Решение квадратных уравнений нестандартными способами
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.
Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.
В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.
Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:
Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
Какие вы используете чаще всего?
По результатам анкетирование были получены следующие результаты:
Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.
Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.
Мы поставили перед собой цель: изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.
Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:
собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,
освоить найденные способы решения,
составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,
разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,
провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 – 9 классов.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.
Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 — 9 классов с данных материалом.
ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
-
- СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)
Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:
Пример:
Пример:
Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:
Решим следующие уравнения:
Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.
Пример:
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
Согласно теореме Виета
Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = –bx–c .
Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = –bx–c в одной системе координат.
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Решим следующие уравнения:
1) х 2 + 2х – 3 = 0
В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = — 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.
В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х — 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.
В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции
Парабола у =2х 2 и прямая у = — 4х — 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
-
- РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:
Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).
Провести окружность радиуса SA.
Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.
При этом возможны три случая:
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х1; 0) и D(х2;0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х1; 0 ), где х1 – корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS 2 –8х + 6 = 0.
Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).
Пример 2: х 2 –6х + 9 = 0.
Решение: Найдём координаты S: x=3, y=5.
Пример 3: х 2 + 4х + 5 = 0.
Решение: Координаты центра окружности: х= — 2 и y = 3.
Ответ: нет корней
Номограмма (от греческого «nomos» – закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». — М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDFполучим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Пример 1:z 2 — 9z + 8 = 0.
На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.
Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).
Пример 2: 2z 2 — 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:
Пример 3:x 2 – 25x + 66 = 0
Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z, получим уравнение:
которое решаем посредством номограммы.
Пример 4: z 2 + 5z – 6 = 0, номограмма даёт положительный корень z1=1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из — p, т.е. z2= — p –1= — 5 – 1= -6.
Пример 5: z 2 – 2z – 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z1=4, а отрицательный равен z2= — p –4 =
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel – это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.
Лист программы Excel, где отображены формулы:
Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 – 14x – 15 = 0:
ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
Уолтер Варвик Сойер
В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.
Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие – помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.
Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.
Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.
Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).
Материал нашей работы можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его для небольшого элективного курса «Необычные способы решение квадратных уравнений».
Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.
Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.
Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.
Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.
Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.
Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.
Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.
Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. — 2000.- № 40.
Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.
Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,
М.: Педагогика, 1989.
Интернет ресурсы:
«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»
«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»
Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.
1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D
D = b 2 – 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня
4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым
3. Метод выделения полного квадрата
(2х + — )( 2х + + )=0, произведение =0, когда один из множителей=0
4. Способ группировки
(4х-1)( х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0
5. Свойства коэффициентов
6. Метод «переброски» главного коэффициента
Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:
7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Определим координаты точки центра окружности по формулам:
8. Графический способ решения
В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции
у = — 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:
9. С помощью номограммы
4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение
Номограмма даёт положительный корень = ,
а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из — p, т.е.
10. Решение данного уравнения в EXCEL
«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ
“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ”»
Источник
