравнения; задачи на нахождение координат: координаты на прямой и плоскости; текстовые задачи, приводимые к квадратным уравнениям; уравнения , приводимые к квадратным.
Сравнение разных способов решения квадратных уравнений Способ «+» «-» 1. Разложение левой части уравнения на множители Можно решить, не зная формул Подходит не ко всем уравнениям 2. Метод выделения полного квадрата быстрее находятся корни Дробные коэффициенты 3. Формула корней квадратного уравнения Для всех квадратных уравнений Большие коэффициенты 4. С использованием теоремы Виета Быстрота решения, экономия времени Дробные коэффициенты уравнения 5. Способ «переброски» Быстрота решения, если корни целые Дробные коэффициенты уравнения 6. Свойство делителя свободного члена Быстрота решения и экономия времени Подходит не ко всем уравнениям, дробные коэффициенты уравнения 7. Свойства коэффициентов Быстрота решения. Большие коэффициенты Подходит только для некоторых уравнений 8. Следствие теоремы Безу Быстрота решения Подходит не ко всем уравнениям. 9. Графический способ Наглядность. Приближённость решения, 10. С помощью номограммы Наглядность Быстрота решения Неточность решения. 11. Геометрический способ Наглядность Подходит не ко всем уравнениям. 12. С помощью таблицы Excel Автоматический расчёт Приближённость решения
Умение решать квадратные уравнения разными способами позволяет: экономить время, применяя быстрый способ решения; решать уравнения с большими коэффициентами; выполнять автоматические расчёты; наглядно представлять решение уравнения; решить любое квадратное уравнение по формуле.
Заключение я получила подтверждение своей гипотезы, что существует множество способов решения квадратных уравнений; изучила разные виды квадратных уравнений и освоила разные способы их решения; научились использовать полученные знания в тестовых работах, применять их при решении задач; нашла на сайте ФИПИ задачи, содержащие квадратные уравнения. При решении задач, примеров надо искать рациональные подходы и применять разнообразные способы!
Источник
